期中测试
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.若二次根式有意义，则x的取值范围为( B )
A．x>2 B．x≥2 C．x<2 D．x≤2
2.若＝，则的值为( C )
A． B．－ C． D．
3.用配方法解一元二次方程x2－4x＋2＝0，配方后得到的方程，正确的是( A )
A．(x－2)2＝2 B．(x＋2)2＝2 C．(x＋4)2＝4 D．(x－4)2＝4
4.已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是( D )
A．6 B．8 C．10 D．12
5.下列运算正确的是( D )
A．＋＝ B．2－＝1 C．×2＝3 D．÷＝2
6.若方程x2－x＋k＝0没有实数根，则k值可以是( B )
A．－2 B． C． D．－1
7.在平面直角坐标系中，线段AB平移后得到线段A′B′，点A(2，1)的对应点A′(－2，－3)，则点B′(－6，－1)的对应点B的坐标为( C )
A．(－10，－5) B．(－2，－1) C．(－2，3) D．(－6，3)
8.某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20件，店里每星期衬衫的利润要达到2 800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为( D )
A．(30＋x)(100－20x)＝2 800 B．(30＋x)(100－4x)＝2 800
C．(30－x)(100＋20x)＝2 800 D．(30－x)(100＋4x)＝2 800
9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为( A )
A．(3，2) B．(3，1)
C．(2，2) D．(4，2)
10.如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，AD＝BE，且AD⊥BE，垂足为点F，G为DC的中点，连接DE、EG.下列结论错误的是( D )
A．△AFB≌△AFE B．∠ADB＝∠ADE
C．FD＝BE D．△CEG∽△CBE
∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠EAD.∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝90°.又AF＝AF，∴△AFB≌△AFE(A.S.A)，故A选项正确，不符合题意；∵△AFB≌△AFE，∴AB＝AE.∵∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，∴△ADB≌△ADE(S.A.S)，∴∠ADB＝∠ADE，故B选项正确，不符合题意；∵BE是中线，∴CE＝EA，∵G为DC的中点，∴CG＝GD，∴EG是△CAD的中位线，∴EG＝AD，EG∥AD，∴＝.又∵△AFB≌△AFE，∴BF＝FE，∴BD＝GD，∴DF是△BEG的中位线，∴DF＝EG，∴DF＝AD.∵AD＝BE，∴DF＝BE，故C选项正确，不符合题意；在△CEG和△CBE中，∠C为公共角，但∠CEG和∠CBE，∠CGE和∠CEB均不能证明相等，相应边不能证明成比例，故△CEG和△CBE不相似，故D选项错误，符合题意．
11.如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P的运动速度为0.5 cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为( A )
A．（－1） cm B．（2－） cm
C．（2＋） cm D．（2－2） cm
如图所示，作∠BAC的平分线AP交BC于点P，
由函数图象关系，得AB＝BC＝0.5×4＝2，∵∠B＝36°，∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝∠B＋∠BAP＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，
∴＝，∴AP·AC＝AB·PC，∴AP2＝AB·PC＝2(2－AP)，解得AP＝－1或AP＝－－1（舍去），∴BP＝－1.
12.如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第(n－3)个数是（用含n的代数式表示）( C )
A． B．
C． D．
由图中规律，知前(n－1)行的数据个数为2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第(n－3)个数的被开方数是n(n－1)＋n－3＝n2－3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第(n－3)个数是.
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.若a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 （答案不唯一） ．
14.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了302个充电桩，第三个月新建了503个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 302(1＋x)2＝503 ．（不必化为一般形式）
15.在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若a，b，c满足关系式a－b＋c＝0与a＋b＋c＝0，则这个方程的根为 x1＝－1，x2＝1 .
16.如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A、C1、C2、C3是线段CC4的五等分点，点A、D1、D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．
(1)△AC1D1的面积为 1 ；
(2)△B1C4D3的面积为 7 ．
(1)如图，连接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3.
∵△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×2＝1.
∵点A、C1、C2、C3是线段CC4的五等分点，∴AC＝AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4＝CC4.
