第 24章 解直角三角形
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.cos 45°的值为( B )
A． B． C． D．
2.已知∠A是锐角△ABC的内角，sin A＝，则cos A的值是( C )
A． B． C． D．
3.如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(4，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的余弦值是，则tan ∠α的值是( D )
A． B． C． D．
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为( C )
A． B．2 C．2 D．4
5.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度AC＝12米，坡度为1∶2，则斜坡AB的垂直高度BC为( B )
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
6.如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos ∠BAC的值是( C )
A． B． C． D．
7.如图所示，一文物被探明位于A点地下48 m处，由于A点地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点14 m的B处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖(C)米．
A．14 B．48 C．50 D．60
8.如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1 m时，∠ABC＝45°.当梯子底端点B水平向左移动到点B′，端点A沿墙竖直向上移动到点A′，设∠A′B′C＝α，则AA′的长可以表示为(B)m.
A．sin α B．sin α－1
C．cos α－1 D．tan α－1
9.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为( C )
A． B． C． D．2
延长AD，BC交于点O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tan A＝＝，AB＝3，∴OB＝4，∴OA＝＝5.
∵BC＝2，∴OC＝OB－BC＝4－2＝2，∵∠ODC＝90°＝∠B，∠O＝∠O，∴△ODC∽△OBA，∴＝，∴＝，解得DC＝.
10.如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cos α的值为( D )
A． B． C． D．
∵小正方形的面积为1、大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为1、大正方形的边长为5，设直角三角形中较短的直角边为a，则较长的直角边是a＋1，其中a>0，由勾股定理，得a2＋(a＋1)2＝52，整理，得a2＋a－12＝0，解得a1＝3，a2＝－4（不合题意，舍去）.∴a＋1＝4，∴cos α＝.
11.如图，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为α，AC⊥BM，交BM于点C，下列式子：①i＝AC∶AB；②i＝(AC－DE)∶EC；③i＝tan α＝；④AC＝i·BC，其中正确的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
∵AC⊥BM，交BM于点C，DE⊥BC于点E，∴i＝tan α＝＝，∴AC＝i·BC，DE＝i·BE，∴AC－DE＝i·BC－i·BE＝CE·i，∴i＝，∴②③④正确．
12.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(A)（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG，交AG于点H，则∠EHG＝∠HEF＝90°.
∵∠AEF＝143°，∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝53°，∴∠EAH＝37°.
在△EAH中，∵∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，
∴EH＝AE·sin ∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米）.
∵AB＝1.2米，∴AB＋EH≈1.2＋0.72＝1.92≈1.9米．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AB＝ 6 ．
14.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan ∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是 2 ．
15.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠CAD的平分线，DF∥AC交AE的延长线于点F，则DF的长为 5 ．
16.青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方(GDIH)与青方(ABCD)是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知AL＝，BE＝6.
(1)四边形KIDG的面积为 ；
(2)连结CF，则tan ∠DCF的值为 ．
(1)根据题意，知四边形FECG是正方形，∴∠FEC＝∠ECG＝90°.∵四边形ABCD，DIHG是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠GDC＝∠DIH＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD，DG＝DI，∴∠AEL＋∠ALE＝90°.∵∠FEC＝90°，∴∠AEL＋∠BEC＝90°，∴∠ALE＝∠BEC.∵∠EAL＝∠CBE＝90°，∴△AEL∽△BCE，∴＝.设BC＝a，则AE＝AB－BE＝a－6，∴＝，解得a＝8，∴AB＝BC＝CD＝8，∴AE＝2，tan ∠BCE＝＝＝.∵∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE，∴tan ∠DCG＝tan ∠BCE＝＝，∴DG＝DC＝6，∴DI＝DG＝6，∴CI＝DC－DI＝2.又＝tan ∠DCG＝，
∴IK＝，∴四边形KIDG的面积为(IK＋DG)·DI＝××6＝；
(2)如图，连接CA，延长CE，过点A作AQ⊥CE交CE的延长线于点Q.
在Rt△BCE中，BE＝6，BC＝8，
∴CE＝＝＝10.∵∠AQE＝∠B＝90°，∠AEQ＝∠CEB，
∴∠AEQ∽△CEB，∴＝＝，∴＝＝，∴QE＝1.2，AQ＝1.6.
在Rt△AQC中，tan ∠ACQ＝＝＝＝.
∵∠GCF＝∠BCA＝45°，且∠DCG＝∠BCE，∴∠DCF＝∠ACQ，
∴tan ∠DCF＝tan ∠ACQ＝.
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）计算：
(1)tan 45°－sin 30°cos 60°－cos245°；
(2)cos60°·2sin245°＋3tan230°＋sin30°.
(1)tan 45°－sin 30°cos 60°－cos245°
＝1－×－
＝1－－＝；
(2)原式＝－2×＋3×＋＝－2×＋3×＋＝－1＋1＋＝1.
18.（10分）根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C＝90°)中未知的边和锐角．
(1)BC＝8，∠B＝60°；(2)∠B＝45°，AC＝.
(1)∠A＝30°，AB＝16，AC＝8.
(2)∠A＝45°，BC＝，AB＝2.
19.（10分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，P是BC上的点且PA⊥AB，求证：BP＝2PC.
