24.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形及其简单应用
解直角三角形，有下面两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角．根据三角形全等的判定，由于已知一个角是直角，所以在这两种情况下，对应的直角三角形唯一确定，因此，可以求出其他元素．
考点1 解直角三角形
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin B＝.求BC的长及∠A的正切值．
(1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）；
(2)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算；
(3)取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间数据求解．
【变式训练】
1.（河南平顶山宝丰县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝4，则AB的长为( )
A．4 B．8 C．8 D．12
考点2 求非直角三角形中的边和角
【典例2】如图，已知△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，tan ∠ACB＝.求边AC的长．
直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，故当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作垂线（或高），得到直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题．
作垂线（或高）时有两类角不能破坏：(1)30°、45°、60°这三种特殊角，因为其三角函数值已知，便于下一步的运算；(2)已知其某个三角函数值的锐角，如果破坏了，已知的三角函数值就不起作用了．
【变式训练】
2.在△ABC中，AB＝6，∠B＝45°，∠C＝30°，求BC的长．
考点3 解直角三角形的简单应用
【典例3】（江西上饶一模）暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的树CD正好抵着高树AB的中点D.救援的小明通过测量得到了以下数据：BC＝9.1米，∠B≈53°，∠C≈45°（取sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈，≈1.41）.
(1)求两树的支撑点D离地面高多少米？
(2)求高树比低树高多少米（结果保留一位小数）.
当已知边长与所求边长不在同一个直角三角形中时，可考虑“割补”已知线段，把所求线段设为未知数，并用未知数表示出“割”或“补”的线段长，再利用已知线段长列方程求解．
【变式训练】
3.如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿AC又修了一条小路，已知AB＝m米，新修小路与AB的夹角∠CAB＝θ，则小路AC的长为( )
A.m sin θ米 B．米
C．m cos θ米 D．米
知识点1 已知两边解直角三角形
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，求∠B＝( )
A.30° B．45°
C．60° D．75°
2.（海南海口校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，若AB＝8，AD＝5，则sin B等于( )
A. B． C． D．
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5.求：
(1)AC的长；
(2)cos ∠OCA与tan ∠B的值．
知识点2 已知一边和一锐角三角函数值解直角三角形
4.（海南乐东县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC的长为( )
A．45 B．5 C． D．
5.如图，菱形ABCD的边长为5，sin B＝0.8，则对角线AC的长为 ．
知识点3 解直角三角形的简单应用
6.（福建中考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为（参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51）( )
A．9.90 cm B．11.22 cm
C．19.58 cm D．22.44 cm
7.（广西中考）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是 米．
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连结CD，已知CD＝4，cos ∠BCD＝，则BC的值为( )
A． B．2 C．4 D．4
9.如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1 800 m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为( )
A.900 m B．900 m
C．900 m D．1 800 m
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，且DE⊥AC，BD＝CD＝4，若tan A＝，则DE＝ ．
11.如图，在平面直角坐标系中，OB＝10，cos ∠AOB＝，点A的坐标为(20，0).
(1)求点B的坐标；
(2)求sin ∠OAB的值．
12.（推理能力）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E.求：
(1)线段CD的长；
(2)cos ∠ABE的值．
2课时 方向角问题
1.因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”“南偏……”的形式．
2.解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造 三角形来求解．
3.观测点不同，所得的 也不同，但各个观测点的南北方向线是互相 的，通常借助此性质进行角度转换．
考点 方向角解直角三角形
【典例】如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船B与小岛A的距离．
1.方向角一般写成“北偏……”“南偏……”的形式；
2.解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向构造直角三角形．
【变式训练】
某次军事演习中，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73.结果精确到0.1 km）.
知识点 利用解直角三角形解决方位角问题
1.如图，海中有一小岛A，在B处测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B处出发由西向东航行10海里到达C处，在C处测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为( )海里．
A． B． C．20 D．10
2.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）.
