第 23 章 图形的相似
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.下列各组图中，是位似图形的是( D )
2.已知两个相似三角形的面积之比为4∶9，这两个三角形的周长的和是100 cm，那么较小的三角形的周长为( C )
A．20 cm B．30 cm C．40 cm D．60 cm
3.下列各组不同长度的线段中，是成比例线段的是( C )
A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm
C．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
4.如图，AD∥BE∥CF，点B、E分别在AC、DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF长为( D )
A．4 B．2 C． D．
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN，若点A(－1，3)的对应点为M(2，5)，则点B(－3，－1)的对应点N的坐标是( B )
A．(1，0) B．(0，1) C．(－6，0) D．(0，－6)
6.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( D )
A．OA·OC＝OD·OB B．∠B＝∠C
C．∠A＝∠D D．＝
7.如图，嘉嘉在A时测得一棵4 m高的树的影长DF为8 m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为( A )
A．2 m B．2 m
C．4 m D．4 m
8.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( C )
A．5 B．6 C． D．
如图，
∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴＝＝＝2，∴S阴影＝S△ABC＝××4×4＝.
9.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5.①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线BQ交AD于点P，交CD的延长线于点E，则AB∶DE＝( D )
A．2∶1 B．2∶5 C．4∶3 D．3∶2
由作法得BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠APB＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝3，∵AD＝5，∴PD＝AD－AP＝2，∵AB∥DE，∴△ABP∽△DEP，∴AB∶DE＝AP∶DP＝3∶2.
10.如图，等边△ABC的顶点B恰好落在等边△ADE的边DE上，BC，AE交于点F.若AC＝8，AD＝9，则EF的长为( B )
A．3 B． C． D．
∵等边△ABC的顶点B恰好落在等边△ADE的边DE上，AC＝8，AD＝9，∴∠C＝∠D＝∠CAB＝∠EAD＝60°，AB＝AC＝8，AE＝AD＝9，∴∠CAB－∠EAB＝∠EAD－∠EAB，即∠CAF＝∠DAB，∴△CAF∽△DAB，∴＝，∴＝，解得EF＝.
11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①∵∠A＝∠A，若∠B＝∠AED，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③若＝，且夹角∠A＝∠A，则能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD·BC＝DE·AC可得＝，此时不能确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意．
12.如图，在平面直角坐标系中，一动点从点(1，0)出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，按照这样的运动规律，第2 025个点的坐标是( C )
A．(45，1) B．(46，1)
C．(45，0) D．(46，0)
由图得第1个点的坐标是(1，0)，第9个点的坐标是(3，0)，第25个点的坐标是(5，0)，….∵452＝2 025，∴第2 025个点的坐标是(45，0).
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.如图，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 AB∥DE（答案不唯一） ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
第13题图
第14题图
14.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是 （，） ．
15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连结OE交BC于点F.已知AB＝2，BC＝8，CE＝1，则CF＝ 2 ．
过O作OM∥AB交BC于点M，
∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，
∴OA＝OC，OM∥CD，∴OM＝CD＝1，BM＝MC＝BC＝4，∠OMF＝∠FCE.
在△OFM和△EFC中，
∴△OFM≌△EFC(A.A.S.)，
∴MF＝FC＝MC＝2.
16.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.点P，Q分别在AE，CG上，满足PF∥AB∥HQ，若EH＝2PE，则的值是 ，的值是 ．
设PE＝1，则EH＝2PE＝2.设AP＝x，则BF＝AE＝1＋x.
∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥FG，EF＝EH＝FG＝HG＝2，
∴BE＝EF＋BF＝3＋x.
∵PF∥AB，∴△PEF∽△AEB，∴＝＝，
∴＝，解得x＝1，∴＝.
设PQ与BE交于点M，
由全等可知DH＝AE＝CG＝1＋x＝2，∴DG＝4.∵GH＝DH，HQ∥CD，
∴GQ＝CQ＝CG＝1，∴FQ＝3.∵PH∥FG，∴△PME∽△QMF，
∴＝＝＝，∴EM＝FM，PM＝MQ，∴EM＝EF＝，
∴PM＝＝，∴MQ＝，∴PQ＝2，∴＝.
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)、B(3，2)、C(2，3).
(1)△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
(2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A2B2C2并写出点B2的坐标．
(1)如图，△A1B1C1为所作，A1(－1，－1)；
(2)如图，△A2B2C2为所作，B2(6，4).
18.（10分）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）.已知小明的眼睛离地面的距离AB＝1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD＝4米，小明到凉亭的距离BD＝10米，凉亭离城楼底部的距离DF＝30米，小亮身高1.7米，B、D、F三点在同一水平线上．请根据以上数据求出城楼的高度．
如图，过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N.
