第 25章 随机事件的概率
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.“明天郑州会下雨”，这个事件是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．确定事件
2.投掷9次硬币，有7次正面向上，2次反面向上，那么投第10次硬币，正面向上的可能性是( )
A． B． C． D．
3.在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为( )
A．1 B．3 C．6 D．9
4.如图，四个完全相同的小球，分别写有1、2、3、4，将其放入袋子里，充分搅匀，随机将小球分成数量相同的两部分，则写有奇数的小球刚好分在一起的概率是( )
A． B． C． D．
5.在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是( )
摸出的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
A.0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
6.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为( )
A． B． C． D．
7.将国际数学家大会的其中两个奖章正反两面的图案分别印在4张完全相同的空白卡片上，如图，现将4张卡片印有图案的一面朝下洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上的图案恰好是同一个奖章的正反面的概率是( )
A． B． C． D．
8.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为( )
A．P1
C．P1>P2 D．无法判断
9.如图1所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5 m，宽为3 m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为( )
A．6 m2 B．5 m2 C．4 m2 D．3 m2
10.不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次试验的结果．
下面四个推断中正确的是( )
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次试验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40.
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
11.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、1、2.随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是( )
A． B． C． D．
12.如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为P甲、P乙，则( )
A．P甲＞P乙 B．P甲＜P乙
C．P甲＝P乙 D．与正方形的边长有关，无法判断
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.已知单词function（函数），从中任取一个字母，则抽到“n”的概率为 ．
14.如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为 5 cm，宽为3 cm的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为 cm2.
15.从－3、－2、－1、0、4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是不等式组的解，又在函数y＝的自变量取值范围内的概率是 ．
16.某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了精肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
(1)按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 （填“可能”“必然”或“不可能”）事件；
(2)小张同学该天早餐刚好得到精肉包和油饼的概率为 ．
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）某班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名．
(1)当n为何值时，男生小强参加是必然事件？
(2)当n为何值时，男生小强参加是随机事件？
18.（10分）有同型号的A、B两把锁和同型号的a、b、c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 ；
(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
19.（10分）小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
(1)若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
(2)若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．
20.（10分）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 ．（精确到0.1）
(2)该园林基地已经移植这种花卉10 000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据某大型小区需要成活99 000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
21.（15分）如图，A、B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，游戏者同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘．
(1)用画树状图或列表的方法分别求出数字之积为3的倍数与数字之积为5的倍数的概率；
(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平．
22.（15分）某中学决定在本校学生中开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
(1)m＝ ，n＝ ；
(2)请补全条形统计图；
(3)根据抽样调查的结果，请估算全校1 800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
(4)在抽查的m名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．第 25章 随机事件的概率
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.“明天郑州会下雨”，这个事件是( B )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．确定事件
2.投掷9次硬币，有7次正面向上，2次反面向上，那么投第10次硬币，正面向上的可能性是( C )
A． B． C． D．
3.在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为( D )
A．1 B．3 C．6 D．9
4.如图，四个完全相同的小球，分别写有1、2、3、4，将其放入袋子里，充分搅匀，随机将小球分成数量相同的两部分，则写有奇数的小球刚好分在一起的概率是( C )
A． B． C． D．
5.在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是( C )
摸出的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
A.0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
6.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为( B )
A． B． C． D．
7.将国际数学家大会的其中两个奖章正反两面的图案分别印在4张完全相同的空白卡片上，如图，现将4张卡片印有图案的一面朝下洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上的图案恰好是同一个奖章的正反面的概率是( B )
A． B． C． D．
8.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为( B )
A．P1C．P1>P2 D．无法判断
如图，
设正方形的边长为2a，则空白部分的面积为2××π·a2＋2＝πa2＋2a2－πa2＝2a2，则阴影部分的面积为(2a)2－2a2＝4a2－2a2＝2a2，所以小球停在阴影部分的概率P1＝停在空白部分的概率P2.
