(共17张PPT)
第3课时 相似三角形及其边角性质
新知导学
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
新知导学
1.相似三角形是最常见的相似多边形,相似三角形的对应
角________,对应边________.
2.如图1,△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′,相似比k= .则:
(1)对应角:∠A=∠A′,∠B=∠________,∠________=∠C′;
(2)对应边: = = =________.
图1
相等
B′
C
A′C′
BC
成比例
课堂讲练
知识点 1 相似三角形及其边角性质
例1 如图2,△ABC与△AED相似,则:
(1)AB的对应边为________,
BC的对应边为________,
AC的对应边为________;
(2)相似比k=________.
图2
AE
ED
AD
2
训练 1.已知△ABC∽△EFG,AB=2,BC=5,EF=3,EG=6,则:
(1)AB的对应边为________,BC的对应边为________,________的对应边为EG;
(2)相似比k=________;
(3)AC的长为________,FG的长为________.
FG
FG
AC
4
7.5
找对应关系的方法:
方法1:相等的角所对的边是对应边;
方法2:最长边与最长边是对应边,最短边与最短边是对应边;
方法3:若△ABC∽△EFG,则相同位置上的字母是对应字母.
例2 若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的最长边的长分别为9和6,△ABC的最短边的长为3,则相似比为__________,△DEF的最短边的长为__________.
训练 2.已知△ABC∽△DEF,相似比为 .
(1)若AB=10,则DE=________;
(2)若EF=16,则BC=________.
2
8
20
例3 (人教九下P28改编)如图3,△ADE∽△ABC,AE=2,AD=3,DE=4,BC=12,∠C=50°.
(1)DE的对应边为________,相似比为________,∠AED的度数
为________;
(2)求AC,BD的长.
图3
BC
50°
∴BD=AB-AD=9-3=6.
训练 3.如图4,△ABC∽△DEC,∠D=40°,∠ACB=80°, BC=3,AC=4,CD=6.
(1)AC的对应边为________,相似比为________,CE的长
为________;
(2)求∠B的度数.
图4
DC
4.5
解:(2) ∵△ABC∽△DEC,∴∠A=∠D=40°.
∵∠ACB=80°,∴∠B=180°-40°-80°=60°.
课堂检测
基础过关
1.如图5,已知△ABC∽△ADE,∠ACB=75°,∠A=60°,则∠D的度数是( )
A.75° B.105° C.60° D.45°
2.若△ABC∽△DEF,且AB=10 cm,BC=8 cm,DE=15 cm,则EF的长为( )
A.4 cm B.5 cm C.12 cm D.7 cm
图5
D
C
3.如图6,已知△ABC∽△CDE,若AB=4,BD=9,BC=6,则DE的长为( )
A.3 B.4 C. D.9
图6
C
4.如图7,已知△ABE∽△DCE,∠A=37°,AC=13,BE=6,AE∶CE=10∶3.
(1)∠D的度数为________;
(2)DE的长为________;
(3)相似比为________.
图7
37°
5
2
能力提升
5.如图8,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是边AC上一点,AC=9,CD=4,若△ABC∽△BDC,则BC的长为__________.
图8
6
6.(人教九下P42改编)如图9,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D均在格点上,线段AB和CD相交于点E.若△ADE∽△BCE,则 的值是________.
图9
由△ADE∽△BCE可得 = ,观察网格图,可利用勾股定理求出AD,BC的长,从而得到其比值.
思维拓展
7.【易错·分类讨论】如图10,在△ABC中,∠B=90°,AB=2 ,AC=4,D为AB的中点.若点E在边AC上,当以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,求AE的长.
图10
解:∵D为AB的中点,∴AD= AB= .
当以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,由于对应边不确定,需分以下两种情况:
答图1
②如答图2,当△AED∽△ABC,即∠AED=∠B=90°时,
答图2
综上,AE的长为2或 .
