(共20张PPT)
第3课时 垂直于弦的直径(二)——垂径定理的推论及应用
衔接回顾
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
衔接回顾
垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且平分弦所对的两条________． 几何语言： ∵__________________________， ∴__________， ＝ ，__________． 图例：
推论：平分弦(不是直径)的直径_______于弦，并且_______弦所对的两条弧．
几何语言：
∵________________________，
∴________________，
＝ ，________________．
平分
弧
AB⊥CD，CD是⊙O的直径
AE＝BE
垂直
平分
AE＝BE，CD是⊙O的直径
AB⊥CD
课堂讲练
知识点 1 垂径定理的推论
例1 如图1，AB是⊙O的弦，半径OD过AB的中点C，则下列结论错误的是( )
A． ＝ B．OC＝CD C．AC＝BC D．OD⊥AB
图1
B
训练 1.如图2，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，若E为CD的中点，OE＝3，CD＝8，则下列结论：①AB⊥CD；② ＝ ；
③⊙O的半径为5；④OE＝BE；⑤AE＝CD.其中正确的有________.(填序号)
图2
①②③⑤
例2 如图3，⊙O的直径AB交弦CD于点E，且E是CD的中点．若⊙O的半径为4，CD＝4 ，求BE的长．
图3
解：如答图1，连接OC.
∵E是CD的中点，
在Rt△OCE中，
∴BE＝OB－OE＝4－2＝2.
答图1
训练 2.如图4，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC的延长线与⊙O交于点D.若CD＝2，AB＝12，求⊙O的半径．
图4
解：如答图2，连接OA.
∵C是AB的中点，
∴AC＝ AB＝6，OC⊥AB.
设OA＝x，则OC＝OD－CD＝x－2.
在Rt△OAC中，AC2＋OC2＝OA2，
即62＋(x－2)2＝x2.
解得x＝10.
∴⊙O的半径为10.
答图2
例3 图5是半径为40 cm的圆柱形排水管的截面示意图，已知管内水面的宽AB为64 cm，则水深CD为__________cm.
知识点 2 垂径定理的应用
图5
16
训练 3.在练习掷铅球时，某同学掷出的铅球直径为10 cm，在操场地面上砸出一个深2 cm的小坑(如图6)，则该坑的宽度AB为__________cm.
图6
8
训练 4.如图7，某圆弧形拱桥的跨度AB为6 m，拱高CD为2 m．求该拱桥的半径．
图7
解：根据垂径定理可知，圆弧形拱桥的圆心在CD的延长线上．
如答图3，设圆心是点O，半径是r，连接OA．
∵CD＝2，∴OD＝r－2.
根据垂径定理，得AD＝ AB＝3.
在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，
即r2＝32＋(r－2)2.解得r＝3.25.
∴该拱桥的半径为3.25 m.
答图3
课堂检测
基础过关
1．如图8，已知⊙O的半径为26，弦AB的长为48，半径OD过AB的中点C，则OC的长为( )
A．10 B．12 C．13 D．16
图8
A
2．已知⊙O的弦AB＝16，点C是弦AB的中点，作射线OC交⊙O于点D，若CD＝4，则⊙O的半径长为( )
A．12 B．10 C．8 D．16
B
3．【跨学科】化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体纵截面如图9所示，其半径为6 cm，瓶内液体最大深度为4 cm，则液面宽AB的长为( )
A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．8 cm
图9
D
4．如图10，某桥可以近似地看作半径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面AB的长度为300 m，那么这些钢索中最长的一根长度为多少米？
图10
解：如答图4，设圆弧的圆心为点O，过点O作OC⊥AB于点C，交 于点D，连接OA，则OA＝OD＝250 m，AC＝BC＝ AB＝150 m.
∴CD＝OD－OC＝250－200＝50(m).
答：这些钢索中最长的一根长度为50 m.
答图4
能力提升
5．(人教九上P89改编)图11①是中国传统园林建筑中的月亮门，上部分的拱门是圆的一段弧．图11②是拱门的示意图，其中AB＝1.8 m，C为AB的中点，D为拱门的最高点，圆心O在线段CD上，CD＝2.7 m，则拱门所在圆的半径为多少？
图11
解：如答图5，连接OA.
∵C为AB的中点，
∴AC＝ AB＝0.9 m，OC⊥AB.
设OD＝x m，则OC＝CD－OD＝(2.7－x)m．
在Rt△OAC中，AC2＋OC2＝OA2，
即0.92＋(2.7－x)2＝x2.解得x＝1.5.
答：拱门所在圆的半径为1.5 m.
答图5
思维拓展
6．【实验操作】在数学实验课上，老师拿出一块如图12所示的残缺圆形工件，让同学们运用已学知识，借助一些工具测出此残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交于点C，交AB于点D，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则该残缺圆形工件的半径为( )
A．50 cm
B．35 cm
C．25 cm
D．20 cm
图12
C(共23张PPT)
第13课时 弧长的计算
知识导学
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
会计算圆的弧长．(运算能力、几何直观、模型观念、应用意识)
知识导学
图示
弧占整个圆 的几分之几
弧长 ·2πR ________ ________ ________
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝ ·2πR＝_________ 90
1
n
课堂讲练
知识点 1 利用公式求弧长
例1 已知扇形的半径为2 cm，圆心角为120°，求此扇形的弧长．
训练 1.已知扇形的圆心角是150°，扇形半径是6，求扇形的弧长．
知识点 2 已知弧长和半径，求圆心角
例2 一个扇形的半径为8 cm，弧长为 cm，求扇形的圆心角度数．
解：设扇形的圆心角度数为n°.
所以扇形的圆心角度数为120°.
训练 2.圆的半径长为5 cm，一个圆心角所对的弧长为6.28 cm，求这个圆心角的度数(π取3.14)．
解：设这个圆心角的度数为n°.
根据题意，得 ＝6.28.解得n＝72.
所以这个圆心角的度数为72°.
知识点 3 已知弧长和圆心角，求半径
例3 一段圆弧的长为6.28，其所对的圆心角是60°，求圆弧所在圆的半径(π取3.14)．
解：设圆弧所在圆的半径为r.
根据题意，得6.28＝ .解得r＝6.
所以圆弧所在圆的半径为6.
训练 3.一段圆弧的长为3π，其所对的圆心角是90°，求圆弧所在圆的半径．
解：设圆弧所在圆的半径为r.
根据题意，得3π＝ .解得r＝6.
所以圆弧所在圆的半径为6.
课堂检测
基础过关
1．在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是( )
A． B．9π C． D．
2．一段圆弧的长为4π，其所对的圆心角是30°，该圆弧所在圆的半径为__________.
C
24
3．已知扇形的半径为9，弧长为6π，则它的圆心角是__________°.
4．(人教九上P115改编)图1是一段弯形管道的示意图，中心线
的半径为60 cm，圆心角∠AOB＝120°，则 的长为________cm.
图1
120
40π
5．如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，若BC＝3，则 的长为________.
图2
π
6．如图3，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，连接AC，BC.若半圆O的半径为5，∠B＝58°，则 的长为__________.
图3
7．如图4，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，AB的长为18 cm，BD的长为9 cm，则纸面(即阴影部分)的周长为______________cm.
图4
(22.5π＋18)
8．【跨学科】如图5，物理实验中利用一个半径为6 cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了150°，此时砝码被提起了________cm(结果保留π)．
图5
5π
能力提升
9．如图6，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为( )
A．3π B．2π C．π D．
图6
C
10．如图7，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E.
