25.2.3 列举所有机会均等的结果
利用画树状图法或列表法可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某些事件发生的概率．
考点 用列表法或画树状图法求简单随机事件的概率
【典例】在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从少林寺、龙门石窟、云台山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是( B )
A. B． C． D．
解析：少林寺、龙门石窟、云台山分别用A、B、C表示，根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中他们两家抽到同一景点的结果数为3，所以两家去同一景点的概率＝＝.
(1)将第一步可能出现的a种等可能结果写在第一层；
(2)若第二步有b种等可能的结果，则在第一层每个结果下面画b个分支，将这b种结果写在第二层，以此类推；
(3)根据树状图求出所有的等可能结果数及所求事件包含的结果数，利用概率公式求解．
【变式训练】
某校举办以“青春心向党，奋进新征程”为主题的红歌比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任此次比赛的主持人，则选出的同学恰为“一男一女”的概率是 ．
知识点1 求两步完成事件的概率
1.某市举行中学生合唱大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三所学校，通过抽签确定三所学校的出场顺序，则甲、乙两校排到前两个出场的概率是( B )
A. B． C． D．
2.（海南二模）为了贯彻“双减”政策，落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程．小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习，则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是( D )
A． B． C． D．
3.（海南海口龙华区校级模拟）四大名著一般指《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四部小说，它们是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产之一．某同学想阅读其中的两本，从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率是( B )
A． B． C． D．
4.（江西中考）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是 随机 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件；
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
(1)由题意可得，“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
(2)画树状图如下：
由树状图可得，一共有12种等可能的结果，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种，∴甲、丁同学都被选为宣传员的概率为P＝＝.
知识点2 求三步完成事件的概率
5.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( B )
A． B． C． D．
画树状图如下：
由树状图知，共有8种等可能的结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有3种结果，所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为.
6.甲、乙、丙互相传球．假设他们相互之间传球是等可能的，并且由甲开始传球．
(1)经过2次传球后，求球仍回到甲手中的概率；
(2)经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率为 .
(1)画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中球仍传到甲手中的结果有2种，所以球仍回到甲手中的概率P＝＝；
(2)画树状图得：
经过三次传球后，球仍传到甲手中的概率P＝＝.
易错易混点 误读“放回不放回”而致错
7.一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是 ．
画树状图如下：
由树状图得，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号的和等于4的结果有3种，所以两次摸出的小球标号的和等于4的概率P＝.
8.（河南郑州管城区月考）盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字－1、1、2，从中随机取出一个，其上的数字记为k，放回后再取一次，其上的数记为b，则函数y＝kx＋b是增函数的概率为( D )
A． B． C． D．
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中满足k>0的结果有(1，－1)、(1，1)、(1，2)、(2，－1)、(2，1)、(2，2)共6种，∴函数y＝kx＋b是增函数的概率为P＝＝.
9.（海南海口琼山区校级模拟）经过某路口的汽车，只能直行或右转．若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为( A )
A． B． C． D．
10.生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的．如人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有RR、Rr、rr三种，其中基因为RR和Rr的人能卷舌，基因为rr的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是Rr，则他们的子女可以卷舌的概率为 ．
画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中他们的子女可以卷舌的结果有3种，∴他们的子女可以卷舌的概率为.
11.（应用意识）（福建中考）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
(1)顾客首次摸球中奖的概率为；
(2)他应往袋中加入黄球．理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有20种等可能的结果，
(ⅰ)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P1＝＝；
(ⅱ)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2＝＝；
∵<，∴P1
利用画树状图法或列表法可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某些事件发生的概率．
考点 用列表法或画树状图法求简单随机事件的概率
【典例】在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从少林寺、龙门石窟、云台山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是( )
A. B． C． D．
(1)将第一步可能出现的a种等可能结果写在第一层；
(2)若第二步有b种等可能的结果，则在第一层每个结果下面画b个分支，将这b种结果写在第二层，以此类推；
(3)根据树状图求出所有的等可能结果数及所求事件包含的结果数，利用概率公式求解．
【变式训练】
某校举办以“青春心向党，奋进新征程”为主题的红歌比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任此次比赛的主持人，则选出的同学恰为“一男一女”的概率是 ．
知识点1 求两步完成事件的概率
1.某市举行中学生合唱大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三所学校，通过抽签确定三所学校的出场顺序，则甲、乙两校排到前两个出场的概率是( )
A. B． C． D．
2.（海南二模）为了贯彻“双减”政策，落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程．小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习，则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是( )
A． B． C． D．
3.（海南海口龙华区校级模拟）四大名著一般指《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四部小说，它们是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产之一．某同学想阅读其中的两本，从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率是( )
A． B． C． D．
4.（江西中考）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件；
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
知识点2 求三步完成事件的概率
5.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( )
A． B． C． D．
6.甲、乙、丙互相传球．假设他们相互之间传球是等可能的，并且由甲开始传球．
(1)经过2次传球后，求球仍回到甲手中的概率；
(2)经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率为 .
易错易混点 误读“放回不放回”而致错
7.一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是 ．
8.（河南郑州管城区月考）盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字－1、1、2，从中随机取出一个，其上的数字记为k，放回后再取一次，其上的数记为b，则函数y＝kx＋b是增函数的概率为( )
A． B． C． D．
9.（海南海口琼山区校级模拟）经过某路口的汽车，只能直行或右转．若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为( )
A． B． C． D．
10.生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的．如人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有RR、Rr、rr三种，其中基因为RR和Rr的人能卷舌，基因为rr的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是Rr，则他们的子女可以卷舌的概率为 ．
11.（应用意识）（福建中考）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．