章末小结 第24章 解直角三角形
考点1 测量
1．一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，如图是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是( B )
A．20米 B．18米
C．16米 D．15米
2．如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6 m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高1.6 m的女孩站在点P处，OP＝2 m，则女孩的影子长为( D )
A． m B． m
C． m D． m
考点2 直角三角形的性质
3．如图，一架3 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将( C )
A.变大 B．变小
C．不变 D．先变大后变小
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为__5__．
考点3 锐角三角函数的概念
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值是( B )
A． B． C． D．
6．(海南海口模拟)∠BAC在正方形网格纸上的位置如图，则tan ∠BAC的值为( D )
A． B．
C． D．
考点4 特殊角的三角函数值
7．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tan C的值是( B )
A． B． C．1 D．
8．(河南平顶山舞钢市期末)已知α为锐角，且cos (α－30°)＝，则α＝__60°__．
9．计算：
(1)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°；
(2)2cos 45°＋sin 45°.
(1)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＝×－×＝－1；
(2)2cos 45°＋sin 45°＝2×＋＝＋＝.
考点5 解直角三角形
10．如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为( D )
A．3 B．3
C．3 D．6
∵2CD＝6，∴CD＝3，∵tan C＝2，∴＝2，∴AD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB＝＝＝6.
11．如图，在△ABC中，BC＝2 cm，∠B＝30°，∠A＝45°，则AC＝____cm.
如图，
过点C作CD⊥AB，在Rt△BDC中，CD＝BC·sin 30°＝2×＝1 cm，在Rt△ADC中：AC＝CD÷sin 45°＝1÷＝ cm.
12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝6，求AB的长．
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，∴CD＝AC·sin 30°＝3，AD＝AC×cos 30°＝9，
在Rt△CDB中，∵tan B＝，
∴＝，∴BD＝4，
∴AB＝AD＋DB＝9＋4.
考点6 解直角三角形的应用
13．如图，某型号车开门时，车门与车身的最大展开度数∠BAC＝62°，若车门宽度AC＝AB＝90 cm，则司机恰好进入车体时他身体的宽度BC的最大值约为(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)( D )
A．99.2 cm B．98.6 cm
C．95.8 cm D．93.6 cm
过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝31°，
在Rt△ABD中，BD＝AB·sin ∠BAD，
∴BD＝90×sin 31°≈46.8 cm，
∴BC＝2BD≈93.6 cm.
14．(海南三亚三模)如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为(＋1)海里．观测站B到AC的距离BP是( B )
A. B．1 C．2 D．
由题意，得∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.∵BP⊥AC，∴∠BPA＝∠BPC＝90°.在Rt△BCP中，∵∠C＝45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP＝PC.在Rt△ABP中，∵∠BAC＝30°，∴PA＝BP.∵PA＋PC＝AC，AC＝(＋1)海里，∴BP＋BP＝＋1，解得BP＝1.
15．某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A、B两点之间的距离(A、B位于同一水平地面上)，如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为α，无人机的飞行高度为41.6 m，并且在无人机C处测得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高AD＝1.6 m，CD＝50 m(点A，B，C，D在同一平面内).
(1)求仰角α的正切值；
(2)求A，B两点之间的距离．(结果精确到1 m，≈1.7)
(1)如图所示，作CE⊥AB交AB于点E，作DF⊥CE交CE于点F，
∵无人机的飞行高度为41.6 m，∴CE＝41.6 m，由题意，可得四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝1.6 m，
∴CF＝CE－EF＝40 m，
∵DF⊥CE，CD＝50 m，
∴DF＝＝30 m，
∴tan α＝＝＝；
(2)∵四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝30 m，
∵在无人机C处测得湖岸边B处的俯角为60°，
∴∠CBE＝60°，
∴tan ∠CBE＝tan 60°＝，
即＝，解得BE≈24，
∴AB＝AE＋BE＝30＋24＝54 m，
∴A、B两点之间的距离为54 m．
16．(海南澄迈县模拟)如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2 m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18 m(B、F、C在同一直线上).求教学楼AB的高；(结果保留整数)(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
如图，过点E作EG⊥AB于点G，则四边形BCEG是矩形，
∴BC＝EG，BG＝CE＝2 m.
设教学楼AB的高为x m，则AG＝(x－2) m.
∵∠AFB＝45°，∴∠FAB＝45°，
∴BF＝AB＝x m，
∴EG＝BC＝(x＋18)m.
在Rt△AEG中，∵∠AEG＝22°，
∵tan ∠AEG＝，∴tan 22°＝，
∴0.40＝，解得x≈15 m.
答：教学楼AB的高约为15 m．章末小结 第24章 解直角三角形
考点1 测量
1．一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，如图是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是( )
A．20米 B．18米
C．16米 D．15米
2．如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6 m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高1.6 m的女孩站在点P处，OP＝2 m，则女孩的影子长为( )
A． m B． m
C． m D． m
考点2 直角三角形的性质
3．如图，一架3 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将( )
A.变大 B．变小
C．不变 D．先变大后变小
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为__ __．
考点3 锐角三角函数的概念
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值是( )
A． B． C． D．
6．(海南海口模拟)∠BAC在正方形网格纸上的位置如图，则tan ∠BAC的值为( )
A． B．
C． D．
考点4 特殊角的三角函数值
7．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tan C的值是( )
A． B． C．1 D．
8．(河南平顶山舞钢市期末)已知α为锐角，且cos (α－30°)＝，则α＝__ __．
9．计算：
(1)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°；
(2)2cos 45°＋sin 45°.
考点5 解直角三角形
10．如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为( )
A．3 B．3
C．3 D．6
11．如图，在△ABC中，BC＝2 cm，∠B＝30°，∠A＝45°，则AC＝__ __cm.
12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝6，求AB的长．
考点6 解直角三角形的应用
13．如图，某型号车开门时，车门与车身的最大展开度数∠BAC＝62°，若车门宽度AC＝AB＝90 cm，则司机恰好进入车体时他身体的宽度BC的最大值约为(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)( )
A．99.2 cm B．98.6 cm
C．95.8 cm D．93.6 cm
14．(海南三亚三模)如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为(＋1)海里．观测站B到AC的距离BP是( )
A. B．1 C．2 D．
15．某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A、B两点之间的距离(A、B位于同一水平地面上)，如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为α，无人机的飞行高度为41.6 m，并且在无人机C处测得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高AD＝1.6 m，CD＝50 m(点A，B，C，D在同一平面内).
(1)求仰角α的正切值；
(2)求A，B两点之间的距离．(结果精确到1 m，≈1.7)
16．(海南澄迈县模拟)如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2 m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18 m(B、F、C在同一直线上).求教学楼AB的高；(结果保留整数)(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