3.（海南海口龙华区校级月考）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A、B两点的距离为( )
A.4千米 B．4千米
C．2千米 D．6千米
4.（海南琼海校级月考）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A、C两港之间的距离．
5.（应用意识）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度．（精确到0.1米，参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43，≈1.73）
第3课时 仰角、俯角问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与 的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与 的夹角叫做俯角．
考点 俯角、仰角解直角三角形
【典例】天中柱又名天中塔，是驻马店的标志性建筑．某数学活动小组欲测量天中塔的高度，如图，他们选取的测量点A与天中塔DC的底部C在同一水平直线上，在点A处测塔顶D的仰角为37°，沿射线AC方向前行19.5 m到达点B，在点B处测得塔顶D的仰角为45°，求天中塔的高度CD.（结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法是根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解．
【变式训练】
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离为AD＝15米，则这栋高楼的高BC为多少米？
知识点 利用解直角三角形解决仰角、俯角问题
1.如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1 400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则B，C之间的距离为( )
A.米 B．1 400tan α米
C．1 400sin α米 D．1 400cos α米
2.如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为( )
A．300米 B．600米
C．900米 D．1 800米
3.（海南海口龙华区校级月考）如图，在200米高的峭壁上，测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，那么塔高是( )
A．米 B．米
C．米 D．米
4.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为 米．
5.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是 m （结果保留根号）
6.在综合实践课上，某兴趣小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为4 m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需20 s，在地面C测得A处的仰角为45°，B处的仰角为30°.（图中所有点都在同一平面内）则这架无人机的飞行高度为 m.
7.如图，测绘飞机在同一高度沿直线BC由B向C飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方．在第一观测点B处测得目标A的俯角为60°，航行1 000米后在第二观测点C处测得目标A的俯角为75°.
(1)求∠A的度数；
(2)求第二观测点C与目标A之间的距离．
8.（应用意识）（海南海口琼山区校级月考）如图，在坡顶B处的同一水平面上有一座纪念碑CD垂直于水平面，小明在斜坡底A处测得该纪念碑顶部D的仰角为45°，然后他沿着坡比i＝5∶12的斜坡AB攀行了39米到达坡顶B处，在坡顶B处又测得该纪念碑顶部的仰角为68°.（参考数据：sin 68°≈0.9，cos 68°≈0.4，tan 68°≈2.5）
(1)填空：∠DAE＝ 度，∠BDC＝ 度；
(2)求坡顶B到水平地面AE的距离；
(3)求纪念碑CD的高度．（结果精确到1米）
第4课时 坡度、坡角问题
1.坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），记作i，即i＝.
2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝ ，显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
考点 利用坡度解直角三角形
【典例】如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，求CD的长度（参考数据：≈1.414，≈1.732）
首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值，即i＝tan α），其次是作适当的辅助线构造直角三角形．
【变式训练】
如图，某小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1∶2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17°，即∠ADC＝17°（此时点B、C、D在同一直线上）.求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin 17°≈0.29，cos 17°≈0.96，tan 17°≈0.31）
知识点1 利用解直角三角形解决坡度、坡角问题
1.（海南海口校级期末）如图，一辆小车沿着坡度为i＝1∶的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为( )
A．25米 B．25米
C．30米 D．35米
2.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为 ．
知识点2 其他问题
3.如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形ABCD和螺旋杆PQ，当BD＝m，∠CBD＝α时，A、C两点的距离为( )
A． B．
C．m tan α D．m sin α
易错易混点 不能准确地将实际问题转化为数学问题
4.（江苏无锡中考）一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 米。
5.如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是( )
A．200 cm B．210 cm
C．240 cm D．300 cm
6.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为 m.
7.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度（结果精确到0.1 m）.