(1)求证：BE＝CE；
图7
证明：如答图1，连接AE.
答图1
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.
又AB＝AC，∴BE＝CE.
(2)若AB＝6，∠BAC＝54°，求 的长．
图7
解：如答图1，连接OD.
答图1
∵AB＝6，∴OA＝3.
又OA＝OD，∠BAC＝54°，
∴∠OAD＝∠ODA＝54°.
∴∠AOD＝180°－2×54°＝72°.
思维拓展
11．【实验探究】田径比赛中，在进行400 m比赛时，为了使内侧跑道和外侧跑道运动员所跑的距离一样，外侧跑道的运动员的起跑线需要前移．图8是一个标准的田径场的示意图，最内圈跑道的长度为400 m，每条跑道的宽为1.2 m，跑道最内圈的弯道 半径为36 m，则在第三道的400 m起跑线处点C与终点线处点D形成的 所对的圆心角度数是__________.
图8
22.5°
每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，运动员在C处起跑到终点D处距离仍为400 m．(共24张PPT)
第5课时 圆周角(一)
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
理解圆周角的概念；探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等；了解并证明圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半．(几何直观、空间观念、推理能力)
课堂讲练
知识点 1 圆周角的定义
(衔接回顾)圆心角：顶点在________的角叫做圆心角；
圆周角：顶点在________，并且两边都与圆________的角叫做圆周角．
圆心
圆上
相交
例1 (人教九上P88改编)下列图形中的角是圆周角的是( )
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②
图1
D
知识点 2 圆周角定理
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__________.
几何语言(如图2)：
∵ ＝ ，∴____________________．
图2
一半
例2 (人教九上P86改编)如图3，根据下列各图形中的条件，求∠A的度数．
①∠A＝_______°；②∠A＝________°；③∠A＝________°.
图3
50
45
20
例3 如图4，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠ABO的度数是__________.
图4
60°
训练 1.如图5，在⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝65°，则∠BOC的度数是__________.
图5
100°
知识点 3 圆周角定理推论1
推论1：同弧或等弧所对的圆周角__________． 几何语言： ∵ ＝ ，∴∠ADB＝∠ACB. 图例：
相等
例4 如图6，已知AB，CD是⊙O的弦，若∠BCD＝36°，则∠DAB＝__________.
图6
36°
训练 2.如图7，在⊙O中，点C是 的中点，若∠AEC＝36°，则∠CFB＝__________.
图7
36°
例5 (人教九上P90)如图8，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.判断△ABC的形状，并证明你的结论．
图8
解：△ABC是等边三角形．证明如下：
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠BAC＝∠CPB＝60°，∠ABC＝∠APC＝60°.
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝60°.
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB.
∴△ABC是等边三角形．
训练 3.如图9，点A，B，C，D在⊙O上， ＝ ，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，求∠ADB的度数．
图9
解：∵ ＝ ，∴∠CAB＝∠CAD＝30°.
∴∠BAD＝60°.
∵∠ABD＝∠ACD＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝70°.
课堂检测
基础过关
1．如图10，A，B，C是⊙O上的三个点，已知∠AOB＝100°，则∠C的度数为________.
图10
50°
2．如图11，AB是⊙O的直径，若∠D＝20°，则∠AOC的度数为________.
图11
140°
3．如图12，点A，B，C，D在⊙O上，C为 的中点．若∠A＝25°，则∠CBD的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
图12
A
4．(人教九上P88)如图13，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，求证：∠ACB＝2∠BAC.
图13
证明：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝2∠BOC，
∴∠BOC＝∠ACB.
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠ACB＝2∠BAC.
能力提升
5．(人教九上P89改编)如图14，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，连接OC，BD.若∠B＝25°，则∠AOC的度数为( )
A．25°
B．40°
C．50°
D．65°
图14
C
6．如图15，在⊙O中，弦AC＝2 ，B是⊙O上一点，且∠B＝45°，则⊙O的半径为( )
A． B．2 C．2 D．4
图15
B
7．如图16，AB，CE是⊙O的两条直径，D是 的中点，连接BC，DE.若∠B＝34°，则∠E的度数为__________.
图16
28°
思维拓展
8．【几何直观】如图17，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为________.
图17
52.5°(共18张PPT)
第9课时 切线的判定
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
掌握切线的概念．(几何直观、空间观念、推理能力、模型意识)
课堂讲练
知识点 切线的判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．
几何语言(如图1)：∵____________________________________，
∴直线l是⊙O的切线．
图1
垂直
直线l⊥OA，OA是⊙O的半径
类型1 直接证明
例1 如图2，OA是⊙O的半径，∠B＝35°，∠AOB＝55°.求证：AB是⊙O的切线．
图2
证明：∵∠B＝35°，∠AOB＝55°，
∴∠OAB＝180°－∠B－∠AOB＝90°.
∴OA⊥AB.
又OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．
训练 1.如图3，AB为⊙O的直径，AB＝BC＝2，AC＝2 .求证：BC是⊙O的切线．
图3
证明：∵AB＝BC＝2，AC＝2 ，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°，即BC⊥AB.
又AB为⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．
类型2 连半径证垂直
例2 如图4，在△ABC中，∠A＝∠C＝30°，AB是⊙O的弦，AC过圆心O.求证：BC是⊙O的切线．
图4
证明：如答图1，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝30°.
∴∠BOC＝∠OBA＋∠A＝60°.
∴∠OBC＝180°－∠BOC－∠C＝90°，
即OB⊥BC.
又OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
答图1
训练 2.如图5，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D.求证：PD是⊙O的切线．
图5
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB.
∴∠OPB＝∠C.∴OP∥AC.
∵PD⊥AC，∴PD⊥OP.
又OP是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
证明：如答图2，连接OP.
答图2
当已知条件明确指出圆与直线有公共点时，应连接圆心和此公共点构造半径，然后证明直线与所连半径垂直．
图6
证明：如答图3，过点O作OF⊥AM于点F.
∵D为OA中点，∴OD＝ OA.
∵∠AFO＝90°，∠A＝30°，∴OF＝ OA.
∴OD＝OF，即OF为⊙O的半径．
又OF⊥AM，∴AM是⊙O的切线．
答图3
类型3 作垂直证半径
例3 如图6，已知∠A＝30°，O为射线AN上一点，D为OA中点，以点O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AM是⊙O的切线．
训练 3.如图7，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2 ，OB＝4 ，以点O为圆心，4为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线．
图7
证明：如答图4，过点O作OC⊥AB于点C.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
∵⊙O的半径为4，∴OC为⊙O的半径．
又OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
答图4
当已知条件未明确指出圆与直线有公共点时，应过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径．
课堂检测
基础过关
1．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点A(点E，F在点A的两侧)，下列条件：
(1)OA＝5；(2)OE＝OF；(3)OA⊥EF；(4)点O到直线EF的距离是5.其中能判定直线EF与⊙O相切的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2．(人教九上P98改编)如图8，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O.求证：AC是⊙O的切线．
图8
证明：如答图5，连接OA，过点O作OF⊥AC于点F.
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO平分∠BAC.
∵OD⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OF.
∴OF为⊙O的半径．
又OF⊥AC，∴AC是⊙O的切线．
答图5
能力提升
3．【解法不唯一】如图9，AB是⊙O的直径，BD，AD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.求证：DE是⊙O的切线．
图9
证明：如答图6，连接OD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AC，∴CD＝BD.
又OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.
又OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
答图6
思维拓展
4．【几何直观】如图10，在 ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O.
(1)圆心O到直线CD的距离为__________(用含m的代数式表示)；
(2)当m的值为________时，CD与⊙O相切．
图10(共21张PPT)
第11课时 切线长定理
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等；了解三角形的内心；能用尺规作图：作三角形的内切圆．(几何直观、空间观念、推理能力、模型观念、应用意识)
课堂讲练
知识点 1 切线长定理
切线长 切线长定理 图例 几何语言
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 从圆外一点可以引圆的________切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ∵_________________，
∴________________，
__________________
两条
相等
PA，PB与⊙O相切
PA＝PB
∠OPA＝∠OPB
例1 如图1，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．
(1)若PA＝5，则PB＝________；
(2)连接AB，若∠P＝40°，则∠PAB＝__________.
注：经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可以得到一个等腰三角形．
图1
5
70°
训练 1.(人教九上P101 改编)如图2，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠APB＝60°，OA＝2，则OP的长为__________.
图2
4
例2 如图3，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，过圆上一点C作⊙O的切线EF，分别交PA，PB于点E，F.若PA＝4，则△PEF的周长是( )
A．4 B．8 C．10 D．12
图3
B
训练 2.如图4，⊙O与四边形ABCD的四条边都相切，且AB＝8，CD＝12，则四边形ABCD的周长为__________．
图4
40
定义 性质 作法 画图：求作△ABC的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条__________的交点，叫做三角形的内心． 三角形的内心到三角形的三边的距离__________． 1.作任意两角的平分线，交点即为圆心；2.过交点作任一边的垂线段，即为圆的半径；3.以交点为圆心，垂线段的长为半径作圆．
知识点 2 三角形的内切圆和内心
角平分线
相等
如答图1，⊙O即为所求．
答图1
例3 如图5，在△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC＝________．
变式 如图5，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠ABC＝45°，∠ACB＝55°，则∠BOC＝__________.
图5
130°
130°
训练 3.如图6，在△ABC中，∠BIC＝125°，I是内心，O是外心，则∠BOC的度数为( )
A．130° B．135° C．140° D．145°
图6
C
例4 如图7，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝12 cm，BC＝15 cm，CA＝13 cm.求AF，BD，CE的长．
图7
解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE.
设AF＝x cm，则AE＝x cm，BF＝BD＝AB－AF＝(12－x)cm，CE＝CD＝CA－AE＝(13－x)cm.
∵BD＋CD＝BC，
∴12－x＋13－x＝15.解得x＝5.
∴AF＝5 cm，BD＝7 cm，CE＝8 cm.
训练 4.如图8，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)若AB＝5，AC＝3，则⊙O的半径为____．
图8
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC.
∴∠ODC＝∠OEC＝90°.
又∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形．
∵OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形．
1
课堂检测
基础过关
1．如图9，⊙O是△ABC的内切圆，AB，AC分别与⊙O相切于D，E两点．已知AD＝1，BC＝7，则△ABC的周长为( )
A．14
B．10
C．16
D．18
2．已知△ABC三边的长分别为5，12，13，那么△ABC内切圆的半径为__________.
图9
C
2
3．(人教九上P101改编)如图10，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝30°.
(1)求∠P的度数；
图10
解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，PA＝PB.∴∠PAC＝90°.
∵∠BAC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC－∠BAC＝90°－30°＝60°．
又PA＝PB，∴△PAB是等边三角形．∴∠P＝60°.
(2)若⊙O的半径为2，求PA的长．
图10
解：如答图2，连接BC.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝2OA＝4，∠BAC＝30°，
∴BC ＝ AC＝2.
由(1)可知，△PAB是等边三角形．
∴PA＝AB＝2 .
答图2
能力提升
4．如图11，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.
(1)求∠BOC的度数；
图11
解：根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∴∠OBF＋∠OCF＝ ∠ABC＋ ∠BCD＝
(∠ABC＋∠BCD)＝90°.
∴∠BOC＝90°.
(2)求BE＋CG的长；
(3)⊙O的半径为______cm.
图11
解：由(1)知∠BOC＝90°.
在Rt△OBC中，OB＝6 cm，OC＝8 cm，
∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm.
4.8
思维拓展
5．【应用意识】小明同学用一把直尺和一个直角三角板(有一个锐角为60°)测量一张光盘的半径，他把直尺、三角板和光盘按如图12所示的方式摆放．若AB＝3 cm，则这张光盘的半径是________cm.
图12(共20张PPT)
第10课时 切线的性质
衔接回顾
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
衔接回顾
切线的判定定理 切线的性质定理 图示
文字语言 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于__________的半径
几何语言 ∵OA是⊙O的半径，________________， ∴直线l是⊙O的切线． ∵OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，∴________________. 过切点
OA⊥直线l
OA⊥直线l
课堂讲练
知识点 1 利用切线的性质计算
例1 如图1，PA与⊙O相切于点A，∠P＝30°，BP＝5，求∠POA的度数以及OA的长．
图1
解：∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AP，即∠OAP＝90°．
∵∠P＝30°，
∴∠POA＝90°－∠P＝60°，OP＝2OA.
又OA＝OB，∴OP＝2OB.
∴OA＝OB＝BP＝5.
训练 1.如图2，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD.若∠C＝55°，则∠B＝__________，∠AOD＝__________.
图2
35°
70°
知识点 2 利用切线的性质证明
例2 如图3，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D.求证：∠BCD＝∠A.
图3
证明：如答图1，连接OC.
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，
即∠OCD＝90°.
∴∠BCD＋∠OCB＝90°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ACO＋∠OCB＝90°.∴∠ACO＝∠BCD.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A.∴∠BCD＝∠A.
答图1
训练 2.(人教九上P102 改编)如图4，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线交于点E.求证：AE⊥DE.
图4
证明：如答图2，连接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠OAD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∴∠DAE＝∠ODA.
∴AE∥OD.
∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD.
∴AE⊥DE.
答图2
切线的性质的运用：①由切线，得垂直；②常作辅助线：连接圆心与切点．
例3 如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，以BD为直径作⊙O交BC于点F，并且⊙O与AC相切于点E，连接OE.
(1)求证：BC∥OE；
图5
证明：∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC.
∴∠AEO＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴BC∥OE.
(2)若⊙O的半径为5，∠A＝30°，求BC的长．
图5
解：在Rt△AOE中，∠A＝30°，OE＝5，
∴OA＝2OE＝10.
∴AB＝OA＋OB＝10＋5＝15.
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝ AB＝7.5.
(1)求证：△PBC是等腰三角形；
训练 3.如图6，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，与AB交于点P，与过点B的切线交于点C.
图6
证明：如答图3，连接OB.
∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，
即∠OBC＝90°.
∴∠OBA＋∠ABC＝90°.
∵OC⊥OA，∴∠OPA＋∠A＝90°.
又OB＝OA，∴∠A＝∠OBA.
∴∠ABC＝∠OPA＝∠CPB.∴PC＝BC.
∴△PBC是等腰三角形．
答图3
(2)若⊙O的半径为2 ，OP＝2，求BC的长．
解：设BC＝PC＝x，则OC＝PC＋OP＝x＋2.
在Rt△OBC中，OB2＋BC2＝OC2，
∴BC的长为4.
即(2 )2＋x2＝(x＋2)2.解得x＝4.
