24.2 直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角 ．
2.直角三角形两直角边的 等于斜边的
（勾股定理）.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ．
4.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 .
考点1 利用直角三角形斜边上的中线的性质解题
【典例1】如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的中点，∠A＝35°，则∠BCD的度数是( )
A.35° B．55° C．60° D．70°
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
【变式训练】
1. 如图，AD是△ABC的中线，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，则AD等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
考点2 含30°角的直角三角形的性质的应用
【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F.若∠AFB＝90°，EF＝2，求BF长．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF和BE＝2DE是解此题的关键．
【变式训练】
2.如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为( )
A.3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
考点3 直角三角形性质的综合应用
【典例3】如图，在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为( )
A.70° B．75° C．80° D．85°
1.利用等腰、直角三角形的性质，识别特殊三角形；
2.善用特殊角的关系，结合内角和求角．
【变式训练】
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E.如果BD＝2，则DE的长为 .
知识点1 直角三角形斜边上的中线的性质
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝3，则AB的长为( )
A.6 B．5 C．3 D．1.5
2.（海南文昌期中）如图，两条公路AC、BC恰好互相垂直，AC＝BC，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1 km，则M，C两点间的距离为 km.
3.（海南海口秀英区模拟）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝ ．
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
4.一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A.6米 B．9米 C．12米 D．15米
5.（海南琼海校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AD＝6，则CD等于( )
A．3 B．2 C．1 D．6
6.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 m
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D在边BC上，且∠ADC＝60°，BC＝9，则BD的长度是( )
A．3 B．4 C．6 D．7
8.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，E是AB上方一点，且AE＝BE，连结DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
9.（海口模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6.点F是AB中点，连结CF，把线段CF沿射线BC的方向平移到DE，点D在AC上，则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是( )
A．16、6 B．18、18
C．16、12 D．12、16
【母题P104T2】如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里．该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗？
【变式】如图，一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发，小岛P在轮船的北偏西15°方向，轮船每小时航行15海里，11时轮船到达点B处，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向．
(1)求此时轮船距小岛为多少海里；
(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由．
10.（推理能力）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.点D是AB中点，点E为边AC上一点，连结CD、DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连结BF.
(1)△BCD的形状为 ；
(2)随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？请结合图说明你的理由．24.2 直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角 互余 ．
2.直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方
（勾股定理）.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 ．
4.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 一半 .
考点1 利用直角三角形斜边上的中线的性质解题
【典例1】如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的中点，∠A＝35°，则∠BCD的度数是( B )
A.35° B．55° C．60° D．70°
解析：∵在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的中点，∴CD＝AB＝AD，
∴∠DCA＝∠A.∵∠A＝35°，
∴∠DCA＝35°.∵∠BCA＝90°，
∴∠BCD＝90°－35°＝55°.
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
【变式训练】
1. 如图，AD是△ABC的中线，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，则AD等于( B )
A．4 B．5
C．6 D．7
考点2 含30°角的直角三角形的性质的应用
【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F.若∠AFB＝90°，EF＝2，求BF长．
解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°.
∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4.
∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4.
∵∠C＝60°，∠BFC＝180°－90°＝90°，
∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，
∴BF＝BE＋EF＝8＋2＝10.
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF和BE＝2DE是解此题的关键．
【变式训练】
2.如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为( C )
A.3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
考点3 直角三角形性质的综合应用
【典例3】如图，在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为( B )
A.70° B．75° C．80° D．85°
解析：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD＝AD＝AB，∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，∴AC＝DC＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝×(180°－30°)＝75°.
1.利用等腰、直角三角形的性质，识别特殊三角形；
2.善用特殊角的关系，结合内角和求角．
【变式训练】
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E.如果BD＝2，则DE的长为 3 .
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，AB＝2BC，∵CD⊥AB，∴∠A＝∠DCB＝30°，∴BC＝2BD＝4，∴AB＝2BC＝8，∴AD＝AB－BD＝8－2＝6，∵∠ACB＝90°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∵∠A＝30°∴DE＝AD＝3.
知识点1 直角三角形斜边上的中线的性质
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝3，则AB的长为( A )
A.6 B．5 C．3 D．1.5
2.（海南文昌期中）如图，两条公路AC、BC恰好互相垂直，AC＝BC，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1 km，则M，C两点间的距离为 1 km.
3.（海南海口秀英区模拟）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝ 3 ．
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
4.一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( B )
A.6米 B．9米 C．12米 D．15米
5.（海南琼海校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AD＝6，则CD等于( A )
A．3 B．2 C．1 D．6
如图，连结BD.
在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°.∵AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，
∴AD＝BD＝6，∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∴CD＝BD＝3.
6.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 4 m．
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D在边BC上，且∠ADC＝60°，BC＝9，则BD的长度是( C )
A．3 B．4 C．6 D．7
∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD.∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD，∵BC＝9，∴CD＋2CD＝9，∴CD＝3，∴BD＝6.
8.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，E是AB上方一点，且AE＝BE，连结DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为( B )
A．2 B．2 C．4 D．4
在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝BD＝AB＝3，∵AE＝BE＝7，∴ED⊥AD，在Rt△ADE中，DE＝＝＝2.
9.（海口模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6.点F是AB中点，连结CF，把线段CF沿射线BC的方向平移到DE，点D在AC上，则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是( C )
A．16、6 B．18、18
C．16、12 D．12、16
由平移的性质，可知CF∥DE，CF＝DE，∴四边形CFDE是平行四边形，∴DF∥BC.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，∴CF＝AB＝5.∵DF∥CB，点F是AB的中点，∴＝＝，∠CDF＝180°－∠ACB＝90°，∴点D是AC的中点，∴CD＝AC＝4.∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF＝BC＝3，∴四边形CFDE的周长为2(DF＋CF)＝2×(5＋3)＝16，四边形CFDE的面积为DF·CD＝3×4＝12.
【母题P104T2】如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里．该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗？
由已知条件，可算得AD＝15≈25.95>20，所以，没有触暗礁的危险．
【变式】如图，一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发，小岛P在轮船的北偏西15°方向，轮船每小时航行15海里，11时轮船到达点B处，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向．
(1)求此时轮船距小岛为多少海里；
(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由．
(1)∵∠PAB＝15°，∠PBC＝30°，∴∠PAB＝∠APB，
∴PB＝AB＝15×3＝45海里．
即轮船距小岛为45海里．
(2)如图，过P点作PD⊥BC于点D，
在Rt△PBD中，∠PBD＝30°，PB＝45（海里），
∴PD＝PB＝22.5（海里），22.5＞20.
所以轮船继续向前航行，不会有触礁危险．
10.（推理能力）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.点D是AB中点，点E为边AC上一点，连结CD、DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连结BF.
(1)△BCD的形状为 等边三角形 ；
(2)随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？请结合图说明你的理由．
(1)等边三角形．理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBD＝60°.∵点D是AB中点，∴BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形．
(2)∠DBF的度数不变．理由如下：
∵∠ACB＝90°，D是AB中点，
∴CD＝AB＝AD，∴∠ECD＝30°.
∵△BDC为等边三角形，
∴BD＝DC，∠BDC＝60°.
又∵△DEF为等边三角形，
∴DF＝DE，∠FDE＝60°，
∴∠BDF＋∠FDC＝∠EDC＋∠FDC＝60°，
∴∠BDF＝∠CDE.
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(S.A.S.)，
∴∠DBF＝∠DCE＝30°，即∠DBF的度数不变．