∵∠B＝∠C＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝120°，∵PA⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝30°，∴∠C＝∠PAC，∴AP＝PC.∵∠B＝∠C＝30°，∴BP＝2AP，∴BP＝2PC.
20.（10分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，求旗杆AB高多少米？（参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
如图，根据题意，得DB＝CE＝9米，
在Rt△BCD中，BD＝9米，∠BCD＝45°，则BD＝CD＝9米．
在Rt△ACD中，CD＝9米，∠ACD＝37°，
则AD＝CD·tan 37°≈9×0.75＝6.75（米）.
则AB＝AD＋BD＝9＋6.75＝15.75（米），
答：国旗AB高15.75米．
21.（15分）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．
(1)填空：∠AMB＝ 30 度，∠BCM＝ 45 度；
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；
(3)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）.
分别过点C，M，作CD⊥AB，ME⊥AB，垂足分别为D，E.
(1)∵∠DBM＝∠A＋∠AMB＝60°，∠A＝30°，∴∠AMB＝30°.
∵AB，CM都是正北方向，∴AB∥CM.
∵∠DBC＝45°，∴∠BCM＝45°.
(2)由(1)知∠A＝∠AMB，∴AB＝BM＝20（海里）.
在Rt△EBM中，sin ∠EBM＝，
∴EM＝sin ∠EBM·BM＝sin 60°×20＝×20＝10（海里）.
答：灯塔M到轮船航线AB的距离为10海里．
(3)∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，
∴四边形DEMC是矩形．∴CD＝EM＝10（海里），DE＝CM.
在Rt△CDB中，∵∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠DCB.
∴DB＝DC＝10海里．在Rt△EMB中，cos ∠DBM＝，
∴EB＝cos ∠DBM·BM＝cos 60°×20＝×20＝10（海里）.
∴CM＝DE＝DB－EB＝10－10＝10（－1）海里．
答：港口C与灯塔M的距离为10（－1）海里．
22.（15分）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON.
小尧同学思路如下：
因为PM⊥OA，垂足是M，D是OP的中点．
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，
得到MD＝OD，…
课后，小尧同学发现上题中，当“点P是∠AOB的外部任意一点”结论也成立，请你证明其正确．
如图2，P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N、D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON.
如题图1，∵PM⊥OA，D是OP的中点，∴MD＝OD，
∴∠DOM＝∠DMO，
∴∠PDM＝2∠AOP，
同理，∠PDN＝2∠BOP，
∴∠MDN＝∠PDM＋∠PDN＝2(∠AOP＋∠BOP)＝2∠MON.
如题图2，由上得，∠PDM＝2∠AOP，∠PDN＝2∠BOP，
∴∠MDN＝∠PDN－∠PDM＝2(∠BOP－∠AOP)＝2∠MON.第 24章 解直角三角形
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.cos 45°的值为( )
A． B． C． D．
2.已知∠A是锐角△ABC的内角，sin A＝，则cos A的值是( )
A． B． C． D．
3.如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(4，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的余弦值是，则tan ∠α的值是( )
A． B． C． D．
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为( )
A． B．2 C．2 D．4
5.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度AC＝12米，坡度为1∶2，则斜坡AB的垂直高度BC为( )
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
6.如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos ∠BAC的值是( )
A． B． C． D．
7.如图所示，一文物被探明位于A点地下48 m处，由于A点地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点14 m的B处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖( )米．
A．14 B．48 C．50 D．60
8.如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1 m时，∠ABC＝45°.当梯子底端点B水平向左移动到点B′，端点A沿墙竖直向上移动到点A′，设∠A′B′C＝α，则AA′的长可以表示为( )m.
A．sin α B．sin α－1
C．cos α－1 D．tan α－1
9.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为( )
A． B． C． D．2
10.如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cos α的值为( )
A． B． C． D．
11.如图，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为α，AC⊥BM，交BM于点C，下列式子：①i＝AC∶AB；②i＝(AC－DE)∶EC；③i＝tan α＝；④AC＝i·BC，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为( )（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AB＝ ．
14.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan ∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是 ．
15.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠CAD的平分线，DF∥AC交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
16.青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方(GDIH)与青方(ABCD)是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知AL＝，BE＝6.
(1)四边形KIDG的面积为 ；
(2)连结CF，则tan ∠DCF的值为 ．
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）计算：
(1)tan 45°－sin 30°cos 60°－cos245°；
(2)cos60°·2sin245°＋3tan230°＋sin30°.
18.（10分）根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C＝90°)中未知的边和锐角．
(1)BC＝8，∠B＝60°；(2)∠B＝45°，AC＝.
19.（10分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，P是BC上的点且PA⊥AB，求证：BP＝2PC.
20.（10分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，求旗杆AB高多少米？（参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
21.（15分）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．
(1)填空：∠AMB＝ 度，∠BCM＝ 度；
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；
(3)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）.
22.（15分）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON.
小尧同学思路如下：
因为PM⊥OA，垂足是M，D是OP的中点．
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，
得到MD＝OD，…
课后，小尧同学发现上题中，当“点P是∠AOB的外部任意一点”结论也成立，请你证明其正确．
如图2，P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N、D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON.