9.如图1所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5 m，宽为3 m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为( A )
A．6 m2 B．5 m2 C．4 m2 D．3 m2
假设不规则图案的面积为x m2，由已知得：长方形面积为15 m2，根据几何概率公式可得小球落在不规则图案上的概率为，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案上的概率大约为0.4，∴＝0.4，解得x＝6.
10.不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次试验的结果．
下面四个推断中正确的是( C )
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次试验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40.
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
11.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、1、2.随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是( A )
A． B． C． D．
画树状图，得
∵x2＋px＋q＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝p2－4q≥0.∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的有(1，－1)，(2，－1)，(2，1)共3种情况，∴满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是＝.
12.如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为P甲、P乙，则( C )
A．P甲＞P乙 B．P甲＜P乙
C．P甲＝P乙 D．与正方形的边长有关，无法判断
设正方形的边长为4a，由已知，得P甲＝＝π，P乙＝＝π，所以P甲＝P乙．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.已知单词function（函数），从中任取一个字母，则抽到“n”的概率为 ．
14.如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为 5 cm，宽为3 cm的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为 9 cm2.
15.从－3、－2、－1、0、4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是不等式组的解，又在函数y＝的自变量取值范围内的概率是 ．
16.某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了精肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
(1)按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 不可能 （填“可能”“必然”或“不可能”）事件；
(2)小张同学该天早餐刚好得到精肉包和油饼的概率为 ．
(1)小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；
(2)画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中刚好得到精肉包和油饼的结果有2种，∴小张同学得到精肉包和油饼的概率为＝.
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）某班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名．
(1)当n为何值时，男生小强参加是必然事件？
(2)当n为何值时，男生小强参加是随机事件？
(1)当女生选1名时，三名男生都能选上，男生小强参加是必然事件，即n＝1；
(2)当女生选2或3名时，小强有可能被选上，即男生小强参加是随机事件，所以n＝2或n＝3.
18.（10分）有同型号的A、B两把锁和同型号的a、b、c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 ；
(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
(1)
(2)画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa，Bb，∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为＝.
19.（10分）小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
(1)若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
(2)若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．
(1)；
(2)画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是＝.
20.（10分）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在 0.9 附近，估计成活概率为 0.9 ．（精确到0.1）
(2)该园林基地已经移植这种花卉10 000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据某大型小区需要成活99 000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
(1)由题图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9.
(2)①10 000×0.9＝9 000（棵），
答：估计这批花卉成活9 000棵；
②99 000÷0.9－10 000＝100 000（棵），
答：估计还要移植100 000棵．
21.（15分）如图，A、B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，游戏者同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘．
(1)用画树状图或列表的方法分别求出数字之积为3的倍数与数字之积为5的倍数的概率；
(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平．
(1)每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
转盘B的数字 转盘A的数字 4 5 6
1 (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，4) (3，5) (3，6)
由表格知，共有9种等可能的结果，
则数字之积为3的倍数的结果有5种，其概率为.
数字之积为5的倍数的结果有3种，其概率为＝.
(2)这个游戏对双方不公平．
∵小亮平均每次得分为2×＝（分），小芸平均每次得分为3×＝1（分），
∵＞1，∴游戏对双方不公平．
修改得分规定为：
若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．
22.（15分）某中学决定在本校学生中开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
(1)m＝ 100 ，n＝ 15 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)根据抽样调查的结果，请估算全校1 800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
(4)在抽查的m名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
(1)由题意，可得m＝10÷10%＝100，n%＝15÷100＝15%，n＝15.
(2)喜爱篮球的有100×35%＝35（人），补全条形统计图，如图所示．
(3)由题意，可得1 800×＝720（人），
答：全校1 800名学生中，大约有720人喜爱踢足球．
(4)设四名女生分别为A（小红）、B（小梅）、C、D，
则出现的所有可能性是：
(A，B)、(C，D)；(A，C)、(B，D)；(A，D)、(B，C).
∴小红、小梅能分在同一组的概率是.