8.（应用能力）（海南海口美兰区校级一模）如图，某移动公司为了提升网络信号在坡度i＝1∶2.4（即DB∶AB＝1∶2.4）的山坡AD上加装了信号塔PQ，信号塔底端Q到坡底A的距离为13 m.当太阳光线与水平线所成的夹角为53°时，信号塔顶端P的影子落在警示牌MN上的点E处，且AM＝8 m，ME＝9 m.
(1)AQ＝ m，∠PEN＝ °；
(2)求信号塔PQ的高度大约为多少米？（参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3）24.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形及其简单应用
解直角三角形，有下面两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角．根据三角形全等的判定，由于已知一个角是直角，所以在这两种情况下，对应的直角三角形唯一确定，因此，可以求出其他元素．
考点1 解直角三角形
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin B＝.求BC的长及∠A的正切值．
解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝10，sin B＝，
∴AC＝AB·sin B＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴tan A＝＝＝.
(1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）；
(2)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算；
(3)取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间数据求解．
【变式训练】
1.（河南平顶山宝丰县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝4，则AB的长为( B )
A．4 B．8 C．8 D．12
考点2 求非直角三角形中的边和角
【典例2】如图，已知△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，tan ∠ACB＝.求边AC的长．
解：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为点H.
∵AB＝6，∠B＝30°，
AH⊥BC，
∴AH＝AB＝3.
∵tan ∠ACB＝，AH⊥BC，∴＝，
∴CH＝2，∴AC＝＝.
直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，故当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作垂线（或高），得到直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题．
作垂线（或高）时有两类角不能破坏：(1)30°、45°、60°这三种特殊角，因为其三角函数值已知，便于下一步的运算；(2)已知其某个三角函数值的锐角，如果破坏了，已知的三角函数值就不起作用了．
【变式训练】
2.在△ABC中，AB＝6，∠B＝45°，∠C＝30°，求BC的长．
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴AD＝BD.
在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，∴sin B＝＝.
∵AB＝6，∴AD＝3，∴BD＝AD＝3.
在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，∴tan C＝＝，
∴CD＝3，∴BC＝BD＋CD＝3＋3.
考点3 解直角三角形的简单应用
【典例3】（江西上饶一模）暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的树CD正好抵着高树AB的中点D.救援的小明通过测量得到了以下数据：BC＝9.1米，∠B≈53°，∠C≈45°（取sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈，≈1.41）.
(1)求两树的支撑点D离地面高多少米？
(2)求高树比低树高多少米（结果保留一位小数）.
解：(1)过点D作DE⊥BC于点E，如图．
在Rt△BDE中，∵∠B≈53°，
∴tan B≈tan 53°＝≈，
∴设BE＝3x米，则DE＝4x米．
在Rt△CDE中，∵∠C≈45°，
∴CE＝DE＝4x米．
∵BC＝BE＋CE＝9.1米，∴3x＋4x＝9.1，解得x＝1.3，∴DE＝4x＝5.2米．
答：两树的支撑点D离地面5.2米；
(2)由(1)，得BE＝3x＝3×1.3＝3.9（米），CE＝4x＝4×1.3＝5.2（米），DE＝4x＝4×1.3＝5.2（米），
∴由勾股定理，得BD＝＝6.5（米），
CD＝＝5.2≈7.332（米）.
∵点D是AB的中点，∴AB＝2BD＝13（米），
AB－CD＝13－7.332≈5.7（米），
答：高树比低树高5.7米．
当已知边长与所求边长不在同一个直角三角形中时，可考虑“割补”已知线段，把所求线段设为未知数，并用未知数表示出“割”或“补”的线段长，再利用已知线段长列方程求解．
【变式训练】
3.如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿AC又修了一条小路，已知AB＝m米，新修小路与AB的夹角∠CAB＝θ，则小路AC的长为( D )
A.m sin θ米 B．米
C．m cos θ米 D．米
知识点1 已知两边解直角三角形
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，求∠B＝( B )
A.30° B．45°
C．60° D．75°
2.（海南海口校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，若AB＝8，AD＝5，则sin B等于( C )
A. B． C． D．
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴BC＝2AD＝10.∵AB＝8，
∴AC＝＝6，
∴sin B＝＝＝.
