11.2.3 多项式与多项式相乘 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

11.2.3 多项式与多项式相乘
素养目标
1.知道多项式与多项式的乘法法则,会利用法则进行简单的运算.
2.经历探索多项式与多项式相乘的过程,能够按多项式的乘法步骤进行简单的多项式的乘法运算.
重点
多项式与多项式的乘法法则及利用法则进行计算.
【自主预习】
预学思考
1.如何进行单项式与多项式相乘的运算
2.单项式与多项式相乘时,要注意什么
3.计算:(x-3)(x+5)=　　　　.
自学检测
1.计算(-3m2)(-2m+1)的正确结果是 ( )
A.6m3+1
B.6m3-3
C.6m3-3m2
D.-6m3+3m2
2.下列计算错误的是 ( )
A.(x+1)(x+3)=x2+4x+3
B.(x+2)(x-3)=x2-x-6
C.(x-3)(x-2)=x2-5x+6
D.(x-5)(x+1)=x2-6x-5
【合作探究】
知识生成
知识点一 多项式与多项式相乘的运算法则
阅读课本本课时“例3”前面的内容,思考下列问题.
已知一个长方形花池的长为m米,宽为a米.
1.这个长方形花池的面积是 平方米.
2.若将这个长方形花池的长扩大n米,宽扩大b米,
(1)这个长方形花池的长为 米,宽为 米.
(2)你能用两种不同的方法表示增加后的花池的面积吗 算一算.(如图所示)
3.根据上面(2)中的计算结果,可以得出(m+n)(a+b)= .
归纳总结
多项式乘以多项式的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以 ,再把所得的积 .
对点训练
1.若(x-3)(2x+1)=2x2+ax-3,则a的值为 ( )
A.-7　　　　B.-5　　　　C.5　　　　D.7
2.计算:(a+3b)(a-b)-b(2a-b)=　　　　.
知识点二 多项式与多项式相乘运算法则的应用
阅读课本本课时“例3”与“例4”的内容,思考下列问题.
1.多项式中的每一项中特别要注意前面的 .
2.你能用折线表示一下(x+2)(x-3)的运算步骤吗
3.仿照小明的解题过程,请你完成另一题.
小明的解法:
(a-b+c)(d-e)
=a·d+(-b)·d+c·d+a·(-e)+
(-b)·(-e)+c·(-e)
=ad-bd+cd-ae+be-ce.
计算:(x2+x+1)(x-1).
归纳总结
进行多项式乘法运算时,要注意以下几点:
1.两个多项式相乘,在没有合并同类项之前,积的项数应是这两个多项式项数的 ,如(a+b+c)(m+n),积的项数是 .
2.各项的系数:由“单项式与单项式的积的系数等于各因式的系数之 ”以及合并同类项的法则“系数 ,字母和字母的指数 ”便可得到多项式的乘积中项的系数.
对点训练
1.观察图中两个多项式相乘的运算过程,根据你发现的规律,若(x+a)(x+b)=x2-9x+14,则a,b的值可能是 ( )
A.-2,-7
B.-2,7
C.2,-7
D.2,7
2.下面四个整式中,不能表示图中阴影部分面积的是 ( )
A.(x+6)(x+4)-6x
B.x(x+4)+24
C.4(x+6)+x2
D.x2+24
题型精讲
题型1 多项式与多项式相乘的法则在计算中的应用
例1　计算:3(2x-y)(y-x).
变式训练
计算:x(2x-y)(y-x).
题型2 多项式与多项式相乘的法则与待定系数法的综合应用
例2　若(-2x+n)(x-1)的结果中不含x的一次项,求n的值.
变式训练
若(mx+y)(x-y)=2x2+nxy-y2,求m,n的值.
题型3 多项式与多项式相乘在几何图形中的应用
例3　阅读材料并解答问题:
(2a+b)·(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1的面积表示.请写出图2中所表示的代数恒等式: 　.
变式训练
1.在一家创意家居装饰店中,老板接到了一位客户的订单,要求用店内如图所示的A,B,C三种卡片来装饰一面墙壁,拼成一个长为(3a+2b)、宽为(a+b)的长方形图案.为了完成这个装饰任务,老板需要A型卡片、B型卡
片和C型卡片的张数分别是 ( )
A.3,5,2　　　　B.2,3,5
C.2,5,3　　　　D.3,2,5
2.通过计算,比较图1和图2中阴影部分的面积,可以验证的算式是 ( )
A.a(b-x)=ab-ax
B.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2
C.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx
D.b(a-x)=ab-bx
课堂检测
1.计算(x-3)(x+5)的结果为 ( )
A.x2-8x+15
B.x2-2x+15
C.x2-8x-15
D.x2+2x-15
2.要使多项式(x-m)(x-n)不含x的一次项,则 ( )
A.m+n=0
B.mn=1
C.m=n
D.mn=-1
3.根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是 .
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.将单项式分别乘以多项式的每一项,再把所得的积相加.
2.(1)不能漏乘,即单项式要乘以多项式的每一项.
(2)去括号时注意符号的确定.
3.x2+2x-15
自学检测
1.C
2.D
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.ma
2.(1)(m+n)　(a+b)
(2)方法一:(ma+mb+na+nb)平方米.
方法二:(m+n)(a+b)平方米.
3.ma+mb+na+nb
归纳总结
另一个多项式的每一项　相加
对点训练
1.B
2.a2-2b2
知识点二
1.符号
2.能.如图:.
3.解:原式=x2·x+x·x+1·x+x2·(-1)+
x·(-1)+1×(-1)
=x3+x2+x-x2-x-1
=x3-1.
归纳总结
1.积　3×2=6
2.积　相加　不变
对点训练
1.A 2.D
题型精讲
题型1
例1
解:原式=3(2xy-y·y-2x·x+y·x)=3(2xy-y2-2x2+xy)=3(3xy-y2-2x2)=9xy-3y2-6x2.
变式训练
(方法一)解:原式=x(2x·y-y·y-2x·x+y·x)=x(2xy-y2-2x2+xy)=x(3xy-y2-2x2)=3x2y-xy2-2x3.
(方法二)解:原式=(2x2-xy)(y-x)=2x2·y-xy·y-2x2·x+xy·x=2x2y-xy2-2x3+x2y=3x2y-xy2-2x3.
题型2
例2
解:(-2x+n)(x-1)=-2x2+2x+nx-n=-2x2+(2+n)x-n,因为(-2x+n)(x-1)所得结果中不含x的一次项,所以2+n=0,即n=-2.
变式训练
解:因为(mx+y)(x-y)=mx2+xy-mxy-y2=mx2+(1-m)xy-y2,所以mx2+(1-m)xy-y2=2x2+nxy-y2,即有m=2,1-m=n,所以m=2,n=-1.
题型3
例3
(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2
变式训练
1.D
2.B
课堂检测
1.D
2.A
3.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2