∵点A、D1、D2是线段DD3的四等分点，∴AD＝AD1＝D1D2＝D2D3＝DD3.∵点A是线段BB1的中点，∴AB＝AB1＝BB1.在△AC1D1和△ACD中，
，∴△AC1D1≌△ACD(S.A.S)，∴S△AC1D1＝S△ACD＝1，
∠C1D1A＝∠CDA，∴△AC1D1的面积为1；
(2)在△AB1D1和△ABD中，，
∴△AB1D1≌△ABD(S.A.S)，∴S△AB1D1＝S△ABD＝1，∠B1D1A＝∠BDA.∵∠BDA＋∠CDA＝180°，∴∠B1D1A＋∠C1D1A＝180°，∴C1、D1、B1三点共线，
∴S△AB1C1＝S△AB1D1＋S△AC1D1＝1＋1＝2.
∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，∴S△AB1C4＝4S△AB1C1＝4×2＝8.∵AD1＝D1D2＝D2D3，S△AB1D1＝1，∴S△AB1D3＝3S△AB1D1＝3×1＝3.在△AC3D3和△ACD中，＝3＝，∠C3AD3＝∠CAD，∴△C3AD3∽△CAD，∴＝＝32＝9，∴S△C3AD3＝9S△CAD＝9×1＝9.∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，∴S△AC4D3＝S△C3AD3＝×9＝12，∴S△B1C4D3＝S△AC4D3＋S△AB1D3－S△AB1C4＝12＋3－8＝7，∴△B1C4D3的面积为7.
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）(1)计算：|－5|－＋3-1；
(2)解方程：x2＋2x－8＝0.
(1)|－5|－＋3-1＝5－4＋＝1＋＝；
(2)x2＋2x－8＝0，(x＋4)(x－2)＝0，∴x＋4＝0或x－2＝0，解得x1＝－4，x2＝2.
18.（10分）关于x的一元二次方程3x2＋mx－2＝0.
(1)当m＝1时，求x的值；
(2)若3x2＋mx－2＝0的一个根是x＝3，求方程的另外一个根．
(1)当m＝1时，3x2＋x－2＝0，(x＋1)(3x－2)＝0，x＋1＝0或3x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝；
(2)∵3x2＋mx－2＝0的一个根是x＝3，∵两个根的乘积为－，∴另一个根为－.
19.（10分）如图，左右并排的两棵大树的高分别为AB＝8米，CD＝12米，两树底部的距离BD＝5米，一个人估计自己眼睛距地面1.6米，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
设此人来到点E时，F，A，C恰好在一条直线上，
过点F作FG⊥CD于点K，交AB于点H，由题意得四边形EFHB，四边形BHKD均为矩形，∵EF＝1.6米，AB＝8米，CD＝12米，BD＝5米，∴AH＝6.4米，CK＝10.4米，HK＝5米，FH＝EB，
∵AB∥CD，∴△FHA∽△FKC，∴＝，即＝，解得：FH＝8，∴EB＝8米，答：当她与左边较低的树距离小于8米时，就不能看到右边较高的树的顶端C了．
20.（10分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y （个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
(1)根据图象，求y与x的函数关系式；
(2)该公司要想每天获得3 000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
(1)设y＝kx＋b（k≠0，b为常数），将点(50，160)、(80，100)代入得，解得∴y与x的函数关系式为y＝－2x＋260；
(2)由题意，得(x－50)(－2x＋260)＝3 000，化简，得x2－180x＋8 000＝0，解得x1＝80，x2＝100，∵x≤50×(1＋90%)＝95，∴x2＝100>95（不符合题意，舍去），∴x＝80.答：销售单价应定为80元．
21.（15分）【数学抽象】：
(1)用“＝”“>”或“<”填空：4＋3 > 2；1＋ > 2；5×5 > 2.
(2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小，并说明理由；
(3)请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
(1)∵4＋3＝7，2＝4，∴72＝49，（4）2＝48，∵49>48，∴4＋3>2；∵1＋＝>1，2＝<1，∴1＋>2；∵5×5＝25，2＝10，∴5×5>2.
(2)m＋n≥2(m≥0，n≥0).理由：当m≥0，n≥0时，∵（－）2≥0，
∴（）2－2·＋（）2≥0，∴m－2＋n≥0，∴m＋n≥2.
