第 22 章 一元二次方程
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是( )
A．2 B．－4 C．4 D．－2
2.若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2的值是( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
3.方程(x－5)2＝2(x－5)的根是( )
A．7 B．5 C．5或3 D．7或5
4.若关于x的一元二次方程x2－8x＋c＝0配方后得到方程(x－4)2＝4c，则c的值为( )
A．－4 B． C．4 D．
5.关于x的一元二次方程x2＋x－m2＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6.郑州“市长杯”足球预选赛实行双循环赛制，每两支参赛队都要进行两次比赛．若某个预选赛区共要比赛42场，则参赛队的数量为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
7.如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为－10，则输入x的值为( )
A．－8 B．2－1或－2－1 C．－1或－－1 D．－1
8.已知一元二次方程a(x＋m)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为－3、1，则方程a(x＋m－2)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为( )
A．1，5 B．－1，3 C．－3，1 D．－1，5
9.学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是( )
A．1＋(1＋x)2＝73 B．1＋x2＝73 C．1＋x＋x2＝73 D．x＋(1＋x)2＝73
10.已知3是关于x的方程x2－(a＋1)x＋2a＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为( )
A．7 B．10 C．11 D．10或11
11.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意，得长比宽多( )步．
A．15 B．12 C．9 D．6
12.规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac＋b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5.若关于x的方程【x，x＋1】★(mx)＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )
A．m＜ B．m＞
C．m＞且m≠0 D．m＜且m≠0
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.已知关于x的方程(m＋1)x2－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
14.已知关于x的一元二次方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，则另一个根是 ．
15.若m、n是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则m2＋4m＋2n的值是 ．
16.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点D从B点开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，点E从C点开始沿CA边向A点以2 cm/s速度移动，如果D、E分别从B、A同时出发，那么 秒或 秒后，线段DE将△ABC分成面积1∶2的两部分．
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）用适当的方法解方程．
(1)x2－2x－4＝0；
(2)3x2－2x－3＝0.
18.（10分）已知关于x的方程(m－1)xm2＋1－2x＋3＝0是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个一元二次方程．
19.（10分）用一段长为30 m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18 m.
(1)设垂直于墙的一边长为x m，则菜园的面积为 ；
(2)若菜园的面积为100 m2，求x的值．
20.（10分）已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α、β，且α＋2β＝5，求m的值.
21.（15分）为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们设x2－1＝y，则y2＝(x2－1)2，则原方程化为y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±.
∴原方程的解为x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝.
在上面的解答过程中，我们把x2－1看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化，明朗化，解答过程更清晰，这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法．仿照上述方法，解答下列问题：
(1)解方程：x4－3x2－4＝0.
(2)在直角三角形中，两条直角边分别为a、b，且满足(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，求这个直角三角形的斜边长．
22.（15分）近年来，扬州市委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天可卖出200千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克．
(1)若每千克售价为36元，每天可卖出 千克．
(2)若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低多少元？
(3)小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克50元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(2)中的售价，则该商品至少需打几折销售？第 22 章 一元二次方程
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是( B )
A．2 B．－4 C．4 D．－2
2.若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2的值是( C )
A．4 B．2 C．1 D．－2
3.方程(x－5)2＝2(x－5)的根是( D )
A．7 B．5 C．5或3 D．7或5
4.若关于x的一元二次方程x2－8x＋c＝0配方后得到方程(x－4)2＝4c，则c的值为( D )
A．－4 B． C．4 D．
5.关于x的一元二次方程x2＋x－m2＝0的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6.郑州“市长杯”足球预选赛实行双循环赛制，每两支参赛队都要进行两次比赛．若某个预选赛区共要比赛42场，则参赛队的数量为( B )
A．6 B．7 C．8 D．9
7.如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为－10，则输入x的值为( C )
A．－8 B．2－1或－2－1 C．－1或－－1 D．－1
8.已知一元二次方程a(x＋m)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为－3、1，则方程a(x＋m－2)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为( B )
A．1，5 B．－1，3 C．－3，1 D．－1，5
∵一元二次方程a(x＋m)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为－3、1，∴方程a(x＋m－2)2＋n＝0(a≠0)中，x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3，即方程a(x＋m－2)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为－1和3.
9.学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是( C )
A．1＋(1＋x)2＝73 B．1＋x2＝73 C．1＋x＋x2＝73 D．x＋(1＋x)2＝73
10.已知3是关于x的方程x2－(a＋1)x＋2a＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为( D )
A．7 B．10 C．11 D．10或11
把x＝3代入方程得9－3(a＋1)＋2a＝0，解得a＝6，则原方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，△ABC的周长为4＋4＋3＝11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，△ABC的周长为3＋3＋4＝10.综上所述，△ABC的周长为10或11.
