11.3.1 两数和乘以这两数的差 导学案 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

11.3.1 两数和乘以这两数的差
素养目标
1.理解两数和乘以这两数差的乘法公式.
2.掌握两数和乘以这两数差的乘法公式的结构特征,能熟练应用公式进行计算.
3.了解两数和乘以这两数差的乘法公式的几何背景,体会代数与几何的内在统一.
重点
理解两数和乘以两数差的公式,掌握其结构特征,并能灵活用于计算.
【自主预习】
预学思考
1.如何进行多项式与多项式乘法的运算
2.用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列各式,并观察这些计算结果有什么特点
(1)(m+1)(m-1);(2)(x+2)(x-2);
(3)(2d+1)(2d-1);(4)(5p+q)(5p-q).
自学检测
1.(x-1)(x+2)的结果是 ( )
A.x2+21
B.x2-x-2
C.x2+x-2
D.x2-2
2.若(x-2)(x+m)=x2-4,则常数m的值为 ( )
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.-3
【合作探究】
知识生成
知识点一 两数和乘以这两数差公式的推导
阅读课本本课时“做一做”至“试一试”的内容,思考下列问题.
1.等式左边和右边的两个多项式各有什么特点
2.你能用字母表示上述几个式子反映的规律吗
3.你能用一句话归纳总结(a+b)(a-b)=a2-b2的运算吗
4.你能用上面的规律直接计算下列各式吗
(1)(a+2)(a-2);(2)(3a+1)(3a-1).
归纳总结
两数和乘这两数的差的公式结构特征:公式左边是两个二项式的积,这两个二项式中
有一项 ,另一项 ;右边是乘式中两项的平方差,而且
是 减去 .
对点训练
1.下列各式中,不能用平方差公式计算的是 ( )
A.(2x+y)(2x-y)
B.(4x-3y)(3x+4y)
C.(y-x)(x+y)
D.(x+3y)(3y-x)
2.计算:(x+2y)(x-2y)= ( )
A.x2-2y2
B.x2+2y2
C.x2+4y2
D.x2-4y2
知识点二 两数和乘这两数差公式的应用
阅读课本本课时“例1”“例2”“例3”的内容,思考下列问题.
1.你能用“ ”表示“例1(2)、(4)”中各个因式与公式中a,b的对应关系吗 试试看.
2.计算:998×1 002.
归纳总结
进行简便计算时,可以先观察两个因数是由哪个较为好计算的“整百”“整千”“整万”加、减某个数得到的,进而运用两数和,两数差公式计算.
对点训练
1.下列各式,计算正确的是 ( )
A.(a+4)(a-4)=a2-4
B.(2a+3)(2a-3)=2a2-9
C.(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1
D.(a+2)(a-4)=a2-8
2.(2x+y)(2x-y)= .
题型精讲
题型1 平方差公式的概念
例1　下列各式中,不能应用平方差公式进行计算的是 ( )
A.(x+y)(x-y)
B.(-x+2y)(x+2y)
C.(a-b)(-a+b)
D.(-2m+n)(-2m-n)
变式训练
下列算式能用平方差公式计算的是 ( )
A.(2x+y)(2y-x)
B.(4x-3y)(-3y+4x)
C.(3a-b)(-3a+b)
D.(-m+n)(-m-n)
题型2 平方差公式在计算中的运用
例2　计算:4x2-+4x2.
变式训练
计算:(1)(2a+1)2-(2a-1)2;
(2)3a-b9a2+b23a+b.
题型3 运用平方差公式进行简算
例3　计算:399.82-399.9×399.7.
变式训练
计算:2 0262-2 025×2 027.
题型4 平方差公式的几何意义
例4　如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形(如图2所示),通过这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是 ( )
A.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.a(a+b)=a2+ab
D.(a+b)(a-b)=a2-b2
变式训练
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1所示),再将剩余部分拼成一个长方形(如图2所示).根据图形的变化过程,下列等式正确的是 ( )
A.a2-2ab+b2=(a-b)2
B.a2-ab=a(a-b)
C.ab-b2=b(a-b)
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
课堂检测
1.下列计算正确的是 ( )
A.(-2ab2)·(-ab2)3=2a3b6
B.-3xy2·(2x-3y)=6x2y2-9xy3
C.(a+b)(x-y)=ax-ay-bx+by
D.(-2x-y)(y-2x)=4x2-y2
2.计算(-1-a)(a-1)的结果是 ( )
A.1-a2
B.-1-a2
C.a2-1
D.1+a2-2a
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
2.(1)(m+1)(m-1)
=m2-1.
(2)(x+2)(x-2)
=x2-4.
(3)(2d+1)(2d-1)
=4d2-1.
(4)(5p+q)(5p-q)
=25p2-q2.
这几个式子的特点:结果都只有两项.
自学检测
1.C
2.B
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.等式左边:两数和与这两数差的积;等式右边:这两数的平方差.
2.能.(a+b)(a-b)=a2-b2.
3.两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
4.解:(1)(a+2)(a-2)=a2-4.
(2)(3a+1)(3a-1)=9a2-1.
归纳总结　完全相同　互为相反数　相同项的平方　相反项的平方
对点训练
1.B
2.D
知识点二
1.(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.
　 　 　 　　 　　
(a + b) (a- b)= a2 - b2
(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=
　　　　　　　　　　　 　 　 　
　　　　　　　　　　 (a + b) (a - b)=
(-y)2-(2x)2=y2-4x2.
　 　　　
　a2　-　 b2
2.解:原式=(1 000-2)×(1 000+2)=1 000 000-4=999 996.
对点训练
1.C
2.4x2-y2
题型精讲
题型1
例1
C
变式训练
D
题型2
例2
解:原式=4x2-4x2+=(4x2)2-2=16x4-.
变式训练
解:(1)(2a+1)2-(2a-1)2=[(2a+1)+(2a-1)][(2a+1)-(2a-1)]=4a×2=8a.
(2)3a-b9a2+b23a+b=3a+b3a-b9a2+b2=9a2-b2×9a2+b2=81a4-b4.
题型3
例3
解:原式=399.82-(399.8+0.1)×(399.8-0.1)
=399.82-399.82+0.12
=0.01.
变式训练
解:2 0262-2 025×2 027
=2 0262-(2 026-1)×(2 026+1)
=2 0262-(2 0262-1)
=2 0262-2 0262+1
=1.
题型4
例4
D
变式训练
D
课堂检测
1.D
2.A