(3)设花圃的长为a米、宽为b米，则a>0，b>0，S＝ab＝200，根据(2)的结论，可得a＋2b≥2＝2＝2＝2×20＝40，∴篱笆至少需要40米．
22.(1)问题
如图1，在四边形ABCD中，P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°.
求证：AD·BC＝AP·BP.
(2)探究
如图2，在四边形ABCD中，P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
(1)∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADP＋∠APD＝90°，∠BPC＋∠APD＝90°.
∴∠ADP＝∠BPC.∴△ADP∽△BPC.∴＝.
∴AD·BC＝AP·BP.
(2)结论AD·BC＝AP·BP仍成立．
理由：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，
又∵∠BPD＝∠A＋∠ADP，
∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.
∵∠DPC＝∠A＝θ，∴∠BPC＝∠ADP.
又∵∠A＝∠B＝θ，∴△ADP∽△BPC.∴＝.
∴AD·BC＝AP·BP.期中测试
（满分：120分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的）
1.若二次根式有意义，则x的取值范围为( )
A．x>2 B．x≥2 C．x<2 D．x≤2
2.若＝，则的值为( )
A． B．－ C． D．
3.用配方法解一元二次方程x2－4x＋2＝0，配方后得到的方程，正确的是( )
A．(x－2)2＝2 B．(x＋2)2＝2 C．(x＋4)2＝4 D．(x－4)2＝4
4.已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
5.下列运算正确的是( )
A．＋＝ B．2－＝1 C．×2＝3 D．÷＝2
6.若方程x2－x＋k＝0没有实数根，则k值可以是( )
A．－2 B． C． D．－1
7.在平面直角坐标系中，线段AB平移后得到线段A′B′，点A(2，1)的对应点A′(－2，－3)，则点B′(－6，－1)的对应点B的坐标为( )
A．(－10，－5) B．(－2，－1) C．(－2，3) D．(－6，3)
8.某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20件，店里每星期衬衫的利润要达到2 800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为( )
A．(30＋x)(100－20x)＝2 800 B．(30＋x)(100－4x)＝2 800
C．(30－x)(100＋20x)＝2 800 D．(30－x)(100＋4x)＝2 800
9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为( )
A．(3，2) B．(3，1)
C．(2，2) D．(4，2)
10.如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，AD＝BE，且AD⊥BE，垂足为点F，G为DC的中点，连接DE、EG.下列结论错误的是( )
A．△AFB≌△AFE B．∠ADB＝∠ADE
C．FD＝BE D．△CEG∽△CBE
11.如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P的运动速度为0.5 cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为( )
A．（－1） cm B．（2－） cm
C．（2＋） cm D．（2－2） cm
12.如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第(n－3)个数是（用含n的代数式表示）( )
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13.若a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ．
14.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了302个充电桩，第三个月新建了503个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ．（不必化为一般形式）
15.在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若a，b，c满足关系式a－b＋c＝0与a＋b＋c＝0，则这个方程的根为 .
16.如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A、C1、C2、C3是线段CC4的五等分点，点A、D1、D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．
(1)△AC1D1的面积为 ；
(2)△B1C4D3的面积为 ．
三、解答题（本大题满分72分）
17.（12分）(1)计算：|－5|－＋3-1；
(2)解方程：x2＋2x－8＝0.
18.（10分）关于x的一元二次方程3x2＋mx－2＝0.
(1)当m＝1时，求x的值；
(2)若3x2＋mx－2＝0的一个根是x＝3，求方程的另外一个根．
19.（10分）如图，左右并排的两棵大树的高分别为AB＝8米，CD＝12米，两树底部的距离BD＝5米，一个人估计自己眼睛距地面1.6米，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
20.（10分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y （个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
(1)根据图象，求y与x的函数关系式；
(2)该公司要想每天获得3 000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
21.（15分）【数学抽象】：
(1)用“＝”“>”或“<”填空：4＋3 2；1＋ 2；5×5 2.
(2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小，并说明理由；
(3)请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
22.(1)问题
如图1，在四边形ABCD中，P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°.
求证：AD·BC＝AP·BP.
(2)探究
如图2，在四边形ABCD中，P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