答图3
课堂检测
基础过关
1．(人教九上P98 改编)如图7，AB是⊙O的直径，∠ABC＝45°，AC是⊙O的切线，则∠C的度数为__________.
图7
45°
2．如图8，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD.求证：AB＝AC.
图8
证明：∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(ASA).
∴AB＝AC.
能力提升
3．如图9，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，连接OD，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
图9
B
思维拓展
4．【推理能力】(人教九上P98改编)如图10，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点O，⊙O与CD相切于点E.
(1)求证：AB与⊙O相切；
图10
证明：如答图4，连接OE，过点O作OF⊥AB于点F.
∵⊙O与CD相切于点E，∴OE⊥CD.
∴∠OEC＝∠OFA＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OA＝OC.
∴∠OAF＝∠OCE.
∴△OAF≌△OCE.
∴OF＝OE，即OF是⊙O的半径．
又OF⊥AB，∴AB与⊙O相切．
答图4
(2)设⊙O与AB相切于点F，试说明EF为⊙O的直径．
解：∵AB，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，OF⊥AB.
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴点E，O，F共线．
∴EF为⊙O的直径．
答图4
若圆的两条切线平行，则连接两个切点的线段是圆的直径；若圆的两条切线相交，连接两个切点的线段有什么特殊性吗？
(共24张PPT)
第4课时 弧、弦、圆心角
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
理解圆心角的概念．(几何直观、空间观念、推理能力)
课堂讲练
知识点 1 弧、弦、圆心角之间的关系
1.顶点在________的角叫做圆心角．
2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也________．
圆心
相等
等弧 等弦、等圆心角 等圆心角 等弧、等弦 等弦 等圆心角、等弧
∵ ＝ ，
∴___________________，_____________________． ∵∠1＝∠2，∴___________________，_____________________． ∵AB＝A′B′，∴∠1＝∠2，
＝ ，
＝ .
AB＝A′B′
∠1＝∠2
AB＝A′B′
例1 如图1，A，B，C是⊙O上的三点，点B在 上，且 ＝ .若∠AOB＝70°，则∠BOC的度数为__________.
图1
70°
训练 1.如图2，在⊙O中，点A是的 中点，AB＝5，∠B＝25°，则AC＝__________，∠A＝__________．
图2
5
130°
知识点 2 弧、弦、圆心角关系的应用
例2 (人教九上P85改编)如图3，AB为⊙O的直径，点C，D是 的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为( )
A．40° B．60° C．80° D．120°
图3
A
训练 2.如图4，AB，CD是⊙O的直径， ＝ .若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是( )
A．32° B．60° C．64° D．68°
图4
C
例3 (人教九上P123改编)如图5，在⊙O中， ＝ ，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE.
图5
证明：如答图1，连接OC.
答图1
∵ ，
∴∠AOC＝∠BOC.
∴OC为∠AOB的平分线．
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE.
训练 3.如图6，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC.求证：
＝ .
图6
证明：如答图2，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E.
答图2
∴AB＝2AD，AC＝2AE.
∵OA平分∠BAC，∴OD＝OE.
又OA＝OA，∴Rt△DAO≌Rt△EAO.
例4 如图7，在⊙O中， ＝ ＝ ，则∠BOC的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．150°
图7
C
训练 4.如图8，在⊙O中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，AB＝2，则△ABC的周长为__________.
图8
6
课堂检测
基础过关
1．下列图形中的角是圆心角的是( )
B
2．如图9，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝__________.
图9
50°
3．(人教九上P89改编)如图10，在⊙O中， ＝ ，∠A＝30°，则∠B＝__________.
图10
75°
4．(人教九上P89改编)如图11，A，B，C，D是⊙O上的四个点，BD＝AC.求证：AB＝CD.
图11
证明：∵BD＝AC，∴
∴ ，即 .
∴AB＝CD.
能力提升
5．如图12，在⊙O中， ＝ ＝ ，连接AC，CD，则AC______2CD.(填“＞”“＜”或“＝”)
图12
＜
由等弧得到相等的弦，将“AC”和“2CD”转化到同一个三角形中，利用“三角形两边之和大于第三边”即可求解．
6．(人教九上P90)如图13，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是 的中点．求证：四边形OACB是菱形．
图13
证明：如答图3，连接OC.
∴∠AOC＝∠BOC.
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形．
∴AC＝OA＝OB＝BC.∴四边形OACB是菱形．
答图3
思维拓展
7．【推理能力·类比探究】(人教九上P85改编)如图14，AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
(1)若∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
图14
图14
解：OE＝OF.理由如下：
∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD.
在Rt△AOE中，OE2＝OA2－AE2.
在Rt△COF中，OF2＝OC2－CF2.
又OA＝OC，∴OE＝OF.
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD.∴AE＝CF.
(2)若OE＝OF，则AB______CD，∠AOB______∠COD.(填“>”“<”或“＝”)
思考：根据上面的结果，你能得到哪些结论？
图14
＝
＝(共19张PPT)
第15课时 圆锥的有关计算
知识导学
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
知识导学
1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段．
2.如图1，设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r.
(1)圆锥的侧面展开图是扇形，
其半径为________，
弧长l＝________＝ ；
图1
R
2πr
(2)S侧＝ lR＝________＝ ，
S全＝________，
V圆锥＝ πr2h；
(3)h2＋r2＝________．
πrR
πrR＋πr2
R2
图1
课堂讲练
知识点 1 计算圆锥的侧面积、全面积
例1 如图2，圆锥的底面半径为3，母线长为6，求它的侧面积及全面积．
图2
解：S侧＝πrR＝π×3×6＝18π.
S全＝S侧＋S底＝18π＋π×32＝27π.
训练 1.如图3，圆锥的底面半径r为6 cm，高h为8 cm.求该圆锥的侧面积和全面积．
图3
解：∵r＝6 cm，h＝8 cm，
∴S侧＝π×6×10＝60π(cm2).
∴S全＝S侧＋S底＝60π＋π×62＝96π(cm2).
∴母线长为 ＝10(cm)．
知识点 2 圆锥侧面展开图的相关计算
例2 如图4，用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽．
(1)这个纸帽的底面周长为__________；
(2)这个纸帽的底面半径为__________；
(3)这个纸帽的侧面积为__________．
图4
4π cm
2 cm
12π cm2
训练 2.如图5，圆锥的底面半径为1，母线长为3，求这个圆锥侧面展开图的圆心角．
图5
解：圆锥侧面展开图的弧长为2π×1＝2π.
∴这个圆锥侧面展开图的圆心角为120°.
设圆心角的度数是n°，则 ＝2π.解得n＝120.
此类题常通过圆锥侧面展开图(扇形)与圆锥中元素之间的关系求解：(1)扇形的半径长等于圆锥的母线长；(2)扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；(3)扇形的面积等于圆锥的侧面积．
知识点 3 圆锥的应用
例3 (人教九上P116 改编)如图6，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4 m，高为3 m．
(1)求这个圆锥的母线长；
图6
解：如答图1，圆锥的轴截面为△ABD，
其中AC为圆锥的高，BC为圆锥底面圆的半径，AB为圆锥的母线长．
由题意可知，AC＝3 m，BC＝4 m.
答图1
答图1
解：顶部圆锥的底面圆周长为2π×BC＝2π×4＝8π(m).
∴圆锥的侧面积为 ×8π×5＝20π≈63(m2).
∴所需油毡的面积至少是63 m2.
