章末小结 第22章 一元二次方程
考点1 一元二次方程的概念
1.下列方程一定是一元二次方程的是( B )
A.ax2＋bx＋c＝0 B．2x2－1＝3x
C．x2＋－3＝0 D．2x2－y＝1
2.若关于x的方程(a－3)x2－4x＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 a≠3 ．
考点2 一元二次方程的解及一般形式
3.将一元二次方程3x2－1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( C )
A．3，5，－1 B．3，5，1
C．3，－5，－1 D．3，－5，1
4.（河南洛阳涧西区一模）已知x＝1是一元二次方程x2＋ax－2＝0的一个实数根，则a的值是( A )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
考点3 解一元二次方程
5.嘉嘉在解方程x(x－3)＝x－3时，只得到一个解是x＝1，则他漏掉的解是( A )
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝0 D．x＝－1
6.（海南海口秀英区校级月考）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长是一元二次方程x(x－5)－7(x－5)＝0的一个根，则这个三角形的周长是 18 ．
7.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么p＋q的值为 5 ．
考点4 一元二次方程根的判别式
8.（河南南阳内乡县期中）关于x的方程x2－mx－3＝0的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
9.（辽宁朝阳中考）若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( A )
A．k>且k≠1 B．k>
C．k≥且k≠1 D．k≥
10.（河南南阳邓州市期中）若关于x的一元二次方程(x＋2)2＝m＋2有实数根，则m的值可以为 1（m≥－2即可，答案不唯一） （写出一个即可）.
11.关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为1，求m的值．
(1)x2－mx＋2m－4＝0，
Δ＝(－m)2－4×1×(2m－4)＝m2－8m＋16＝(m－4)2，
∵不论m为何值，(m－4)2≥0，∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)把x＝1代入关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0，得1－m＋2m－4＝0.解得m＝3.
考点5 一元二次方程根与系数的关系
12.若x1、x2是一元二次方程x2－3x－10＝0的两个根，则x1·x2的值为( D )
A．3 B．10 C．－3 D．－10
13.若关于x的方程x2＋(m2－4)x－1＝0的两根互为相反数，则m的值是( A )
A．±2 B．－2 C．2 D．4
14.设方程x2－3x－2＝0的两个根为a和b，则(a＋1)·(b＋1)的值为 2 ．
∵a、b是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，∴ab＝－2，a＋b＝3，∴(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝－2＋3＋1＝2.
15.（河南驻马店泌阳县期末）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋2＝0.
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且x＋x＝2，求m的值．
(1)∵Δ＝(m＋3)2－4(m＋2)＝(m＋1)2，
∵无论m取何值，(m＋1)2≥0，
∴原方程总有两个实数根．
(2)∵x1、x2是原方程的两根，
∴x1＋x2＝－(m＋3)，x1x2＝m＋2，
∵x＋x＝2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2，
∴代入化简可得m2＋4m＋3＝0，
解得m＝－3或m＝－1.
考点6 一元二次方程的实际应用
16.（海南定安县期中）如图，某单位准备在院内一块长30 m、宽20 m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为532 m2，则小道的宽度为 1 m．
17.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有飞机场 7 个．
18.（海南海口期中）某种商品每件盈利60元，平均每天可销售40件，为了减少库存，现商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
(1)当每件盈利减少到50元时，每天可销售 60 件？
(2)当每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3 000元？
(3)该商场日盈利能否达到3 300元？请说明理由．
(1)当每件盈利减少到50元时，每件商品降价：60－50＝10（元），商场每天可多销售：10×2＝20（件），每天销售：40＋20＝60（件）.
(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3 000元，则商场每天多销售2x件．
根据题意，得(60－x)(40＋2x)＝3 000，
整理，得x2－40x＋300＝0，
解得x1＝10，x2＝30，为减少库存，应舍去10，∴x＝30.
答：每件商品降价30元时，商场日盈利可达到3 000元.
(3)该商场日盈利不能达到3 300元．理由如下：设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3 300元，则商场每天多销售2y件．
根据题意，得(60－y)(40＋2y)＝3 300，
整理，得y2－40y＋450＝0.
∵Δ＝(－40)2－4×450＝1 600－1 800＝－200＜0，
∴该方程无实数根，即商场日盈利不能达到3 300元，
答：商场日盈利不能达到3 300元．章末小结 第22章 一元二次方程
考点1 一元二次方程的概念
1.下列方程一定是一元二次方程的是( )
A.ax2＋bx＋c＝0 B．2x2－1＝3x
C．x2＋－3＝0 D．2x2－y＝1
2.若关于x的方程(a－3)x2－4x＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
考点2 一元二次方程的解及一般形式
3.将一元二次方程3x2－1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A．3，5，－1 B．3，5，1
C．3，－5，－1 D．3，－5，1
4.（河南洛阳涧西区一模）已知x＝1是一元二次方程x2＋ax－2＝0的一个实数根，则a的值是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
考点3 解一元二次方程
5.嘉嘉在解方程x(x－3)＝x－3时，只得到一个解是x＝1，则他漏掉的解是( )
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝0 D．x＝－1
6.（海南海口秀英区校级月考）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长是一元二次方程x(x－5)－7(x－5)＝0的一个根，则这个三角形的周长是 ．
7.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么p＋q的值为 ．
考点4 一元二次方程根的判别式
8.（河南南阳内乡县期中）关于x的方程x2－mx－3＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
9.（辽宁朝阳中考）若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k>且k≠1 B．k>
C．k≥且k≠1 D．k≥
10.（河南南阳邓州市期中）若关于x的一元二次方程(x＋2)2＝m＋2有实数根，则m的值可以为 （写出一个即可）.
11.关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为1，求m的值．
考点5 一元二次方程根与系数的关系
12.若x1、x2是一元二次方程x2－3x－10＝0的两个根，则x1·x2的值为( )
A．3 B．10 C．－3 D．－10
13.若关于x的方程x2＋(m2－4)x－1＝0的两根互为相反数，则m的值是( )
A．±2 B．－2 C．2 D．4
14.设方程x2－3x－2＝0的两个根为a和b，则(a＋1)·(b＋1)的值为 ．
15.（河南驻马店泌阳县期末）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋2＝0.
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且x＋x＝2，求m的值．
考点6 一元二次方程的实际应用
16.（海南定安县期中）如图，某单位准备在院内一块长30 m、宽20 m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为532 m2，则小道的宽度为 m
17.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有飞机场 个．
18.（海南海口期中）某种商品每件盈利60元，平均每天可销售40件，为了减少库存，现商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
(1)当每件盈利减少到50元时，每天可销售 件？
(2)当每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3 000元？
(3)该商场日盈利能否达到3 300元？请说明理由．