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5.求：
(1)AC的长；
(2)cos ∠OCA与tan ∠B的值．
(1)∵∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，∴AB＝2CO＝13，∵BC＝5，
∴AC＝＝12；
(2)∵∠ACB＝90°，O是AB的中点，
∴OC＝AB＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，
∴cos ∠OCA＝cos ∠A＝＝，tan B＝＝.
知识点2 已知一边和一锐角三角函数值解直角三角形
4.（海南乐东县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC的长为( B )
A．45 B．5 C． D．
5.如图，菱形ABCD的边长为5，sin B＝0.8，则对角线AC的长为 2 ．
知识点3 解直角三角形的简单应用
6.（福建中考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为（参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51）( B )
A．9.90 cm B．11.22 cm
C．19.58 cm D．22.44 cm
7.（广西中考）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是 12sin α 米．
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连结CD，已知CD＝4，cos ∠BCD＝，则BC的值为( C )
A． B．2 C．4 D．4
∵cos ∠BCD＝，∴∠BCD＝30°，∵∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，∴CD＝BD＝AB＝4，∴AB＝8，∴∠BCD＝∠B＝30°，∴AC＝AB＝CD＝4，∴BC＝＝4.
9.如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1 800 m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为( B )
A.900 m B．900 m
C．900 m D．1 800 m
如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E，∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝180°－150°＝30°，∠BCE＝150°－90°＝60°，又∵∠BCD＝105°，∴∠DCE＝105°－60°＝45°，在Rt△BCE中，∠CBE＝30°，BC＝1 800 m，∴CE＝BC＝900 m，在Rt△CDE中，∠DCE＝45°，∴CD＝CE＝900 m.
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，且DE⊥AC，BD＝CD＝4，若tan A＝，则DE＝ 2 ．
∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，∠A＋∠DCB＝90°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝4，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴tan A＝，即＝，∴DE＝2.
11.如图，在平面直角坐标系中，OB＝10，cos ∠AOB＝，点A的坐标为(20，0).
(1)求点B的坐标；
(2)求sin ∠OAB的值．
(1)如图，过B作BC⊥x轴于点C，∴∠BCO＝∠BCA＝90°，
在Rt△BCO中，cos ∠AOB＝＝，OB＝10，∴＝，∴OC＝8，
由勾股定理得BC＝＝＝6，∴点B(8，6).
(2)由(1)得OC＝8，BC＝6，∵A的坐标为(20，0)，∴OA＝20，∴AC＝OA－OC＝20－8＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝＝6，
∴sin ∠OAB＝＝＝.
12.（推理能力）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E.求：
(1)线段CD的长；
(2)cos ∠ABE的值．
(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴sin A＝＝，而BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB中点，∴CD＝AB＝5；
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，
∴BE＝＝，
在Rt△BDE中，cos ∠DBE＝＝＝，
即cos ∠ABE的值为.
第2课时 方向角问题
1.因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”“南偏……”的形式．
2.解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造 直角 三角形来求解．
3.观测点不同，所得的 方向角 也不同，但各个观测点的南北方向线是互相 平行 的，通常借助此性质进行角度转换．
考点 方向角解直角三角形
【典例】如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船B与小岛A的距离．
解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD＝30°，
∠BCD＝45°，AC＝60（海里），
在Rt△ACD中，AD＝AC＝30（海里），
cos ∠ACD＝，
∴CD＝AC·cos ∠ACD＝60×＝30（海里），
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30（海里），
∴AB＝AD＋BD＝（30＋30）海里，
答：这时轮船B与小岛A的距离是（30＋30）海里．
1.方向角一般写成“北偏……”“南偏……”的形式；
2.解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向构造直角三角形．
【变式训练】
某次军事演习中，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73.结果精确到0.1 km）.