①如答图1,当△ADE∽△ABC,即∠ADE=∠B=90°时,
由于相似三角形的对应边不确定,需要分情况讨论.(共24张PPT)
第7课时 相似三角形的周长和面积
新知导学
课标要求
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课标要求
了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方.(几何直观、推理能力、模型观念)
新知导学
1.【推理证明】请类比教材中证明对应高的比等于相似比的过程,解答下题:
如图1,已知△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,那么这两个三角形的中线AD,A′D′的比是多少?
思考:类似地,你能否证明相似三角形对应角平分线的比也等于相似比呢?
图1
解:∵△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,
∵AD,A′D′分别是△ABC,△A′B′C′的中线,
2.已知△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,即AB=kA′B′,
AC=________A′C′,BC=________B′C′,
k
k
kA′C′
kB′C′
k
课堂讲练
知识点 相似三角形的性质
(1)对应角________,对应边________;
(2)对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=________;
(3)周长的比=________,面积的比=相似比的________.
相等
成比例
相似比
相似比
平方
例1 已知△ABC∽△DEF,相似比为 .
(1)对应角________,对应边的比为________;
(2)对应角平分线的比为__________;
(3)对应高的比为__________;
(4)对应中线的比为__________;
(5)周长的比为__________;
(6)面积的比为__________.
相等
训练 1.已知两个相似三角形的周长比是3∶5,则下列说法错误的是( )
A.相似比为3∶5 B.对应中线的比为3∶5
C.对应高的比为3∶5 D.对应面积的比为3∶5
2.已知△ABC∽△DEF,且它们的面积比为1∶4,则下列说法正确的是( )
A.对应边的比为1∶4 B.对应角平分线的比为1∶2
C.对应中线的比为1∶4 D.对应周长的比为1∶4
D
B
例2 若△ABC∽△DEF,对应边的比为 ,△ABC的周长为8,则△DEF的周长为( )
A.12 B.16
C.20 D.24
训练 3.已知△ABC∽△A1B1C1,且AB=4,A1B1=6.若△ABC的面积为8,则△A1B1C1的面积是( )
A. B.9 C.12 D.18
C
D
例3 (人教九下P38改编)如图2,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.
(1)求证:△DEF∽△ABC;
图2
∵∠D=∠A,∴△DEF∽△ABC.
(2)若△ABC的边BC上的高为4,面积为12 ,求△DEF的边EF上的高和面积.
图2
(2)解:由(1)可知△DEF∽△ABC,且相似比为 .
∵△ABC的边BC上的高为4,面积为12 ,
训练 4.(人教九下P43改编)如图3,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=2BD,S△ADE=4 cm2,则S△ABC=__________cm2, S四边形BCED=__________cm2;
图3
(1)证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
9
5
(3)若S△ADE=S四边形BCED,求 的值.
图3
解:由(1)知,△ADE∽△ABC.
∵S△ADE=S四边形BCED,∴S△ADE∶S△ABC=1∶2.
课堂检测
基础过关
1.(2024内江改编)已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△A1B1C1的周长比为__________.
2.(2025上海一模)如果两个相似三角形的对应中线的比为2∶3,那么它们的对应高的比为__________.
1∶3
2∶3
3.(2024辽宁)如图4,AB∥CD,AD与BC相交于点O,且△AOB与△DOC的面积比是1∶4,若AB=6,则CD的长为__________.
图4
12
4.(人教九下P39改编)将某直角三角形的两条直角边各扩大2倍,则该直角三角形( )
A.每个角扩大2倍 B.斜边扩大2倍
C.周长扩大4倍 D.面积扩大8倍
B
能力提升
5.(人教九下教用P107)两个相似三角形的最短边长分别是7 cm和 5 cm,它们的周长之差为12 cm,那么小三角形的周长为________cm.
6.如图5,在矩形ABCD中,E为AB上一点,连接DE,交AC于点F.若AE∶BE=2∶3,则S△AEF∶S△CDF=__________.