(2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？(结果精确到1 m2)？(π取3.14)
图6
课堂检测
基础过关
1．圆锥底面圆的半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积为( )
A．4π B．8π C．12π D．4
2．沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的母线l长为5 cm，底面圆的半径r为3 cm，则展开的扇形的圆心角θ的度数是( )
A．216° B．206° C．108° D．103°
B
A
3．若圆锥的侧面积是24π cm2，母线长是8 cm，则该圆锥底面圆的半径是__________cm.
4．在认识圆锥的主题活动课上，芳芳用半径为9 cm，圆心角为120°的扇形纸板，做了一个如图7所示的圆锥形生日帽．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是________cm.
图7
3
能力提升
5．如图8，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若这个扇形的半径是5，则该圆锥的体积是__________.
图8
6．如图9，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，则圆的半径r与扇形的半径R之间的关系为( )
A．R＝2r B．R＝ r C．R＝3r D．R＝4r
图9
D
思维拓展
7．【空间观念】图10是一个圆锥及其侧面展开图，已知圆锥的底面半径r＝20 cm，高h＝20 cm．
(1)求∠AEA′的度数；
图10
解：在Rt△AOE中，r＝20 cm，h＝20 cm，
由勾股定理，得母线l＝ ＝80(cm).
设∠AEA′的度数为n°，
则2π×20＝ ．
解得n＝90.
∴∠AEA′＝90°.
(2)现在有一只蚂蚁从底面上的点A处出发，沿侧面上爬行一周又回到点A，求蚂蚁爬行的最短路程．
图10
解：如答图2，连接AA′，则AA′的长即为蚂蚁爬行的最短路程．
答图2
易得△EAA′是等腰直角三角形，
由勾股定理，得AA′＝ ＝80 (cm).
∴蚂蚁爬行的最短路程为80 cm.(共21张PPT)
第6课时 圆周角(二)
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
了解并证明圆周角定理及其推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．(几何直观、空间观念、推理能力)
课堂讲练
知识点 1 圆周角定理推论2
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是__________，90°的圆周角所对的弦是__________．
几何语言：
∵BC为⊙O的直径，
∴__________________．
反之：∵∠A＝90°，
∴__________________．
直角
直径
∠A＝90°
BC为⊙O的直径
图例：
例1 如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC.
(1)若∠A＝70°，则∠B的度数是________；
(2)若AB＝13，BC＝12，则AC＝________.
图1
20°
5
训练 1.如图2，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°.若∠C＝30°，求证：AB是⊙O的直径．
图2
证明：∵∠C＝30°，∴∠A＝∠C＝30°.
∵∠DBA＝60°，∴∠A＋∠DBA＝90°.
∴∠ADB＝90°.∴AB是⊙O的直径．
例2 如图3，⊙O的直径AB为10，弦BC为8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AC，AD，BD的长．
图3
解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
又CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.
∵∠ABD＝∠ACD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠BAD.
∴AD＝BD.
在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，AD＝BD，
训练 2.如图4，A，B，C，D是⊙O上的四个点，直径AC与弦BD交于点E，AD＝CD＝2，∠BAC＝30°，求BC的长及∠BEC的度数．
图4
解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.
又AD＝CD＝2，∴∠DAC＝∠DCA＝45°.
又∠BDC＝∠BAC＝30°，
∴∠BEC＝∠BDC＋∠DCA＝30°＋45°＝75°.
知识点 2 圆内接四边形及其性质
(1)概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
(2)性质：圆内接四边形的对角__________．
几何语言(如图5)：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠C＝__________°，
∠B＋∠D＝__________°.
互补
180
180
图5
例3 如图6，四边形ABCD内接于⊙O.若∠A＝70°，则∠C的度数为( )
A．70° B．100° C．110° D．120°
图6
C
训练 3.如图7，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E是BC延长线上一点．若∠A＝114°，则∠DCE的度数是__________.
图7
114°
课堂检测
基础过关
1．如图8，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，若∠D＝51°，则∠CBA的度数为( )
A．51° B．49° C．40° D．39°
图8
D
2．如图9，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点E在CD的延长线上，若∠ADE＝80°，则∠B的度数是( )
A．60° B．80° C．90° D．100°
图9
B
3．如图10，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，若∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
图10
A
4．(人教九上P89改编)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图11所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，则圆形镜面的直径为________cm．
图11
13
能力提升
5．如图12，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝100°，则∠B＝________.
图12
130°
6．如图13，AB为⊙O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC＝PC.求证：∠BAD＝2∠P.
图13
证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BP.
∵BC＝PC，∴AC为BP的垂直平分线．
∴AB＝AP.∴∠P＝∠B.
∴∠BAD＝∠P＋∠B＝2∠P.
7．如图14，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F.若∠E＝∠F，求证：AC为⊙O的直径．
图14
证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，
∴∠E＋∠DCE＝∠F＋∠BCF，
即∠ADC＝∠ABC.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∴∠ADC＝∠ABC＝90°.
∴AC为⊙O的直径．
思维拓展
8．【转化思想】如图15，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD.若AB＝5，CD＝12，则⊙O的半径为__________.
图15
如图，构造以直径BE为边的Rt△ABE，将未知线段AE的长转化为已知线段CD的长．(共21张PPT)
第12课时 正多边形和圆
知识导学
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形．(几何直观、空间观念、推理能力、应用意识)
知识导学
1.(衔接回顾)(1)正n边形的每个内角的度数是__________，每个外角的度数是__________；
(2)正五边形的每个内角的度数是__________，正六边形的每个外角的度数是__________．
2.正多边形和圆的有关概念：
(1)中心：是指正多边形的外接圆的________；
(2)半径：是指正多边形的外接圆的________；
(3)中心角：是指正多边形每一边所对的________角；
(4)边心距：是指正多边形的中心到它的一边的________．
108°
60°
圆心
半径
圆心
距离
课堂讲练
知识点 1 正多边形和圆的有关概念
例1 (人教九上P108改编)填表：
正多边形 内角度数 半径OA 中心角∠AOB 边长AB 边心距OP 周长 面积
①_____ ②______ ③________ 2 ④_____ ⑤_____ ⑥_____
⑦_____ ⑧________ ⑨_____ ⑩_____ _____ _____
_____ _____ ________ _____ _____ _____
60°
120°
6
90°
90°
2
1
8
4
120°
2
60°
2
12
在解决有关正多边形和圆的问题时，常连接半径，作边心距，构造等腰三角形或直角三角形．
知识点 2 作圆内接正多边形
例2 如图1，⊙O的半径为4.
(1)尺规作图：作⊙O的内接正方形ABCD；(不写作法，保留作图痕迹)
图1
解：作⊙O的内接正方形ABCD如答图1所示．
答图1
(2)求正方形ABCD的边长．
解：如答图1，易得∠DOC＝90°.
答图1
∵⊙O的半径为4，∴OC＝OD＝4.
在Rt△DOC中，由勾股定理，
∴正方形ABCD的边长为4.
训练 1.如图2，⊙O的半径为4.
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；(不写作法，保留作图痕迹)
图2
解：作⊙O的内接正六边形ABCDEF如答图2所示．
答图2
(2)求正六边形ABCDEF的面积．
答图2
解：如答图2，连接OC，OD，过点O作OH⊥DC于点H，
则OC＝OD＝4，∠DOC＝60°.
∴△OCD是等边三角形．
∴DC＝OD＝4.
∵OH⊥DC，∴CH＝ DC＝2.
∴正六边形ABCDEF的面积为6S△OCD＝6× ×4×2 ＝24 .
