11.5 因式分解 导学案 （含答案）2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

11.5 因式分解
素养目标
1.知道因式分解的概念及它与整式乘法之间的关系.
2.会运用提公因式法和公式法将多项式分解因式.
重点
运用提取公因式法和公式法分解因式.
【自主预习】
预学思考
1.回忆单项式与多项式相乘的运算法则.
2.回忆整式乘法中的平方差公式和完全平方公式.
3.完成课本本课时“回忆”及“试一试”.
自学检测
xa+xb+xc=x .
【合作探究】
知识生成
知识点一 因式分解的概念
阅读课本本课时“概括”的内容,思考下列问题.
1.(1)m(a+b+c)= ,它叫做什么
(2)ma+mb+mc= ,它又叫做什么呢
2.下列式子的变形是因式分解的是 ( )
A.x2-5x+6=x(x-5)+6
B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)
C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6
D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)
3.用简便方法计算:58×2 025+43×2 025-2 025.
归纳总结
把一个 化为 的形式,叫做多项式的因式分解.
对点训练
下列等式中,从左到右的变化是因式分解的是 ( )
A.x(x+1)=x2+x
B.x2+xy-3=x(x+y)-3
C.x2-2x+1=(x-1)2
D.x2+6x+4=(x+3)2-5
知识点二 提公因式法
阅读课本本课时“例1”中(1)(2)的内容,思考下列问题.
1.下列每个单项式含字母的因式有哪些 它们的因式中有相同的吗
ab,ac,am
2.如何把多项式ab+ac+am分解因式
3.指出下表多项式中各项的公因式
多项式 公因式
ab+bc
3x2-3y
7a2-21a
归纳总结
1.多项式ma+mb+mc中每一项都含有一个共同的因式 ,我们称之为 ,把公因式提出来,多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积了.像这种因式分解的方法,叫做 .
2.提公因式法分解因式的方法:①找各项系数的 (找最大);②找各项公有字母的 幂(找最低).
对点训练
1.多项式6a2b-3ab2的公因式是 .
2.因式分解:3x2-9x= .
知识点三 公式法
阅读课本本课时“例1”中(3)(4)及“例2”的内容,思考下列问题.
1.观察式子:a2-b2,x2-16,4x2-25,它们有什么共同特征
2.乘法公式(a+b)(a-b)= ,反过来就是a2-b2= .即两数的平方差等于这两个数的 与这两个数的差的 .
3.把(x+y)2-4(x+y)z+4z2因式分解.
(1)此题把 看作一个整体,这个多项式相当于 的二次三项式.
(2)这个多项式符合 公式的特点.
(3)(x+y)2-4(x+y)z+4z2= .
归纳总结
1.两数和(差)平方公式的特点是:多项式是一个 ,其中有两个数的 ,还有这两个数的积的 倍.
2.在把一个多项式进行因式分解时,一般按以下的步骤进行:①观察多项式的各项是否有公因式,若有,则先 ;②当一个多项式的各项没有公因式(或有公因式提出公因式后)时,观察多项式是否符合 ,若符合公式,就按照公式进行分解;③分解因式必须要进行到每一个多项式都 为止.
对点训练
下列各式中,可以用完全平方公式因式分解的是 ( )
A.a2-1
B.a2+2a-1
C.a3+a2+a
D.a2-6a+9
题型精讲
题型1 因式分解与整式乘法的关系
例1　下列从左到右的变形属于因式分解的是 ( )
A.(x+1)(x-1)=x2-1
B.x2-2x+1=x(x-2)+1
C.m2-n2=(m+n)(m-n)
D.mx+my+nx+ny=m(x+y)+n(x+y)
变式训练
一次课堂练习,小敏同学做了如下4道因式分解题,你认为小敏做得不够完整的一题是 ( )
A.x3-x=x(x2-1)
B.x2-2xy+y2=(x-y)2
C.x2y-xy2=xy(x-y)
D.x2-y2=(x-y)(x+y)
题型2 灵活运用因式分解的方法
例2　分解因式:(1)12a2+54ab-18;(2)x3-x;(3)x3y-2x2y+xy.
变式训练
1.把多项式-9m2+27mn-18m分解因式.
2.分解因式:(1)x3-4x;(2)2x2-20x+50.
题型3 因式分解在计算中的应用
例3　计算:(1)29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×14;
(2)1.992-2.992;
(3)80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52.
变式训练
计算:2.39×24.9+2.39×38.6+36.5×2.39.
课堂检测
1.因式分解:x(x-1)+4(x-1)= .
2.把下列各式因式分解:
(1)-x2+4xy-4y2;
(2)16a2-(2a+3b)2.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的积相加.
2.(a+b)(a-b)=a2-b2 ;(a±b)2=a2±2ab+b2.
3.略.
自学检测
(a+b+c)
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.(1)ma+mb+mc　整式的乘法.
(2)m(a+b+c)　因式分解.
2.B
3.58×2 025+43×2 025-2 025=2 025×(58+43-1)=202 500.
归纳总结
多项式　几个整式的积
对点训练
C
知识点二
1.a和b,a和c,a和m.有相同的因式a.
2.把乘法分配律从右到左地使用.
ab+ac+am=a(b+c+m).
3.b　3　7a
归纳总结
1.m　公因式　提公因式法
2.最大公因数　最低次
对点训练
1.3ab
2.3x(x-3)
知识点三
1.都是二项式,每项都可化为整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.
2.a2-b2　(a+b)(a-b)　和　积
3.(1)x+y　x+y
(2)两数和(差)的平方
(3)(x+y-2z)2
归纳总结
1.二次三项式　平方　2
2.提取公因式　平方差公式　不能再分解
对点训练
D
题型精讲
题型1
例1
C
变式训练
A
题型2
例2
解:(1)12a2+54ab-18=6(2a2+9ab-3).
(2)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).
(3)x3y-2x2y+xy=xy(x2-2x+1)=xy(x-1)2.
变式训练
1.解:原式=-9m(m-3n+2).
2.解:(1)原式=x(x+2)(x-2).
(2)原式=2(x2-10x+25)=2(x-5)2.
题型3
例3
解:(1)原式=19.99×(29+72+13-14)=19.99×100=1 999.
(2)原式=(1.99-2.99)×(1.99+2.99)=-1×4.98=-4.98.
(3)原式=80×(3.52+2×3.5×1.5+1.52)=80×(3.5+1.5)2=80×52=2 000.
变式训练
解:原式=2.39×(24.9+38.6+36.5)=2.39×100=239.
课堂检测
1.(x-1)(x+4)
2.解:(1)原式=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
(2)原式=[4a+(2a+3b)][4a-(2a+3b)]
=(6a+3b)(2a-3b)
=3(2a+b)(2a-3b).