由题意，得AB＝40×2＝80(km)，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，如图，过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴AD＝CD，BD＝CD，∵AB＝80 km，∴CD＋CD＝80，
解得CD＝40－40≈29.2(km)，
答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2 km.
知识点 利用解直角三角形解决方位角问题
1.如图，海中有一小岛A，在B处测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B处出发由西向东航行10海里到达C处，在C处测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为(D)海里．
A． B． C．20 D．10
2.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 25 海里（结果保留根号）.
过P作PC⊥AB于点C，如图，
由题意得∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50（海里），在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝PA·cos ∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos ∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里）.
3.（海南海口龙华区校级月考）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A、B两点的距离为( D )
A.4千米 B．4千米
C．2千米 D．6千米
由题意，知∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝60°－30°＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝PB.在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，∠PAC＝30°，∴PC＝PA＝3千米．在Rt△PBC中，∵∠PBC＝60°，sin ∠PBC＝，∴PB＝＝＝6千米，∴AB＝6千米．
4.（海南琼海校级月考）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A、C两港之间的距离．
根据题意，得∠CAB＝65°－20°＝45°，∠ACB＝40°＋20°＝60°，AB＝30 km.
如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°.
在Rt△ABE中，∵∠BAE＝45°，AB＝30 km，∴AE＝BE＝AB＝30 km.
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10 km，
∴AC＝AE＋CE＝（30＋10） km，
∴A，C两港之间的距离为（30＋10）km.
5.（应用意识）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度．（精确到0.1米，参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43，≈1.73）
如图，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F，∴BE＝CF，BC＝EF，∵∠BAD＝60°，AB＝100（米），∴AE＝50，BE＝50（米），∴CF＝50（米），
∵∠DCF＝55°，∴DF＝CF·tan 55°≈123.695（米），
∴BC＝EF＝AD－AE＋DF≈200－50＋123.695＝273.695≈273.7（米），
答：桥BC的长度约为273.7米．
第3课时 仰角、俯角问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与 水平线 的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与 水平线 的夹角叫做俯角．
考点 俯角、仰角解直角三角形
【典例】天中柱又名天中塔，是驻马店的标志性建筑．某数学活动小组欲测量天中塔的高度，如图，他们选取的测量点A与天中塔DC的底部C在同一水平直线上，在点A处测塔顶D的仰角为37°，沿射线AC方向前行19.5 m到达点B，在点B处测得塔顶D的仰角为45°，求天中塔的高度CD.（结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
解：设BC＝x m，∵AB＝19.5 m，∴AC＝AB＋BC＝(x＋19.5) m，在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴DC＝BC·tan 45°＝x(m)，在Rt△ADC中，∠DAC＝37°，∴DC＝AC·tan 37°≈0.75(x＋19.5) m，∴x＝0.75(x＋19.5)，解得x＝58.5≈59，∴CD≈59(m)，答：天中塔的高度CD约为59 m.
解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法是根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解．
【变式训练】
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离为AD＝15米，则这栋高楼的高BC为多少米？
由题意，得∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，
∴BD＝AD tan 30°＝15×＝15（米）.
在Rt△ACD中，∵∠DAC＝60°，
∴CD＝AD tan 60°＝15×＝45（米），
∴BC＝BD＋CD＝15＋45＝60（米），
∴这栋高楼的高BC为60米．
知识点 利用解直角三角形解决仰角、俯角问题
1.如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1 400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则B，C之间的距离为( A )
A.米 B．1 400tan α米
C．1 400sin α米 D．1 400cos α米
2.如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为( B )
A．300米 B．600米
C．900米 D．1 800米
3.（海南海口龙华区校级月考）如图，在200米高的峭壁上，测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，那么塔高是( B )
A．米 B．米
C．米 D．米
4.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为 20 米．
如图，
延长CD交AM于点E，则AE＝30.∴DE＝AE×tan 30°＝10.同理可得CE＝30.∴CD＝CE－DE＝20（米）.