课堂检测
基础过关
1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图3，正三角形ABC内接于⊙O，它的中心角∠AOB＝__________°.
图3
B
120
3．如图4，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P是 上任意一点(不与点B重合)，则∠BPC的度数为________.
图4
45°
4．中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩．图5①是2024年巴黎奥运会上的一面金牌，该金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图5②所示，已知该正六边形铁块ABCDEF的半径为3 cm，求该正六边形铁块的周长和面积．
图5
解：如答图3，设正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB于点M，则∠AOB＝60°.
又OA＝OB，∴△OAB是等边三角形．
∴AB＝OA＝3 .
∴正六边形铁块ABCDEF的周长为3 ×6 ＝18 (cm).
答图3
能力提升
5．(2024青岛)为筹备运动会，小松制作了如图6所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是( )
A．90° B．99° C．108° D．135°
图6
B
6．【数学文化】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图7所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为________.
图7
思维拓展
7．【推理能力】如图8①是⊙O的内接正三角形ABC，图8②是⊙O的内接正方形ABCD，图8③是⊙O的内接正五边形ABCDE，图8④是⊙O的内接正六边形ABCDEF……点M，N分别从点B，C出发，以相同的速度在⊙O上逆时针运动，直线AM，BN相交于点P.
(1)图8①中∠APN的度数是________；图8②中∠APN的度数是________；图8③中∠APN的度数是________；图8④中∠APN的度数是________.
图8
60°
90°
108°
120°
(2)写出∠APN的度数与正多边形边数n(n≥3)的关系：______________________.
图8(共22张PPT)
第14课时 扇形面积的计算
类比学习
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
会计算扇形的面积．(运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、应用意识)
类比学习
图示 扇形面积与弧长之间的关系：
S扇形＝
＝ · ·_______
＝__________.
弧长l 扇形面积S扇形 R
课堂讲练
知识点 1 扇形面积公式的运用
例1 若一个扇形的半径是4，圆心角为90°，则此扇形的面积为( )
A．π B．2π C．4π D．8π
训练 1.半径为2，圆心角为120°的扇形的面积为__________(结果保留π)．
C
例2 某扇形的圆心角是45°，面积为18π，该扇形的半径是__________.
训练 2.一个扇形的半径为3 cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为( )
A．30° B．40° C．80° D．120°
12
B
知识点 2 扇形面积与弧长之间的关系
例3 某扇形的半径为10 cm，其弧长为12π cm，则此扇形的面积是__________cm2．
训练 3.已知扇形的弧长为4，所在圆的半径为2，则它的面积为__________.
60π
4
例4 已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为__________.
训练 4.如果一个扇形的圆心角为30°，面积是 m2，那么这个扇形的弧长是( )
A． m B． m C． m D． m
24
A
知识点 3 不规则图形的面积
例5 如图1，网格中的小正方形边长都是1，则以点O为圆心，OA长为半径的 和弦AB所围成的弓形(图中阴影部分)面积为__________．
图 1
2π－4
训练 5.如图2，点C在以AB为直径的半圆上，O为圆心．若∠BAC＝30°，AB＝12，则阴影部分的面积为( )
A．6π B．12π C．18π D．
图2
A
课堂检测
基础过关
1．若扇形的圆心角为60°，半径为4，则该扇形的面积为( )
A． B． C． D．
2．一个扇形的面积为240π，弧长为40π，那么这个扇形的半径是( )
A．10 B．12 C．24 D．32
C
B
3．若扇形的圆心角为120°，面积为π，则它的半径为__________.
4．如图3，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O相交于点C.若⊙O的半径为2，∠B＝40°，则扇形OAC的面积为__________.
图3
5．扇子最早称“翣(shà)”，在我国已有三千多年的历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图4，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为30 cm，BD的长为20 cm，则扇面(图中阴影部分)的面积为__________cm2.
图4
6．如图5，正方形ABCD的边长为2，连接BD，分别以点B，D为圆心，AB长为半径画弧，交BD于E，F两点，则图中阴影部分的面积为__________.
图5
4－π
能力提升
7．(人教九上P123 改编)如图6，△ABC各边长都大于8，⊙A，⊙B，⊙C的半径都等于4，则图中三块阴影部分的面积之和为__________.
图6
8π
8．如图7，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧( ).
(1) 所在圆的圆心P的坐标为__________；
图7
(2，1)
(2)连接PA，PC，求扇形PAC的面积(结果保留π)．
图7
解：如答图1，设点(1，1)为M，点(5，1)为N.
∵PM＝CN＝1，AM＝PN＝3，AP＝PC＝ ＝
，∴△AMP≌△PNC.
∴∠PAM＝∠CPN.
又∠PAM＋∠APM＝90°，
∴∠CPN＋∠APM＝90°.
∴∠APC＝180°－90°＝90°.
答图1
思维拓展
9．【创新意识·知识衔接】现利用度数为135°且足够长的墙角和总长度为15 m的栅栏来修建花坛(栅栏要用完)．
(1)如图8①，用栅栏修建成一个四边形花坛ABCD，其中BC∥AD，∠C＝90°，线段BC，CD为栅栏，则当CD＝________m时，四边形花坛ABCD的面积最大，为________m2．
图8
5
37.5
(2)小聪建议：用栅栏修建成如图8②所示的以点A为圆心的 ，这样修建的扇形花坛面积会更大．你认为小聪的建议是合理的吗？请说明理由．
图8
解：小聪的建议是合理的．理由如下：
由题意， 得的长为135π× ＝15.
∵ ＞37.5，∴小聪的建议是合理的．(共19张PPT)
第1课时 圆
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
理解圆、弧、弦的概念，了解等圆、等弧的概念．(几何直观、空间观念、推理能力)
课堂讲练
知识点 1 圆的有关概念
定义 图例 表示
圆 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 注：圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. (1)以点O为圆心的圆，记作__________；
(2)线段OA称为圆的_______；
(3)固定端点O称为______．
弦 连接圆上任意两点的线段叫做________，经过圆心的弦叫做直径． 注：圆中，________是最长的弦． (1)弦有________________；
(2)直径有____________；
(3)最长的弦___________．
⊙O
半径
圆心
弦
直径
AB，
AE，
CD
AB
AB
弧 圆上任意两点间的部分叫做________，简称________． (1)优弧有_____________；
(2)劣弧有_____________．
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧． 圆弧
弧
等
圆 能够________的两个圆叫做等圆． 注：半径________的两个圆是等圆； 反之，同圆或等圆的半径________． ∵⊙O和⊙O′的半径同为a，
∴⊙O和⊙O′是________．
等
弧 在同圆或等圆中，能够____________的弧叫做等弧． 注：(1)等弧的长度相等； (2)长度相等的弧未必为等弧． ⊙O与⊙O′是等圆，
若 与 长度相等，则 与
是______．
重合
相等
相等
等圆
互相重合
等弧
例1 如图1，在⊙O中：
(1)半径有____________；
(2)直径有____________；
(3)弦有____________；
(4)优弧有____________．
图1
AO，BO
AB
AB，AC，BC
训练 1.如图2，点A，B，C均在⊙O上．
(1)弦有____________；
(2)劣弧有____________；
(3)优弧有____________．
图2
AB，AC
知识点 2 利用圆的半径相等进行计算
例2 (人教九上P89改编)如图3，⊙O的半径为4 cm，∠AOB＝60°，则∠A＝________°，弦AB的长为__________cm.