11.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意，得长比宽多(D)步．
A．15 B．12 C．9 D．6
设长为x步，则宽为(60－x)步．依题意，得x(60－x)＝891，解得x1＝33，x2＝27.又x≥60－x，∴x≥30，∴x＝33，∴x－(60－x)＝33－(60－33)＝6，∴长比宽多6步．
12.规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac＋b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5.若关于x的方程【x，x＋1】★(mx)＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( D )
A．m＜ B．m＞
C．m＞且m≠0 D．m＜且m≠0
根据题意，得x(mx)＋x＋1＝0，整理，得mx2＋x＋1＝0.∵关于x的方程【x，x＋1】★(mx)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝12－4m·1＞0且m≠0，解得m＜且m≠0.
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.已知关于x的方程(m＋1)x2－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 m≠－1 ．
14.已知关于x的一元二次方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，则另一个根是 －3 ．
15.若m、n是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则m2＋4m＋2n的值是 －3 ．
16.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点D从B点开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，点E从C点开始沿CA边向A点以2 cm/s速度移动，如果D、E分别从B、A同时出发，那么 2 秒或 4 秒后，线段DE将△ABC分成面积1∶2的两部分．
设t(0≤t≤4)秒后，线段DE将△ABC分成面积1∶2的两部分．根据题意，知CD＝BC－BD＝(6－t) cm，CE＝2t cm.∵线段DE将△ABC分成面积1∶2的两部分，∴S△CDE＝S△ABC或S△CDE＝S△ABC，则根据三角形的面积公式，得(6－t)·2t＝××6×8或(6－t)·2t＝××6×8，整理，得t2－6t＋8＝0或t2－6t＋16＝0（无实数解），解得t1＝2，t2＝4，即2秒或4秒后，线段DE将△ABC分成面积1∶2的两部分．
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）用适当的方法解方程．
(1)x2－2x－4＝0；
(2)3x2－2x－3＝0.
(1)x2－2x－4＝0，x2－2x＝4，
x2－2x＋1＝4＋1，
(x－1)2＝5，
x－1＝±，
x1＝1＋，x2＝1－；
(2)3x2－2x－3＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×3×(－3)＝4＋36＝40>0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝.
18.（10分）已知关于x的方程(m－1)xm2＋1－2x＋3＝0是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个一元二次方程．
(1)∵关于x的方程(m－1)xm2＋1－2x＋3＝0是一元二次方程，∴解得m＝－1.
(2)方程为－2x2－2x＋3＝0，即2x2＋2x－3＝0，
∵a＝2，b＝2，c＝－3，∴Δ＝b2－4ac＝22－4×2×(－3)＝4＋24＝28.
∵x＝，∴x1＝，x2＝.
19.（10分）用一段长为30 m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18 m.
(1)设垂直于墙的一边长为x m，则菜园的面积为 x(30－2x) m2 ；
(2)若菜园的面积为100 m2，求x的值．
(1)设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(30－2x) m，∴菜园的面积为x(30－2x) m2.
(2)依题意，得x(30－2x)＝100，整理，得x2－15x＋50＝0，
解得x1＝5，x2＝10.
当x＝5时，30－2x＝30－2×5＝20>18，不合题意，舍去；
当x＝10时，30－2x＝30－2×10＝10<18，符合题意．
答：x的值为10.
20.（10分）已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α、β，且α＋2β＝5，求m的值.
(1)∵a＝1，b＝－2，c＝－3m2，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3m2)＝4＋12m2＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)由题意得解得
∵αβ＝－3m2，∴－3m2＝－3，∴m＝±1，∴m的值为±1.
21.（15分）为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们设x2－1＝y，则y2＝(x2－1)2，则原方程化为y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±.
∴原方程的解为x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝.
在上面的解答过程中，我们把x2－1看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化，明朗化，解答过程更清晰，这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法．仿照上述方法，解答下列问题：
(1)解方程：x4－3x2－4＝0.
(2)在直角三角形中，两条直角边分别为a、b，且满足(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，求这个直角三角形的斜边长．
(1)设x2＝y，则x4＝y2，则原方程可化为y2－3y－4＝0，
解得y1＝－1，y2＝4.
当y＝－1时，x2＝－1，舍去；
当y＝4时，x2＝4，x＝±2.
故原方程的解为x1＝2，x2＝－2；
(2)设斜边为c，
∵a、b是一个直角三角形两条直角边的长，
且满足(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，
根据勾股定理，得c2(c2＋1)－12＝0
即(c2－3)(c2＋4)＝0，
∵c2＋4≠0，∴c2－3＝0，
解得c＝或c＝－（舍去）.
则直角三角形的斜边长为.
22.（15分）近年来，扬州市委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天可卖出200千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克．
(1)若每千克售价为36元，每天可卖出 280 千克．
(2)若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低多少元？
(3)小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克50元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(2)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
(1)200＋20×(40－36)＝200＋20×4＝200＋80＝280（千克），
∴若每千克售价为36元，每天可卖出280千克．
(2)设每千克“阳光玫瑰”售价降低x元，则每千克的销售利润为(40－x－20)元，日销售量为(200＋20x)千克，根据题意，得(40－x－20)(200＋20x)＝(40－20)×200，整理，得x2－10x＝0，解得x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝10.
答：若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低10元．
(3)设该商品打y折销售，根据题意，得50×≤40－10，解得y≤6，∴y的最大值为6.
答：该商品至少需打六折销售．