图5
30
4∶25
思维拓展
7.如图6,在 ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD相交于点F,且AF=2FD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
图6
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD.∴∠ABF=∠E.∴△ABF∽△CEB.
(2)若△CEB的面积为9,求 ABCD的面积.
图6
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴△DEF∽△CEB.
∴S△ABF=4.
∴S ABCD=S△CEB-S△DEF+S△ABF=9-1+4=12.(共18张PPT)
第6课时 相似三角形的判定(三)
新知导学
课标要求
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课标要求
了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似.(几何直观、推理能力)
新知导学
衔接回顾:
判定1:__________于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
判定2:______________的两个三角形相似;
判定3:______________且______________的两个三角形相似.
新知学习:
判定4:两角分别________的两个三角形相似.
几何语言:在△ABC和△A′B′C′中,
_________________________________,
∴△ABC∽△A′B′C′.
平行
三边成比例
两边成比例
夹角相等
相等
∠A=∠A′,∠B=∠B′(答案不唯一)
课堂讲练
知识点 1 相似三角形的判定4
例1 (人教九下P42改编)如图1,已知∠A=70°,∠B=48°,
∠D=70°,∠F=62°.求证:△ABC∽△DEF.
图1
证明:∵∠A=70°,∠B=48°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=62°.
∵∠D=70°,∠F=62°,∴∠A=∠D,∠C=∠F.
∴△ABC∽△DEF.
例2 如图2,AC,BD相交于点O,已知∠A=∠D.求证:△AOB∽△DOC.
图2
思考:若把图2放置在圆中,将“∠A=∠D”改为“点A,B,C,D在圆上(如右图)”,又该如何证明△AOB∽△DOC呢?
证明:∵AC,BD相交于点O,∴∠AOB=∠DOC.
又∠A=∠D,∴△AOB∽△DOC.
例3 (人教九下P35改编)如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,E是AC的中点,ED⊥AB,垂足为D.
(1)求证:△ABC∽△AED;
(2)求AD的长.
图3
(1)证明:∵ED⊥AB,∴∠EDA=90°.
∵∠C=90°,∴∠C=∠EDA.
又∠A=∠A,∴△ABC∽△AED.
(2)解:∵E是AC的中点,AC=4,∴AE= AC=2.
解得AD= .
训练 1.(人教九下P36改编)如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高.
(1)求证:△ACD∽△ABC;
(2)若AB=8,AC=6,求AD的长.
思考:△ACD与△CBD相似吗?CD2与AD·BD有何关系呢?
图4
(1)证明:∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB.
又∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.
∴AD= .
例4 如图5,CA⊥AD,ED⊥AD,B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)求证:△ABC∽△DEB;
(2)求BD的长.
图5
(1)证明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠D=∠CBE=90°.
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°.
∴∠C=∠DBE.
∴△ABC∽△DEB.
∴BD=3.
训练 2.如图6,等边三角形ABC的边长为3,P为BC上一点,且
BP=1,D为AC上一点,且∠APD=60°.
(1)求证:△ABP∽△PCD;
(2)求AD的长.
图6
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.
∴∠BAP+∠APB=120°.
∵∠APD=60°,∴∠CPD+∠APB=120°.
∴∠BAP=∠CPD.∴△ABP∽△PCD.
(2)解:在等边三角形ABC中,AB=BC=AC=3.
又BP=1,∴PC=BC-BP=3-1=2.
课堂检测
基础过关
1.(2024滨州)如图7,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以
是_________________________.(写出一种情况即可)
图7
∠ADE=∠C(答案不唯一)
2.(北师九上P94改编)如图8,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:△ABC∽△ADE.
图8
证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠BAC=∠DAE.
又∠B=∠D,∴△ABC∽△ADE.
能力提升
3.如图9,在 ABCD中,点N在BC上,连接DN,点M在DN上,连接AM,且∠AMN=∠B.求证:△ADM∽△DNC.
