25．2.2 频率与概率
1．多次试验中，某一事件发生的频数与试验总次数的比叫做该事件在这组试验中发生的频率．
2．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用__ __的方法来估计概率，同样，我们也可以通过分析计算的方法求概率．
3．用直接列举法求概率的步骤：(1)将随机事件发生的n种可能结果列举出来；(2)找到所求事件的m种可能性；(3)代入公式P( )＝进行计算．
考点1 列举法求概率
【典例1】若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为( )
A. B． C． D．
列举要有一定的顺序性，保证结果不重不漏．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式训练】
1．(浙江一模)小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号．采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是( )
A． B． C． D．
考点2 用频率估计概率
【典例2】县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的 棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的 棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的 频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)( )
A.0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
用频率估计概率时，必须保证每次试验在相同条件下进行且试验次数要足够多，用频率估计概率是针对大量重复试验而言的，大量重复实验中反映的规律意味着在每一次的试验中一定出现．
【变式训练】
2．某部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为( )
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
知识点1 用列举法求概率
1．如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A. B． C． D．1
2．若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只(摘B先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是( )
A． B． C． D．
3．小颖、小亮和小丽三位同学随机地站成一排做游戏，小颖恰好站在中间的概率是( )
A． B． C． D．
4．从－2、－8、5中任取两个不同的数作为点的横纵坐标，该点在第三象限的概率为__ __．
5．小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5、2、0这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是__ __．
知识点2 用频率估计概率
6．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为( )
A．0.45 B．0.50 C．0.55 D．0.75
7．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1 000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高 x/cm x<160 160≤ x<170 170≤ x<180 x≥180
人数 59 261 557 123
根据统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170 cm的概率是( )
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
8．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒数 50 100 300 400 600 1 000
发芽频数 47 96 284 380 571 948
估计这批青稞发芽的概率是__ __(结果保留到0.01).
9．(海南琼中县期末)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1 000
“射中九环 以上”的 次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( )
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
10．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是( )
A． B． C． D．
11．(安徽中考)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，那么称该三位数为“平稳数”．用1、2、3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为( )
A． B． C． D．
12．(内蒙古中考)如图，A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是－6、－1、5，转盘B上的数字分别是6、－7、4(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同).小聪和小明同时转动A、B两个转盘，使之旋转(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次).
(1)转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是__ __；
(2)若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a＋b>0，则小聪获胜；若a＋b<0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
13．(应用意识)(1)【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了150次试验，试验的结果如表：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 19 28 27 32 21 x
表格中的数据x＝__ __；
(2)【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是14%.”你认为学习小组的结论正确吗？请说明理由；
(3)【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中有白球多少个？25．2.2 频率与概率
1．多次试验中，某一事件发生的频数与试验总次数的比叫做该事件在这组试验中发生的频率．
2．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用__统计__的方法来估计概率，同样，我们也可以通过分析计算的方法求概率．
3．用直接列举法求概率的步骤：(1)将随机事件发生的n种可能结果列举出来；(2)找到所求事件的m种可能性；(3)代入公式P(A)＝进行计算．
考点1 列举法求概率
【典例1】若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为( A )
A. B． C． D．
解析：∵从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条有3、5、6；3、5、9；3、6、9；5、6、9共4种等可能的结果；
能组成三角形的有3、5、6；5、6、9共3种结果，∴能组成三角形的概率为＝.
列举要有一定的顺序性，保证结果不重不漏．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式训练】
1．(浙江一模)小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号．采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是( A )
A． B． C． D．
考点2 用频率估计概率
【典例2】县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的 棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的 棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的 频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)( C )
A.0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
解析：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左右，故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9.
用频率估计概率时，必须保证每次试验在相同条件下进行且试验次数要足够多，用频率估计概率是针对大量重复试验而言的，大量重复实验中反映的规律意味着在每一次的试验中一定出现．
【变式训练】
2．某部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为( B )
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
知识点1 用列举法求概率
1．如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为( D )
A. B． C． D．1
2．若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只(摘B先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是( C )
A． B． C． D．
3．小颖、小亮和小丽三位同学随机地站成一排做游戏，小颖恰好站在中间的概率是( A )
A． B． C． D．
4．从－2、－8、5中任取两个不同的数作为点的横纵坐标，该点在第三象限的概率为____．
5．小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5、2、0这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是____．
知识点2 用频率估计概率
6．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为( A )
A．0.45 B．0.50 C．0.55 D．0.75
7．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1 000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高 x/cm x<160 160≤ x<170 170≤ x<180 x≥180
人数 59 261 557 123
根据统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170 cm的概率是( C )
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
8．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒数 50 100 300 400 600 1 000
发芽频数 47 96 284 380 571 948
估计这批青稞发芽的概率是__0.95__(结果保留到0.01).
9．(海南琼中县期末)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1 000
“射中九环 以上”的 次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( A )
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
10．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是( B )
A． B． C． D．
11．(安徽中考)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，那么称该三位数为“平稳数”．用1、2、3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为( C )
A． B． C． D．
12．(内蒙古中考)如图，A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是－6、－1、5，转盘B上的数字分别是6、－7、4(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同).小聪和小明同时转动A、B两个转盘，使之旋转(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次).
(1)转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是____；
(2)若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a＋b>0，则小聪获胜；若a＋b<0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
(1)∵A带指针的转盘被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是－6、－1、5，其中正数有1个，
∴P(转动转盘，转盘A指针指向正数)＝；
(2)列表如下：
一共有9种等可能的结果，其中a＋b>0有4种等可能的结果，a＋b<0有4种等可能的结果，
∴P(小聪获胜)＝，P(小明获胜)＝，
∵P(小聪获胜)＝P(小明获胜)，∴这个游戏公平．
13．(应用意识)(1)【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了150次试验，试验的结果如表：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 19 28 27 32 21 x
表格中的数据x＝__23__；
(2)【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是14%.”你认为学习小组的结论正确吗？请说明理由；
(3)【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中有白球多少个？
(1)由题意得x＝150－19－28－27－32－21＝23.
(2)学习小组的结论不正确，理由如下：因为5点朝上的频率为14%，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是14%，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率；
(3)设盒子中大约有白球x个，根据题意得
＝0.4，
解得x＝60，经检验x＝60是原方程的解，
答：估计盒子中大约有白球60个．