图3
60
4
训练 2.如图4，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( )
A．38° B．52° C．76° D．104°
图4
C
知识点 3 利用圆的半径相等进行证明
例3 (人教九上P123改编)如图5，在⊙O中，D，E分别为半径OA，OB上的点，且AD＝BE.点C为 上一点，且∠AOC＝∠BOC.求证：CD＝CE．
图5
证明：∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OA－AD＝OB－BE，即OD＝OE.
∴△ODC≌△OEC(SAS).∴CD＝CE.
在△ODC和△OEC中，
训练 3.如图6，已知OA，OB是⊙O的两条半径，BC⊥OA于点C，AD⊥OB于点D.求证：BC＝AD.
图6
证明：∵BC⊥OA，AD⊥OB，∴∠BCO＝∠ADO＝90°.
在△OCB和△ODA中，
∴△OCB≌△ODA(AAS).∴BC＝AD.
课堂检测
基础过关
1．判断下列说法的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半圆是弧，但弧不一定是半圆；( )
(2)过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；( )
(3)直径是圆中最长的弦；( )
(4)直径不是弦；( )
(5)优弧的长大于劣弧；( )
(6)以点O为圆心可以画无数个圆．( )
√
√
√
×
×
×
2．如图7，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E.求证：△OCE≌△ODE.
图7
证明：∵直径AB⊥弦CD于点E，
∴∠OEC＝∠OED＝90°.
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL).
能力提升
3．如图8，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D.已知CD＝4，OD＝3，则AB的长是________．
4．如图9，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠DOE的度数为________．
图8
图9
10
60°
思维拓展
5．【推理能力】(人教九上P81改编)如图10，BD，CE都是△ABC的高．求证：点B，C，D，E在同一个圆上．
图10
证明：如答图1，找BC的中点M，连接ME，MD.
答图1
∵BD，CE都是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
又M为BC的中点，
∴MB＝ME＝MD＝MC.
∴点B，C，D，E均在以点M为圆心的同一个圆上．
根据圆的定义，只要能找到一点(圆心)，证明这四个点到这点(圆心)的距离相等即可．(共21张PPT)
第8课时 直线和圆的位置关系
知识导学
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念．(几何直观、空间观念、推理能力、模型观念、应用意识)
知识导学
直线l与⊙O的公共点个数 直线l与⊙O的位置关系 d与r的大小关系 图示
________ ________ d________r
________ ________ d________r
________ ________ d________r
1.直线和圆的三种位置关系的确定(r为⊙O的半径，d为圆心O到直线l的距离)：
0
相离
>
1
相切
＝
2
相交
＜
课堂讲练
知识点 1 直线和圆的位置关系
例1 (人教九上P96改编)已知⊙O的半径为3 cm，圆心O到直线l的距离为d.
(1)当d＝2 cm时，⊙O与直线l的位置关系是________，⊙O与直线l有________个公共点；
(2)当d＝________cm时，⊙O与直线l的位置关系是________，⊙O与直线l有1个公共点；
(3)当d＝5 cm时，⊙O与直线l的位置关系是________，⊙O与直线l有________个公共点．
相交
2
3
相切
相离
0
训练 1.已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为5.
(1)当r＝3时，⊙O与直线l的位置关系是________；
(2)当r＝________时，⊙O与直线l的位置关系是相切；
(3)当r＝6时，⊙O与直线l有________个公共点．
相离
5
2
知识点 2 直线和圆的位置关系的应用
例2 如图1，已知∠AOB＝30°，M是射线OB上一点，OM＝6，以点M为圆心，r为半径作⊙M．
(1)若r＝3，则射线OA与⊙M的位置关系是________；
(2)若⊙M与射线OA没有交点，则r的取值范围是________；
(3)当r＝5时，射线OA与⊙M的位置关系是________．
图1
相切
0＜r＜3
相交
训练 2.(人教九上P101 改编)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r为半径作⊙C.
(1)若r＝2 cm，则⊙C与AB的位置关系是________；
(2)若⊙C与AB相切，则r＝________cm；
(3)若r＝3 cm，则⊙C与AB的位置关系是________.
图2
相离
2.4
相交
例3 在平面直角坐标系中，以点(－2，3)为圆心，半径为3的圆一定( )
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
B
训练 3.在平面直角坐标系中，⊙P的直径为8，圆心P的坐标为(3，5)，则x轴与⊙P的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
C
课堂检测
基础过关
1．如图3，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
图3
C
2．已知⊙O的半径是3，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
A
3．【易错】已知⊙O的半径为3，P为直线l上一点，且OP＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
D
区分圆心到直线的距离与圆心到直线上一点的距离．
4．如图4，在△ABC中，CA＝CB，点O为AB的中点，以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是________.
5．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，3为半径的圆与直线x＝3的位置关系是________．
6．已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d.若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围是____________.
图4
相切
相切
0≤d≤6
能力提升
7．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.若d，r是关
于x的一元二次方程x2－6x＋m＝0的两个根，则直线l与⊙O相切时，
m的值为__________.
9
8．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7.试判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．
图5
解：⊙A与直线BC相交．理由如下：
如答图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，由勾股定理，
∵6<7，∴⊙A与直线BC相交．
答图1
思维拓展
9．【几何直观】如图6，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，E为AB上一点，且DE，CE分别平分∠ADC和∠BCD.试判断以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系，并说明理由．
图6
解：以AB为直径的圆与CD相切．理由如下：
如答图2，过点E作EF⊥CD于点F.
∵∠A＝∠B＝90°，∴EA⊥AD，EB⊥BC.
又DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴AE＝EF，BE＝EF.∴AE＝BE.
∴以AB为直径的圆的圆心为点E.
∵点E到直线CD的距离EF＝半径AE，
∴以AB为直径的圆与CD相切．
答图2(共21张PPT)
第2课时 垂直于弦的直径(一)——垂径定理
衔接回顾
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．(几何直观、空间观念、推理能力、模型观念、应用意识)
衔接回顾
1．圆是轴对称图形，任何一条________所在直线都是圆的对称轴．
2.垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且平分弦所对的两条________．
几何语言：∵______________________________，
∴AE＝________， ＝________，________＝ ．
直径
平分
弧
AB⊥CD，CD是⊙O的直径
BE
课堂讲练
知识点 1 垂径定理
例1 如图1，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，则下列结论：①CE＝DE；② ＝ ；③∠COE＝∠DOE；④EO＝EB.其中正确的有________.(填序号)
图1
①②③
训练 1.如图2，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于点E，AE＝2，则下列结论正确的是( )
A．OE＝2 B．EC＝2
C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB
图2
D
知识点 2 利用垂径定理直接计算
例2 如图3，⊙O的直径CD⊥弦AB于点E.若AB＝8，OE＝3，求⊙O的半径．
图3
答图1
解：如答图1，连接OB.
∵CD⊥AB，∴BE＝ AB＝4.
在Rt△BOE中，
∴⊙O的半径为5.
训练 2.如图4，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P.若⊙O的半径为17，AP＝9，求CD的长．
图4
答图2
解：如答图2，连接OC.
∵OA＝17，AP＝9，
∴OP＝OA－AP＝8.
∵CD⊥AB，
∴∠OPC＝90°，CD＝2CP.
在Rt△OPC中，
∴CD＝2CP＝30.
知识点 3 垂径定理与方程思想
例3 如图5，⊙O的半径OC⊥弦AB于点D.若AB＝6，CD＝1，求⊙O的半径．
图5
答图3
解：如答图3，连接OA.