图9
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴∠B+∠C=180°,∠ADM=∠DNC.
∵∠AMN+∠AMD=180°,∠AMN=∠B,
∴∠B+∠AMD=180°.∴∠AMD=∠C.
∴△ADM∽△DNC.
思维拓展
4.【推理能力·衔接中考】如图10,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,D是 的中点,BD交AC于点E.
(1)求证:AD2=DE·DB;
图10
∵∠ADB=∠EDA,∴△ABD∽△EAD.
(2)若BC=5,CD= ,求DE的长.
图10
解:∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°.(共20张PPT)
第2课时 相似多边形
课标要求
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课标要求
了解相似多边形和相似比.(几何直观、空间观念、模型观念、应用意识)
课堂讲练
知识点 1 相似多边形的定义(判定)
两个边数相同的多边形,如果它们的角分别__________,边__________,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做__________,记作k.
几何语言(以右图中的四边形为例):∵∠A=∠A′,________________________________________________, 且______________________________,∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似. 相等
成比例
相似比
∠B=∠B′,∠C=∠C′,∠D=∠D′
例1 如图1,在矩形ABCD和矩形A′B′C′D′中,AB=16,AD=10,A′B′=8,A′D′=5.
(1)求证:矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似;
(2)相似比k=________.
图1
(1)证明:∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是矩形,
∴∠A=∠A′=∠B=∠B′=∠C=∠C′=∠D=∠D′=90°,AB=CD=16,AD=BC=10,A′B′=C′D′=8,A′D′=B′C′=5.
∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似.
2
训练 1.(人教九下P28改编)观察如图2所示的3个图形,图2②与 图2①的对应边成比例,图2③与图2①的对应角相等,则图2②,③中,哪个与图2①是相似多边形?请说明理由.
图2
解:图2②和图2③均与图2①不是相似多边形.
理由:图2①和图2②的对应角不相等;
图2①和图2③的对应边不成比例.
两个多边形必须同时满足对应角相等,对应边成比例,这两个多边形才相似.
知识点 2 相似多边形的性质
如果两个多边形相似,那么这两个多边形的对应角__________,对应边__________.
几何语言(以右图中的四边形为例):∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似, ∴∠A=∠A′,__________________________________,且____________________________. 相等
成比例
∠B=∠B′,∠C=∠C′,∠D=∠D′
例2 (人教九下P26改编)如图3,已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似.
(1)∠C=__________°,∠B=__________°;
(2)x=__________,y=__________;
(3)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比k=________.
图3
135
69
4
18
训练 2.(人教九下P27改编)如图4,已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似.
(1)∠E=________°,∠C′=________°;
(2)m=________,n=________;
(3)五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为________.
图4
115
135
3.5
6
课堂检测
基础过关
1.在如图5所示的三个矩形中,相似的是( )
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.都不相似
图5
B
2.如图6所示的两个四边形相似,则下列结论不正确的是( )
A.a=2 B.m=2n C.x=2 D.∠α=60°
图6
B
3.(人教九下P57改编)已知四边形ABCD的各边长分别为2,3,4,5,与它相似的四边形A1B1C1D1的最长边的长为15,则四边形A1B1C1D1的最短边的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
C
相似多边形的最长边与最长边是对应边,最短边与最短边是对应边.
4.如图7,在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,剪去一个矩形ABEF后,余下的矩形EFDC与矩形BCDA相似,则EC的长为__________.
图7
5.【易错】(2024佛山月考)下列各组图形:①两个正方形;②两个矩形;③两个菱形;④两个等边三角形;⑤两个等腰直角三角形.其中一定是相似图形的是__________.(填序号)
①④⑤
能力提升
6.(人教九下P28改编)如图8,把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,AB=4,则AD的长为__________.