5.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是 40 m．（结果保留根号）
由题意可得∠BDA＝45°，则AB＝AD＝120 m，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan ∠CAD＝tan 30°＝＝，解得CD＝40(m).
6.在综合实践课上，某兴趣小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为4 m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需20 s，在地面C测得A处的仰角为45°，B处的仰角为30°.（图中所有点都在同一平面内）则这架无人机的飞行高度为 （40＋40） m.
如图，
过A作AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，则AE＝BF，EF＝AB＝80 m，∵∠ACD＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE，设AE＝CE＝BF＝x，∵∠BCD＝30°，∴tan 30°＝＝＝，∴x＝40＋40，答：这架无人机的飞行高度为（40＋40）m.
7.如图，测绘飞机在同一高度沿直线BC由B向C飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方．在第一观测点B处测得目标A的俯角为60°，航行1 000米后在第二观测点C处测得目标A的俯角为75°.
(1)求∠A的度数；
(2)求第二观测点C与目标A之间的距离．
(1)∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－60°－75°＝45°；
(2)如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠B＝60°，BC＝1 000（米），
在Rt△BCD中，CD＝BC·sin 60°＝1 000×＝500（米），
在Rt△ACD中，AC＝＝＝500（米），
故第二观测点C与目标A之间的距离为500米．
8.（应用意识）（海南海口琼山区校级月考）如图，在坡顶B处的同一水平面上有一座纪念碑CD垂直于水平面，小明在斜坡底A处测得该纪念碑顶部D的仰角为45°，然后他沿着坡比i＝5∶12的斜坡AB攀行了39米到达坡顶B处，在坡顶B处又测得该纪念碑顶部的仰角为68°.（参考数据：sin 68°≈0.9，cos 68°≈0.4，tan 68°≈2.5）
(1)填空：∠DAE＝ 45 度，∠BDC＝ 22 度；
(2)求坡顶B到水平地面AE的距离；
(3)求纪念碑CD的高度．（结果精确到1米）
(1)由题意，可知∠DAE＝45°，∠DBC＝68°，DC⊥BC，∴∠DCB＝90°，∴∠BDC＝90°－68°＝22°；
(2)过点B作BG⊥AE，垂足为点G，如图，∴i＝tan ∠BAG＝＝5∶12，
∴设BG＝5k米，则AG＝12 k米．
在Rt△BAG中，由勾股定理，得AB＝13k米．
∵AB＝39米，∴13k＝39，解得k＝3，
∴BG＝15米，∴坡顶B到水平地面AE的距离为15米；
(3)如图，延长DC交AE于点F.
∵BC⊥DC，BC∥AE，∴DF⊥AE，
∴DF∥BG，
∴四边形BCFG是矩形，∴CF＝BG＝15米，
BC＝GF.
∵∠DAF＝45°，∴AF＝DF.由(1)，得AG＝12k＝36米，∴AF＝(36＋GF)米．
设DC＝x米，则DF＝(x＋15)米，
∴x＋15＝36＋GF，∴BC＝GF＝x－21.
在Rt△DBC中，∵tan ∠DBC＝，∠DBC＝68°，
∴≈2.5，解得x≈35，
答：纪念碑CD的高度约为35米．
第4课时 坡度、坡角问题
1.坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），记作i，即i＝.
