24.3.1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝＝.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，我们把∠A的 邻边与斜边 的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝＝，tan A＝＝.
3.锐角三角函数值都是正实数，并且04.同角三角函数关系：sin 2A＋cos 2A＝ 1 ．
考点1 求一个锐角的三角函数值
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sin A、cos A、tan A的值．
解：∵∠C＝90°，AC＝3，
BC＝4，∴AB＝＝＝5，
∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝.
1.锐角三角函数值只与角的大小有关，与锐角所在的直角三角形的大小无关．
2.在锐角三角函数中，用一个大写字母或一个小写希腊字母表示角时，可以省略符号“∠”；用三个大写字母或一个数字表示角时，不能省略“∠”．
【变式训练】
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求sin A、cos A、tan A的值．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sin A＝＝＝，cos A＝＝＝.tan A＝＝.
考点2 利用锐角三角函数值求线段的长
【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知sin B＝，AD＝2CD＝2，则BE的长为( B )
A．4 B． C． D．3
解析：∵AD＝2CD＝2，
∴AD＝2，CD＝1，∴AC＝3.
∵∠C＝90°，sin B＝，
∴sin B＝＝，∴AB＝5.
∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠B＝90°－∠A，
∴sin ∠ADE＝sin ∠B＝＝，
∴AE＝，∴BE＝AB－AE＝5－＝.
在直角三角形中，根据锐角三角函数值求三角形边长的两种题型：
(1)当已知边长与已知锐角三角函数值有直接关系时，可利用锐角三角函数的定义直接求出另一条边的长，再利用勾股定理求出第三边的长；
(2)当已知边长与已知锐角三角函数值没有直接关系时，可利用已知锐角三角函数中的两边之比设参数，再根据勾股定理和已知的第三边长列方程求解．
【变式训练】
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，BC＝5，则AB的长为( D )
A.2 B．3 C．2 D．3
考点3 锐角三角函数之间的关系
【典例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值等于( C )
A． B． C． D．1
解析：cos B＝cos (90°－A)＝sin A＝.
本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，∠A＋∠B＝90°时，正余弦之间的关系为一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A＝cos (90°－∠A)是解题的关键．
【变式训练】
3.若sin (α＋20°)＝cos 50°，则α的度数是( D )
A．50° B．40° C．30° D．20°
知识点1 锐角三角函数的定义
1.（海南海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，则cos B等于( A )
A． B． C． D．
2.（海南海口龙华区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是( D )
A. B． C． D．
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，则AC＝( B )
A．3 B．9
C．10 D．15
4.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin ∠BAC＝，若将△ABC三边都扩大3倍得到△A′B′C′，则sin ∠B′A′C′＝ ．
知识点2 锐角三角函数之间的关系
5.如果α是锐角，且sin α＝，那么cos (90°－α)的值为( B )
A. B． C． D．
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中不一定成立的是( D )
A．tan A＝
B．sin2A＋sin2B＝1
C．sin2A＋cos2A＝1
D．sinA＝sin B
知识点3 锐角三角函数值的范围
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A的度数不断增大时，cos A的值的变化情况是( B )
A.不断变大 B．不断减小
C．不变 D．不能确定
易错易混点 忽视锐角三角函数的取值范围
8.对于锐角A，sin A的值不可能为( D )
A． B． C． D．1
9.（海南海口美兰区校级二模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，那么cos ∠BAC的值为( A )
A． B． C． D．
设网格小正方形的边长为1，则AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，∴△ABC为等腰三角形．
如图所示，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，∴AD＝AC＝×2＝，∴cos ∠BAC＝＝＝.
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是( A )
A．sin A＝ B．cos A＝
C．tan A＝ D．tan B＝
11.已知三角形纸片ABC的两直角边长分别为6、8，现将△ABC按如图所示的方式进行折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则sin ∠CBE的值是( C )
A． B．
C． D．
由折叠得BE＝AE，∵BC＝6，AC＝8，∴BE＝AE＝8－CE，∵∠C＝90°，∴BC2＋CE2＝BE2，∴62＋CE2＝(8－CE)2，解得CE＝，∴BE＝8－＝，∴sin ∠CBE＝＝＝.
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(5，0)，sin∠COA＝.若反比例函数y＝(k≠0)经过点C，则k的值等于 12 ．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于 .
如图，
过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，AB＝4，sin A＝，∴BC＝AB·sin A＝，根据勾股定理，得AC＝＝，∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝＝.
14.（推理能力）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连结AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan ∠OAP的值是( C )
A． B． C． D．3
如图，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP∶AC＝OC∶BC＝1∶2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ∶AO＝CP∶AC＝1∶2，∵P(1，1)，∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan ∠OAP＝＝＝.