图8
思维拓展
7.【推理能力·应用意识】(人教九下P28改编)如图9,矩形花坛ABCD的宽AB=20 m,长AD=30 m.现计划在该花坛四周修筑小路,小路外边缘形成矩形EFGH.
(1)如图9①,当小路的宽度均为2 m时,矩形ABCD与矩形EFGH是否相似?请说明理由.
图9
解:(1)不相似.理由如下:
∵AB=20 m,AD=30 m,小路的宽度均为2 m,
∴EF=20+2×2=24(m),EH=30+2×2=34(m).
∴矩形ABCD与矩形EFGH不相似.
(2)如图9②,要使小路外边缘形成的矩形EFGH与矩形ABCD相似,并且相对的两条小路的宽度相等,则小路的宽度x与y的比值应为多少?
图9
解:(2) ∵相对的两条小路的宽度相等,
∴EF=(20+2y)m,EH=(30+2x)m.
∵矩形EFGH与矩形ABCD相似,(共16张PPT)
第9课时 相似三角形的应用(二)
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课堂讲练
知识点 1 利用标杆测量的问题
例1 (人教九下P43改编)如图1,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度.已知标杆BE=1.5 m,测得AB=2 m,BC=14 m,求旗杆CD的高度.
图1
解:由题意,得BE∥CD.∴△AEB∽△ADC.
答:旗杆CD的高度为12 m.
训练 1.如图2,为了测量大楼的高度,小明站立在地面点F处,他的同学在点B处竖立标杆AB,使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶
端C在一条直线上(点F,B,D也在一条直线上).已知小明的身高EF=
1.5 m,AB=2.5 m,BD=23 m,FB=2 m,EF,AB,CD均垂直于地面FD.过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,求大楼的高度CD.
图2
解:由题可知,四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形.
∴EF=BJ=DH=1.5,FB=EJ=2,BD=JH=23.
∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1,EH=EJ+JH=2+23=25.
∵AB⊥FD,CD⊥FD,∴AB∥CD,即AJ∥CH,
∴△EAJ∽△ECH.
∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14(m).
答:大楼的高度CD为14 m.
图2
知识点 2 利用反射测量的问题
例2 (人教九下P43改编)如图3,某数学兴趣小组为了测量学校一凉亭AB的高度,采取了如下方法:①在凉亭的右边点E处水平放置一面平面镜,测得BE=12 m;②沿着直线BE后退到点D处,眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A(此时点B,E,D在同一水平线上,∠AEB=∠CED),测得DE=3 m.已知眼睛到地面的距离CD=1.6 m,求凉亭AB的高度.
图3
解:根据题意,得∠B=∠D=90°,∠AEB=∠CED.
解得AB=6.4.
答:凉亭AB的高度为6.4 m.
训练 2.图4是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,在点P处水平放置一面平面镜,光线从点A出发经平面镜反射
后刚好射到古城墙CD的顶端C处,AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=
4 m,BP=6 m,DP=12 m,求该古城墙CD的高度.
图4
解:∵光线从点A出发经平面镜反射到点C,
∴∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABP=∠CDP=90°.
∴△ABP∽△CDP.
答:该古城墙CD的高度为8 m.
知识点 3 间接测量的问题
例3 如图5,光源P在水平横杆AB的上方,在光源的照射下,横杆AB在水平地面上的影子为CD(点P,A,C在一条直线上,点P,B,D在一条直线上).已知AB=1.5 m,CD=4.5 m,光源P到横杆AB的距离是
1 m,则光源P到水平地面的距离是__________m.
图5
3
训练 3.如图6,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5 m有一棵树,在北岸边每隔50 m有一根电线杆.小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则这段河宽为__________m.
图6
22.5
课堂检测
基础过关
1.击地传球是篮球运动中的一种传球方式,利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截.如图7,传球选手从点A处将球传出,经地面点O处反弹后被接球选手在点C处接住,将球所经过的路径视为直线,此时∠AOB=∠COD.若点A距地面的高度AB为1.5 m,点C距地面的高度CD为1 m,传球选手与接球选手之间的距离BD为5 m,则OB的长度
为__________m.