∵半径OC⊥弦AB，∴AD＝ AB＝3.
设OA＝x，则OC＝x，OD＝OC－CD＝x－1.
在Rt△OAD中，AD2＋OD2＝OA2，
即32＋(x－1)2＝x2.解得x＝5.
∴⊙O的半径为5.
训练 3.如图6，⊙O的直径CD⊥弦AB于点E.若AB＝4，CE＝6，求⊙O的半径．
图6
答图4
解：如答图4，连接OB.
设⊙O的半径为r，则OE＝CE－OC＝6－r.
∵CD⊥AB，∴BE＝ AB＝2.
在Rt△BOE中，OB2＝OE2＋BE2，
即r2＝(6－r)2＋22.解得r＝ .
∴⊙O的半径为 .
圆的半径r，圆心到弦的距离d，弦长a满足关系式r2＝d2＋ ，三个量知二可求一．
知识点 4 利用垂径定理进行证明
例4 (人教九上P90改编)如图7，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC.
图7
答图5
证明：如答图5，过点O作OE⊥AB于点E.
∵OE⊥AB，∴AE＝BE，CE＝DE.
∴AE＋DE＝BE＋CE，即AD＝BC.
训练 4.如图8，AB是⊙O的弦，C，D为直线AB上两点，且OC＝OD，求证：AC＝BD.
图8
证明：如答图6，过点O作OH⊥AB于点H，
则AH＝BH.
∵OC＝OD，OH⊥AB，∴CH＝DH.
∴CH－AH＝DH－BH，即AC＝BD.
答图6
解决与弦有关问题时常作的辅助线有：①连接半径；②过圆心作弦的垂线．
课堂检测
基础过关
1．如图9，MN是⊙O的弦，半径OA⊥MN于点B，若MN＝8，OA＝5，则OB的长为( )
A．1 B．2 C．2.5 D．3
图9
D
2．如图10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接OC.若OC＝10，AE＝4，则CD的长为__________.
图10
16
3．(人教九上P122改编)如图11，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M.若AB＝8，OM∶OC＝3∶5，求⊙O的直径．
图11
解：如答图7，连接OA.
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，∴AM＝ AB＝4.
设OM＝3x，则OC＝OA＝5x.
在Rt△OAM中，OM2＋AM2＝OA2，
即(3x)2＋42＝(5x)2.
解得x＝1(负值已舍去)．
∴OC＝5.∴⊙O的直径为10.
答图7
4．(人教九上P123改编)如图12，AB是⊙O的弦，半径OA＝30，∠AOB＝120°，则△AOB的面积为__________.
能力提升
图12
5．(人教九上P83改编)如图13，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.
(1)求证：四边形ADOE是正方形；
图13
证明：由题意可知∠DAE＝90°.
又OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°.
∴四边形ADOE是矩形．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝ AB，AE＝ AC.
∵AB＝AC，∴AD＝AE.
∴四边形ADOE是正方形．
(2)若AC＝4，则⊙O的半径为__________.
思维拓展
6．【分类讨论】(人教九上P90改编)已知⊙O的半径为13 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD.若AB＝24 cm，CD＝10 cm，则弦AB和CD之间的距离是____________.
17 cm或7 cm
根据题目描述画几何图形时，应考虑是否存在多种情况，若存在，则需分类讨论．(共24张PPT)
第7课时 点和圆的位置关系
课标要求
课堂讲练
第二十四章 圆
课堂检测
课标要求
探索并掌握点与圆的位置关系；了解三角形的外心；能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆．(几何直观、空间观念、推理能力、模型观念、应用意识)
课堂讲练
知识点 1 点和圆的位置关系
1.如图1，设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
(1)点C在圆________ d________r；
(2)点B在圆________ d________r；
(3)点A在圆________ d________r．
图1
外
>
上
＝
内
﹤
例1 已知⊙O的半径r＝3.
(1)若OP＝2，则点P在圆________；
(2)若OP＝3，则点P在圆________；
(3)若点P到圆心O的距离为4，则点P在圆________．
内
上
外
训练 1.已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离d＝5.
(1)若r＝7，则点P在圆________；
(2)若r＝________，则点P在圆上；
(3)若r________，则点P在圆外．
内
5
＜5
知识点 2 确定圆的条件
在同一平面内，经过一点能作___________个圆；经过两个点能作_______个圆；经过__________________的三个点能且只能作一个圆．
例2 下列条件中，不能确定一个圆的是( )
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
无数
无数
不在同一条直线上
C
外接圆及外心的概念 图例 外心的性质
1.经过三角形的___________的圆叫做三角形的外接圆； 2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的________． 1.三角形的外心是三角形三条边的______________的交点；
2.三角形的外心到三角形三个顶点的距离_______，即等于外接圆的_______．
知识点 3 三角形的外接圆
三个顶点
垂直平分线
相等
半径
外心
例3 (人教九上P102改编)利用尺规作图，作出图2，3，4所示的三角形的外接圆⊙O，并填空．
(1)①锐角三角形的外心位于三角形的________；
②连接OB，OC，若∠BAC＝60°，则∠BOC＝________°.
图2
解：如答图1，⊙O即为所求．
答图1
内部
120
(2)①直角三角形的外心位于三角形斜边的________；
②若BC＝3，AB＝4，则⊙O的半径为________．
图3
中点
2.5
答图2
解：如答图2，⊙O即为所求．
(3)①钝角三角形的外心位于三角形的________；
②连接OB，OC，若∠BOC＝50°，则∠BAC＝________°.
图4
解：如答图3，⊙O即为所求．
答图3
外部
25
知识点 4 反证法
一般步骤：①假设命题的结论不成立(提出与结论相反的假设)；②从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；③由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
例4 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设求证的结论不成立，即_________________________．
∴∠A＋∠B＋∠C＞________．这与__________________________相矛盾，∴假设不成立．
∴∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°.
∠A，∠B，∠C均大于60°
180°
三角形三个内角的和为180°
课堂检测
基础过关
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，以点O为圆心，OB长为半径画⊙O，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
B
2．在平面直角坐标系中，如果⊙O是以原点O(0，0)为圆心，10为半径的圆，那么点A(－11，0) ( )
A．在⊙O内
B．在⊙O外
C．在⊙O上
D．不能确定
B
3．△ABC的外接圆的圆心是该三角形( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
A
4．如图5，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是________________(写出一个即可)．
图5
4(答案不唯一)
5．如图6，在△ABC中，AC＝1，∠ABC＝30°.
(1)尺规作图：作△ABC的外接圆；(保留作图痕迹，不要求写作法)
图6
解：如答图4，⊙O即为所求．
答图4
(2)求△ABC外接圆的面积．
图6
解：如答图4，连接OA，OC.
∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.
又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．
∴OA＝OC＝AC＝1.
∴⊙O的面积S＝π×12＝π.
答图4
能力提升
6．(人教九上P100改编)如图7，点I是△ABC的外心，若∠A＝66°，则∠BIC的度数为__________.
图7
132°
7．如图8，在由边长为1的小正方形组成网格中建立平面直角坐标系，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心的坐标是__________.
图8
(2，1)
如果题目中没有明确点和圆的位置关系，应考虑点在圆内、圆上和圆外三种可能的情况．
8．⊙O上的点到点P的最短距离为2 cm，最长距离为7 cm，则⊙O的半径是________________.
2.5 cm或4.5 cm
思维拓展
9．【实际生活】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图9所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
图9
A