2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝ tan α ，显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
考点 利用坡度解直角三角形
【典例】如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，求CD的长度（参考数据：≈1.414，≈1.732）
解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝5米，
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠D＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴＝tan ∠ABD＝tan 60°＝，
∴AD＝AB，
∴CD＝AD－AC＝AB－AC≈1.732×5－5≈3.66（米），
∴CD的长度约为3.66米．
首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值，即i＝tan α），其次是作适当的辅助线构造直角三角形．
【变式训练】
如图，某小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1∶2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17°，即∠ADC＝17°（此时点B、C、D在同一直线上）.求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin 17°≈0.29，cos 17°≈0.96，tan 17°≈0.31）
由题意，得∠ABC＝90°，i＝1∶2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，设AB＝5x，则BC＝12x，∵AB2＋BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5米，BC＝12米，在Rt△ABD中，tan ∠ADC＝，∵∠ADC＝17°，AB＝5米，∴≈0.31，解得CD≈4.1（米），
答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离约为4.1米．
知识点1 利用解直角三角形解决坡度、坡角问题
1.（海南海口校级期末）如图，一辆小车沿着坡度为i＝1∶的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为( A )
A．25米 B．25米
C．30米 D．35米
2.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为 1∶1.5 ．
知识点2 其他问题
3.如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形ABCD和螺旋杆PQ，当BD＝m，∠CBD＝α时，A、C两点的距离为( C )
A． B．
C．m tan α D．m sin α
如图，
连结AC交BD于点O，在菱形ABCD中，BO＝BD＝m，在Rt△BOC中，tan α＝，∴CO＝BO·tan α＝，∴AC＝2CO＝m·tan α.
易错易混点 不能准确地将实际问题转化为数学问题
4.（江苏无锡中考）一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 10 米。
5.如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是( C )
A．200 cm B．210 cm
C．240 cm D．300 cm
6.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为 3 m.
连结AE，在Rt△ABE中，AB＝3 m，BE＝ m，则AE＝＝2 m，又∵tan ∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°，∴EF＝AE×sin ∠EAF＝2×＝3 m．即木箱端点E距地面AC的高度为3 m．
7.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度（结果精确到0.1 m）.
由题意，可知∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8 m，则∠EAF＋∠BAF＝∠BAF＋∠BAH＝90°，
∴∠EAF＝∠BAH，
∵AB＝30 cm，BH＝20 cm，
则tan ∠BAH＝＝，
∴tan ∠EAF＝＝tan ∠BAH＝，
∵AF＝11 m，则＝，∴EF＝，
∴EG＝EF＋FG＝＋1.8≈9.1 m.
答：树EG的高度为9.1 m．
8.（应用能力）（海南海口美兰区校级一模）如图，某移动公司为了提升网络信号在坡度i＝1∶2.4（即DB∶AB＝1∶2.4）的山坡AD上加装了信号塔PQ，信号塔底端Q到坡底A的距离为13 m.当太阳光线与水平线所成的夹角为53°时，信号塔顶端P的影子落在警示牌MN上的点E处，且AM＝8 m，ME＝9 m.
(1)AQ＝ 13 m，∠PEN＝ 37 °；
(2)求信号塔PQ的高度大约为多少米？（参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3）
(1)由题意，可知AQ＝13 m，∠QPE＝180°－90°－53°＝37°.
∵PQ∥MN，∴∠PEN＝∠QPE＝37°；
(2)如图，过点E作EH⊥PQ于点H，则四边形HGME为矩形，
∴HG＝ME＝9 m，HE＝GM.
设QG为x m．∵斜坡AD的坡度为1∶2.4，∴AG＝2.4x m.
在Rt△AGQ中，由勾股定理，得QG2＋AG2＝AQ2，即x2＋(2.4x)2＝132，解得x＝5（负值舍去），
∴AG＝12 m，HQ＝9－5＝4(m)，
∴HE＝GM＝12＋8＝20(m).
在Rt△PHE中，∵∠PEH＝90°－37°＝53°，HE＝20 m，tan ∠PEH＝，
∴PH＝HE·tan ∠PEH≈20×1.3＝26(m)，
∴PQ＝PH＋HQ＝26＋4＝30(m)，
答：信号塔PQ的高度大约为30米．?