图7
3
2.小明放学途中遇到一铁塔,于是他想利用现有的一把长度为
20 cm的直尺测量铁塔的高度.如图8,小明笔直站立,把手臂水平向前伸直,保持直尺竖直,瞄准直尺的两端E,F,不断调整站立的位置,使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A.已知小明的眼睛到直尺EF的距离为50 cm,到铁塔AB的距离为40 m,求铁塔AB的高度.
图8
解:如答图1,过点C作CH⊥AB于点H,交EF于点P,则CH=
40 m,CP=50 cm=0.5 m,FE=20 cm=0.2 m.
答图1
∵FE∥AB,∴△CEF∽△CBA.
解得AB=16.
答:铁塔AB的高度为16 m.
能力提升
3.(人教九下P58改编)如图9,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=90 mm,高AD=60 mm,要把它加工成矩形零件PQMN,使矩形的边MN在BC上,其余两个顶点P,Q分别在边AB,AC上.设PQ=x mm.
(1)若矩形PQMN是正方形,则边长是多少?
图9
解:(1)如答图2,设AD与PQ的交点为H.
答图2
∵矩形PQMN为正方形,∴PQ=QM,PQ∥BC.
∴△APQ∽△ABC.
由题易得DH=QM=PQ=x.
∴AH=AD-DH=AD-PQ=60-x.
∴PQ=36 mm.
答:若矩形PQMN是正方形,则边长是36 mm.
(2)试用含x的代数式表示PN.
(3)当PQ的长为多少时,矩形PQMN的面积最大?最大面积是多少?
图9
∴当x=45时,S矩形PQMN有最大值,最大值为1 350.
答:当PQ的长为45 mm时,矩形PQMN的面积最大,最大面积为
1 350 mm2.(共17张PPT)
第10课时 位似
课标要求
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课标要求
了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.(几何直观、空间观念、应用意识)
课堂讲练
知识点 1 位似图形的概念与性质
定义 如果两个图形对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段____________,那么这两个图形叫做__________,这点叫
做____________.(位似图形是具有特殊位置关系的相似图形)
性质 文字表述 (1)位似图形的对应点的连线相交于位似中心; (2)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上; (3)位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 图形示例 如图3,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形,点O是位似中心,则: (1)AB∥________,AD∥________,CD∥________,BC∥________; (2) = = = = . 成比例
位似图形
位似中心
A′B′
A′D′
C′D′
B′C′
AO
BO
CO
DO
例1 如图4,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,BC=6,B′C′=3.对应点的连线交于点O.
(1)这两个图形________(填“是”或“不是”)位似图形;若是,位似中心为点__________(若不是,此空不填).
(2)相似比为__________.
(3)若OA=4,则AA′=__________.
图4
是
O
2
2
训练 1.如图5,四边形ABCD与四边形GBEF是位似图形, =1.
(1)这两个四边形的位似中心是点________;
(2)相似比为__________;
(3)若EF=12,则CD=__________.
图5
B
6
例2 如图6,△ABC与△A1B1C1为位似图形,点O是它们的位似中心,AO=3,AA1=6.
(1)△ABC与△A1B1C1的相似比是________;
(2)已知△ABC的周长为6,那么△A1B1C1的周长是__________.
图6
18
训练 2.如图7,△ABC与△DEF是位似图形,已知 =2.
(1)位似中心为点_________,相似比为________;
(2)若OA=6,则OD=__________;
(3)BC与EF的位置关系为__________;
(4)已知△ABC的面积为20,那么△DEF的面积是__________.
图7
O
2
3
平行
5
知识点 2 位似作图
例3 作图:如图8,点O在△ABC的外部,以点O为位似中心,求作△ABC的位似图形,把△ABC的边长缩小到原来的一半.