依题意，得AN＝10，CN＝4－1.6＝2.4，MN＝30，
∴AM＝AN＋MN＝40.∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，∴＝，即＝，解得EM＝9.6.
∵MF＝AB＝1.6，∴城楼的高度为9.6＋1.6－1.7＝9.5（米）.
19.（10分）如图，AF、AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG.
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)若DE＝3，＝，求BC的长．
(1)∵AF、AG分别是△ABC和△ADE的高，
∴AF⊥BC，AG⊥DE，
∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，
∴∠BAF＋∠B＝90°，∠DAG＋∠ADG＝90°，
∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，
又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；
(2)∵△ADE∽△ABC，∴＝，
∵＝，DE＝3，∴＝，∴BC＝.
20.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0(1)请用含t的代数式表示：BP＝ 5t cm ，BQ＝ (8－4t) cm ；
(2)求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？
(1)根据题意，知BP＝5t cm，BQ＝(8－4t) cm；
(2)∵∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，∴AB＝＝＝10(cm).
分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，＝，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，∴＝，解得t＝1；
②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝，∴t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似．
21.（15分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.
求证：(1)∠CAE＝∠BAF；
(2)CF·FQ＝AF·BQ.
(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵CF＝BE，∴CF－EF＝BE－EF，即CE＝BF，
在△ACE和△ABF中，
∴△ACE≌△ABF(S.A.S.)，∴∠CAE＝∠BAF.
(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，
∵AE2＝AQ·AB，AC＝AB，∴＝，
∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC＝∠AQF，
∴∠AEF＝∠BQF，
∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE，
∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，
∴＝，即CF·FQ＝AF·BQ.
22.（15分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连结DE，交AC于点F.
(1)如图1，当＝时，求的值；
(2)如图2，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG.
(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD，
∵＝，∴＝，∴＝，
∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴＝＝，
∵△CEF与△CDF在EF，DF边上的高相等，
∴＝＝，∴的值是.
(2)∵E是BC的中点，∴CE＝BE＝BC＝AD，
∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴＝＝，
∵FG⊥BC于点G，
∴∠FGC＝∠ABC＝90°，∴FG∥AB，∴＝＝，
∴CG＝BG.第 23 章 图形的相似
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.下列各组图中，是位似图形的是( )
2.已知两个相似三角形的面积之比为4∶9，这两个三角形的周长的和是100 cm，那么较小的三角形的周长为( )
A．20 cm B．30 cm C．40 cm D．60 cm
3.下列各组不同长度的线段中，是成比例线段的是( )
A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm
C．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
4.如图，AD∥BE∥CF，点B、E分别在AC、DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF长为( )
A．4 B．2 C． D．
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN，若点A(－1，3)的对应点为M(2，5)，则点B(－3，－1)的对应点N的坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1) C．(－6，0) D．(0，－6)
6.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( )
A．OA·OC＝OD·OB B．∠B＝∠C
C．∠A＝∠D D．＝
7.如图，嘉嘉在A时测得一棵4 m高的树的影长DF为8 m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为( )
A．2 m B．2 m
C．4 m D．4 m
8.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( )
A．5 B．6 C． D．
9.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5.①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线BQ交AD于点P，交CD的延长线于点E，则AB∶DE＝( )
A．2∶1 B．2∶5 C．4∶3 D．3∶2
10.如图，等边△ABC的顶点B恰好落在等边△ADE的边DE上，BC，AE交于点F.若AC＝8，AD＝9，则EF的长为( )
A．3 B． C． D．
11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12.如图，在平面直角坐标系中，一动点从点(1，0)出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，按照这样的运动规律，第2 025个点的坐标是( )
A．(45，1) B．(46，1)
C．(45，0) D．(46，0)
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.如图，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
第13题图
第14题图
14.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是 ．
15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连结OE交BC于点F.已知AB＝2，BC＝8，CE＝1，则CF＝ ．
16.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.点P，Q分别在AE，CG上，满足PF∥AB∥HQ，若EH＝2PE，则的值是 ，的值是 ．
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)、B(3，2)、C(2，3).
(1)△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
(2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A2B2C2并写出点B2的坐标．
18.（10分）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）.已知小明的眼睛离地面的距离AB＝1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD＝4米，小明到凉亭的距离BD＝10米，凉亭离城楼底部的距离DF＝30米，小亮身高1.7米，B、D、F三点在同一水平线上．请根据以上数据求出城楼的高度．
19.（10分）如图，AF、AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG.
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)若DE＝3，＝，求BC的长．
20.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0(1)请用含t的代数式表示：BP＝ ，BQ＝ ；
(2)求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？
21.（15分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.
求证：(1)∠CAE＝∠BAF；
(2)CF·FQ＝AF·BQ.
22.（15分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连结DE，交AC于点F.
(1)如图1，当＝时，求的值；
(2)如图2，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG.
