10.2 实数 导学案 （含答案）2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

10.2 实数
素养目标
1.了解实数的意义,能对实数按要求分类.
2.了解实数与数轴上的点一一对应关系.
3.能用数轴上的点表示无理数.
4.会计算和比较两个实数的大小.
重点
理解无理数的概念,认识实数与数轴之间的关系.
【自主预习】
预学思考
1.什么叫有理数 有理数如何分类
2.把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现
-,,,,.
3.用计算器求的结果.(精确到0.001)
自学检测
1.四个数-5,-0.1,,中,无理数是 ( )
A.-5　　　　B.-0.1　　　　C.　　　　D.
2.若将整数看作小数点后面是0的小数,则对实数进行下面的四种分类中,不正确的是 ( )
A.实数
B.实数
C.实数
D.实数
【合作探究】
知识生成
知识点一 无理数的概念
阅读课本本课时“试一试”之前的内容,思考下列问题.
(1)分数都可以表示为 , 都可以写成分数形式.由于整数可以看成分母是1的分数,因此,有理数都可以用分数形式表示. 不能表示成分数的形式,因此不是有理数.
(2)小数可分为 和无限小数,无限小数又可分为 和无限不循环小数.
归纳总结
常见的无理数:
①开方开不尽数,如:,,….
②圆周率π,如:2π,-3π,….
③特殊规律的小数,如:0.101 001 000 100 001…(每两个1之间依次多1个0).
对点训练
下列各数中,是无理数的是 ( )
A.3　　　B.3.14　　　　C.　　　　D.
知识点二 实数的分类
阅读课本本课时第一个“概括”的内容,思考下列问题.
对于实数,我们可按定义分类或大小(正负)分类:
实数
实数
对点训练
1.把下列各数分别填入相应的集合里:
,,-3.141 59,,,-,-,0.121 121 112…,-0.020 202…,1.414,-.
正有理数:{ ,…}.
负有理数:{ ,…}.
正无理数:{ ,…}.
负无理数:{ ,…}.
2.将下列各数填入相应的集合内:
,-,-,0,,π,9.,-3.14,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多1个0).
①有理数集合{　　　　　　　　　　…};
②无理数集合{　　　　　　　　　　…};
③负实数集合{　　　　　　　　　　…}.
知识点三 实数与数轴上的点的对应关系
阅读课本本课时“试一试”和第二个“概括”第一自然段的内容,思考下列问题.
1.我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数吗 无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢
2.(1)如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点A,点A对应的数是 .
(2)你能说出在数轴上的大致位置吗
归纳总结
实数与数轴上的点是一一对应的,就是说所有的 都可以用数轴上的点来表示;反之,数轴上的每一个点都表示一个 .数轴上的任一点表示的数,不是 ,就是 .
对点训练
1.在数轴上,-2对应的点为A,点B与点A的距离为,则点B表示的数为 .
2.如图,数轴上A,B两点对应的实数分别是-π,1.若线段CB=2AB,则点C表示的实数是
( )
A.π+1
B.-2π
C.-2π-1
D.-2π-2
知识点四 实数的大小比较及运算
阅读课本本课时第二个“概括”的第二自然段至“练习”前面的内容,思考下列问题.
1.比较下列各组数中两实数的大小.
(1)-与-1.41;(2)π和.
2.计算:+π.(精确到0.01)
归纳总结
1.任意两个实数都可以比较大小,正实数都大于 ,负实数都小于 ,正实数 一切负实数,两个负实数绝对值大的反而 .
2.涉及无理数的计算,可根据问题的要求取 ,转化为有理数进行计算.
对点训练
1.比较大小: 4.(填“>”“<”或“=”)
2.计算:-+|-3|+.
题型精讲
题型1 无理数的概念
例1　在实数3.141 59,,4.21,1.010 010 001,π,中,无理数有 ( )
A.1个　　　　B.2个
C.3个　　　　D.4个
变式训练
1.有下列说法:
(1)无理数就是开方开不尽的数;
(2)无理数是无限不循环小数;
(3)无理数包括正无理数、零、负无理数;
(4)π是无理数.
其中正确的说法的个数是 ( )
A.1　　　　B.2
C.3　　　　D.4
2.(数学文化)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点——“万物皆数”,即一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来这一学派中的希帕索斯发现,边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示,这令毕达哥拉斯学派感到惊恐不安,由此引发了第一次数学危机.这类“不能用整数或整数的比表示的数”指的是 ( )
A.有理数
B.无理数
C.零
D.负数
题型2 实数的大小比较
例2　比较大小:(1)3和;(2)2和14.
变式训练
比较与的大小.
题型3 实数中的运算
例3　求下列各数的相反数和绝对值:
(1);(2)-;(3)-π-2.
变式训练
1.下列实数中,是无理数的是 ( )
A.
B.
C.
D.
2.计算:(-1)2 025+|-1|=　　　　.
课堂检测
1.有下列各数:-2,0,,0.020 020 002…,π,其中无理数的个数是 ( )
A.4　　　　B.3
C.2　　　　D.1
2.如图,在数轴上点A和点B之间表示整数的点有 个,分别是 .
3.(1)完成下列填空:
= ,= ,= ,=　　,
-= ,= .根据上述计算结果,回答下列问题:
(2)一定等于a吗 你发现其中的规律了吗 请用自己的语言描述出来.
(3)利用你总结的规律计算:
①若x<1,则=　　　　;
②=　　　　.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.整数与分数统称为有理数.
有理数
2.-=-0.6,=5.875,=0.…,=0.1…,=0.….
发现:分数都可以化成小数或无限循环小数.
3.≈1.414.
自学检测
1.D　2.C
【合作探究】
知识生成
知识点一
(1)有限小数或无限循环小数　有限小数或无限循环小数　无限不循环小数
(2)有限小数　无限循环小数
对点训练
C
知识点二
无限循环小数　无理数　正无理数　负有理数
对点训练
1.,,1.414,
-3.141 59,-,-0.020 202…,
,,0.121 121 112…,
-,-,
2.,-,0,,9.,-3.14,
-,π,0.101 001 000 1…,
-,-,-3.14,
知识点三
1.不能说数轴上所有的点都表示有理数,无理数也可以用数轴上的点来表示.
2.(1)π　(2)在1~2之间.
归纳总结
实数　实数　有理数　无理数
对点训练
1.-2-或-2+　2.C
知识点四
1.解:(1)因为-≈-1.414,而-1.414<-1.41,所以-<-1.41.
(2)因为π≈3.141 592 6,≈3.142 857 1,所以π<.
2.解:+π≈2.236+3.142=5.378≈5.38.
归纳总结
1.0　0　大于　小
2.近似值
对点训练
1.<
2.解:原式=-5+3-+
=-.
题型精讲
题型1
例1　A
变式训练
1.B　2.B
题型2
例2
解:(1)∵=3,9<10,∴<,即3<.
(2)∵>,∴>7,∴2>2×7,即2>14.
变式训练
解:因为()2=5,32=9,所以<3,6->3,所以>.
题型3
例3
解:(1)因为是正数,所以的相反数为-()=-,||=.
(2)因为-=-4是负数,所以-的相反数为-(-)==4,|-|=-(-)==4.
(3)因为-π-2=-(π+2)是负数,所以-π-2的相反数为-(-π-2)=π+2,|-π-2|=-(-π-2)=π+2.
变式训练
1.C　2.-2
课堂检测
1.C　2.4　-1,0,1,2
3.解:(1)3　0.5　6　　-　0
(2)不一定等于a,=,即a2的算术平方根等于a的绝对值.
(3)①1-x;②π-3.14.