思考:若位似中心O在△ABC的内部,又应该如何作图呢?
图8
解:如答图1,△A′B′C′或△A″B″C″即为所求.
答图1
训练 3.如图9,在10×10的正方形网格中,△ABC的顶点都在格点上,以点A为位似中心,在网格中把△ABC放大为原来的2倍.
图9
解:如答图2,△AB′C′或△AB″C″即为所求.
答图2
课堂检测
基础过关
1.如图10,以点O为位似中心,把△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′,下列说法错误的是( )
A.△ABC∽△A′B′C′ B.点C,O,C′在同一条直线上
C.AO∶AA′=1∶2 D.AB∥A′B′
图10
C
2.如图11,△ABC与△DEF是位似图形,点O是位似中心,且OD=2AD.若BC=6,则EF=__________.
图11
4
能力提升
3.如图12,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′,且 .若S四边形ABCD=2,则阴影部分的面积是__________.
图12
16
4.如图13,由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在格点上.
(1)在图中画出位似中心O;(保留画图痕迹)
(2)请在此网格中,以点C为位似中心,画出△A″B″C,使它与△ABC的相似比为2;
(3)△ABC与△A″B″C的周长比是__________.
图13
解:(1)如答图3,点O即为所求.
答图3
(2)如答图3,△A″B″C即为所求.
思维拓展
5.【数形结合】如图14,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为 ,点A,B,E在x轴正半轴上.若点A的坐标为(2,0),则正方形BEFG的边长
是__________.
图14
12
将坐标转化为线段长,根据相似比求解即可.(共20张PPT)
第4课时 相似三角形的判定(一)
课标要求
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课标要求
掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;了解相似三角形的判定定理.(几何直观、推理能力、模型观念、空间观念)
课堂讲练
知识点 1 平行线分线段成比例
基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段__________. 几何语言:
∵l3∥l4∥l5,
∴ =________,
=________,
=________.
推论:________于三角形一边的直线截其他两边(或两边
的________),所得的对应线段________. 成比例
平行
延长线
成比例
例1 (北师九上P84改编)如图1,已知l1∥l2∥l3.
(1)若AB=1,BC=2,DE=1.5,则EF=________;
(2)若AC=6,BC=4,EF=5,则DF=________.
图1
3
7.5
训练 1.(人教九下P31改编)如图2,AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点O,且AO=2,OF=1,FD=2.
(1) =________;
(2)若OB=1.6,则OE=________,CE=________.
图2
0.8
1.6
知识点 2 相似三角形的判定1
________于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言:∵________________,∴________________. 拓展:平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线(或反向延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 平行
DE∥BC
△ADE∽△ABC
例2 如图3,在△ABC中,DE∥AB,CD=3,AD=6.
(1)求证:△DEC∽△ABC;
(2)若DE=2,求线段AB的长.
图3
(1)证明:∵DE∥AB,∴△DEC∽△ABC.
∴AB=6.
训练 2.如图4,已知AB∥DE, = .
(1)求证:△EDC∽△ABC;
(2)若AB=12,求线段DE的长.
图4
(1)证明:∵AB∥DE,∴△EDC∽△ABC.
例3 如图5,在 ABCD中,E是BA的延长线上一点,连接EC交AD于点F.
(1)求证:△EAF∽△EBC;
(2)若EA=2,AB=3,BC=10,求AF的长.
图5
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∴△EAF∽△EBC.
(2)解:∵EA=2,AB=3,∴EB=5.
训练 3.如图6,在矩形ABCD中,E是边AD的中点,AC与BE相交于点M,若AC=9,求AM的长.
图6
解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC.
课堂检测
基础过关
1.(2025上海一模)如图7,已知AB∥CD∥EF,下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
图7
C
2.如图8,已知BC∥DE,BD与CE相交于点A.若AB= BD,BC=6,则DE的长为________.