第2课时 特殊角的三角函数值
∠A 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
考点1 特殊角的三角函数值的运算
【典例1】(1)计算：sin 45°＋2cos 30°－tan 60°.
(2)计算：3tan 30°－tan245°＋2sin60°.
解：(1)原式＝＋2×－＝＋－＝.
(2)原式＝3×－12＋2×＝－1＋＝2－1.
含特殊角的三角函数值的计算的注意事项：
(1)熟记特殊角的锐角三角函数值是关键；
(2)注意运算顺序和法则；
(3)注意特殊角三角函数值的准确代入．
【变式训练】
1.(1)计算：2sin 30°－cos245°＋cos60°.
(2)计算：tan260°＋.
(1)原式＝2×－＋＝1－＋＝1.
(2)原式＝（）2＋＝3＋＋＝3＋.
考点2 由锐角三角函数值求特殊角
【典例2】在锐角△ABC中，若（tan C－）2＋|－2sin B|＝0，则∠A＝( D )
A.30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵（tan C－）2＋|－2sin B|＝0，
∴tan C＝，sin B＝，
∴∠C＝60°，∠B＝45°，∴∠A＝75°.
由三角函数值确定特殊角的一般步骤：
第1步：通过边之间的关系或者其他关系得到三角函数值；
第2步：根据特殊角的三角函数值，确定锐角的度数．
【变式训练】
2.已知α为锐角，且tan (90°－α)＝，则α的度数为( A )
A．30° B．60° C．45° D．75°
知识点1 特殊角的三角函数值
1.计算sin 45°的值等于( C )
A． B． C． D．
2.（海南陵水县期末）式子2cos 30°－tan 45°－的值是( B )
A．2－2 B．0
C．2 D．2
3.（海南海口琼山区校级期末）小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，cos ∠AOB的值为( C )
A． B． C． D．
4.计算：(1)tan 30°cos 60 °＋tan 45°cos 30°；
(2)sin 30°＋3tan 60°－cos245°；
(3)cos245°＋－·tan 30°.
(1)原式＝×＋1×＝＋＝.
(2)原式＝＋3－＝3.
(3)原式＝（）2＋－×＝＋－1＝.
知识点2 已知特殊角的三角函数值求角度
5.若sin (x＋15°)＝，则锐角x＝ 45 °.
6.如图，若点A的坐标为（1，），则∠1＝ 60° ．
7.点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是( B )
A．（，） B．（－，－）
C．（－，） D．（－，－）
8.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则3tan 的值是( A )
A． B．2 C．3 D．3
9.（海南海口龙华区校级期中）在△ABC中，若∠A、∠B满足＋＝0，则△ABC是( B )
A．等腰（非等边）三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
10.已知α是锐角，tan (α－15°)＝，则sin α的值为 ．
∵α是锐角，tan (α－15°)＝，∴α－15°＝30°，∴α＝45°，∴sin α＝sin 45°＝.
11.（运算能力）已知∠A是锐角，且tan A、是关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k2－3＝0的两个实数根．
(1)求k的值；
(2)问∠A能否等于45°，请说明你的理由．
(1)∵tan A、是关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k2－3＝0的两个实数根，∴tan A·＝1＝k2－3，即1＝k2－3，k2＝4，∴k＝±2.由∠A是锐角知，tan A>0，>0.∴2k＝－<0，即k<0，∴k＝－2，此时方程的根的判别式Δ＝(－4)2－4［(－2)2－3］＝12>0，所以方程有实数根，∴k＝－2；
(2)若A＝45°，则tan A＝＝1，将x＝1代入方程x2－4x＋4－3＝0，左边＝1－4＋1＝－2≠0，
∴1不是方程的根，∴∠A不能等于45°.24.3.1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝＝.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，我们把∠A的 的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝＝，tan A＝＝.
3.锐角三角函数值都是正实数，并且04.同角三角函数关系：sin 2A＋cos 2A＝ ．
考点1 求一个锐角的三角函数值
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sin A、cos A、tan A的值．
1.锐角三角函数值只与角的大小有关，与锐角所在的直角三角形的大小无关．
2.在锐角三角函数中，用一个大写字母或一个小写希腊字母表示角时，可以省略符号“∠”；用三个大写字母或一个数字表示角时，不能省略“∠”．
【变式训练】
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求sin A、cos A、tan A的值．
考点2 利用锐角三角函数值求线段的长
【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知sin B＝，AD＝2CD＝2，则BE的长为( )
A．4 B． C． D．3
在直角三角形中，根据锐角三角函数值求三角形边长的两种题型：
(1)当已知边长与已知锐角三角函数值有直接关系时，可利用锐角三角函数的定义直接求出另一条边的长，再利用勾股定理求出第三边的长；
(2)当已知边长与已知锐角三角函数值没有直接关系时，可利用已知锐角三角函数中的两边之比设参数，再根据勾股定理和已知的第三边长列方程求解．
【变式训练】
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，BC＝5，则AB的长为( )
A.2 B．3 C．2 D．3
考点3 锐角三角函数之间的关系
【典例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值等于( )
A． B． C． D．1
本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，∠A＋∠B＝90°时，正余弦之间的关系为一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A＝cos (90°－∠A)是解题的关键．
【变式训练】
3.若sin (α＋20°)＝cos 50°，则α的度数是( )
A．50° B．40° C．30° D．20°
知识点1 锐角三角函数的定义
1.（海南海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，则cos B等于( )
A． B． C． D．
2.（海南海口龙华区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是( )
A. B． C． D．
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，则AC＝( )
A．3 B．9
C．10 D．15
4.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin ∠BAC＝，若将△ABC三边都扩大3倍得到△A′B′C′，则sin ∠B′A′C′＝ ．
知识点2 锐角三角函数之间的关系
5.如果α是锐角，且sin α＝，那么cos (90°－α)的值为( )
A. B． C． D．
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中不一定成立的是( )
A．tan A＝
B．sin2A＋sin2B＝1
C．sin2A＋cos2A＝1
D．sinA＝sin B
知识点3 锐角三角函数值的范围
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A的度数不断增大时，cos A的值的变化情况是( )
A.不断变大 B．不断减小
C．不变 D．不能确定
易错易混点 忽视锐角三角函数的取值范围
8.对于锐角A，sin A的值不可能为( )
A． B． C． D．1
9.（海南海口美兰区校级二模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，那么cos ∠BAC的值为( )
A． B． C． D．
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是( )
A．sin A＝ B．cos A＝
C．tan A＝ D．tan B＝
11.已知三角形纸片ABC的两直角边长分别为6、8，现将△ABC按如图所示的方式进行折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则sin ∠CBE的值是( )
A． B．
C． D．
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(5，0)，sin∠COA＝.若反比例函数y＝(k≠0)经过点C，则k的值等于 ．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于 .
14.（推理能力）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连结AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan ∠OAP的值是( )
A． B． C． D．3
第2课时 特殊角的三角函数值
∠A 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
考点1 特殊角的三角函数值的运算
【典例1】(1)计算：sin 45°＋2cos 30°－tan 60°.
(2)计算：3tan 30°－tan245°＋2sin60°.
含特殊角的三角函数值的计算的注意事项：
(1)熟记特殊角的锐角三角函数值是关键；
(2)注意运算顺序和法则；
(3)注意特殊角三角函数值的准确代入．
【变式训练】
1.(1)计算：2sin 30°－cos245°＋cos60°.
(2)计算：tan260°＋.
考点2 由锐角三角函数值求特殊角
【典例2】在锐角△ABC中，若（tan C－）2＋|－2sin B|＝0，则∠A＝( )
A.30° B．45° C．60° D．75°
由三角函数值确定特殊角的一般步骤：
第1步：通过边之间的关系或者其他关系得到三角函数值；
第2步：根据特殊角的三角函数值，确定锐角的度数．
【变式训练】
2.已知α为锐角，且tan (90°－α)＝，则α的度数为( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
知识点1 特殊角的三角函数值
1.计算sin 45°的值等于( )
A． B． C． D．
2.（海南陵水县期末）式子2cos 30°－tan 45°－的值是( )
A．2－2 B．0
C．2 D．2
3.（海南海口琼山区校级期末）小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，cos ∠AOB的值为( )
A． B． C． D．
4.计算：(1)tan 30°cos 60 °＋tan 45°cos 30°；
(2)sin 30°＋3tan 60°－cos245°；
(3)cos245°＋－·tan 30°.
知识点2 已知特殊角的三角函数值求角度
5.若sin (x＋15°)＝，则锐角x＝ °.
6.如图，若点A的坐标为（1，），则∠1＝ ．
7.点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．（，） B．（－，－）
C．（－，） D．（－，－）
8.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则3tan 的值是( )
A． B．2 C．3 D．3
9.（海南海口龙华区校级期中）在△ABC中，若∠A、∠B满足＋＝0，则△ABC是( )
A．等腰（非等边）三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
10.已知α是锐角，tan (α－15°)＝，则sin α的值为 ．
11.（运算能力）已知∠A是锐角，且tan A、是关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k2－3＝0的两个实数根．
(1)求k的值；
(2)问∠A能否等于45°，请说明你的理由．