图8
3
3.【跨学科】如图9,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长为__________.
图9
能力提升
4.将三个边长分别为2 cm的正方形按如图10所示的方式排列,连接BH,交EF于点I,则EI的长为__________cm.
图10
5.(人教九下P42改编)如图11,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB, , 则=__________.
图11
思维拓展
6.【应用意识·代几综合】如图12,从直角三角形木板ABC中截取一个矩形桌面CDEF(点E在边AB上),已知∠C=90°,AC=40,BC=30.
(1)求证:△ADE∽△ACB;
图12
(1)证明:∵四边形CDEF为矩形,∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ACB.
(2)设DE=x,则当x取何值时,矩形CDEF的面积最大?
图12
(2)解:设矩形CDEF的面积为S.
∴当x=15时,S有最大值,最大值为300.(共19张PPT)
第5课时 相似三角形的判定(二)
课标要求
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课标要求
了解相似三角形的判定定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明.(几何直观、推理能力、模型观念、空间观念)
课堂讲练
知识点 1 相似三角形的判定2
三边__________的两个三角形相似.
几何语言:在△ABC和△A′B′C′中,______________________, ∴△ABC∽△A′B′C′. 成比例
例1 (人教九下P34改编)如图1,根据所给条件,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
图1
解:△ABC∽△DEF.理由如下:
训练 1.(人教九下P42改编)如图2,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D,E,F都在格点上,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
图2
解:△ABC∽△DEF.理由如下:
知识点 2 相似三角形的判定3
两边__________且夹角__________的两个三角形相似.
几何语言:在△ABC和△A′B′C′中,______________,∠A=__________, ∴△ABC∽△A′B′C′. 成比例
相等
∠A′
例2 (人教九下P34改编)如图3,AE与BD相交于点C,判断△ABC和△EDC是否相似,并说明理由.
图3
解:△ABC∽△EDC.理由如下:
又AE与BD相交于点C,∴∠ACB=∠ECD.
∴△ABC∽△EDC.
训练 2.如图4,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,根据所给条件,判断△ADE和△ABC是否相似,并说明理由.
图4
解:△ADE∽△ABC.理由如下:
由题意,得AB=2+4=6,AC=2.5+5=7.5.
又∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
例3 (2024揭阳模拟)如图5,在△ABC与△ADE中,∠1=∠2,
= .求证:△ABC∽△ADE.
图5
证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC.
∴∠BAC=∠DAE.
训练 3.(人教九下P44改编)如图6,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.
求证:△ACD∽△CBD;
图6
证明:∵CD是边AB上的高,
∴∠ADC=∠CDB=90°.
∴△ACD∽△CBD.
等积式转化为比例式.
课堂检测
基础过关
1.(人教九下P34改编)依据下列条件,判断△ABC和△A′B′C′是否相似.(相似打“√”,不相似打“×”)
(1)AB=2 cm,BC=2 cm,CA=3 cm,A′B′=6 cm,B′C′=6 cm,C′A′=9 cm;( )
(2)∠A=∠A′=45°,AB=12 cm,AC=15 cm,A′B′=16 cm,A′C′=20 cm.( )
√
√
2.如图7,每个小正方形的边长均为1,下列选项中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是( )
图7
B
3.(北师九上P102改编)如图8,在△ABC中,D,E,F分别是边BC,AC,AB的中点.求证:△ABC∽△DEF.
图8
证明:∵D,E,F分别是边BC,AC,AB的中点,
∴△ABC∽△DEF.
能力提升
4.如图9,在正方形ABCD中,P,Q分别是BC,CD上的点,且 DQ=2,PC=1,AQ=2 ,PQ= .求证:△ADQ∽△QCP.
图9
证明:在正方形ABCD中,∠D=∠C=90°,
∴△ADQ和△QCP均为直角三角形.
两边成比例且其中一边的对角相等不能判定相似.
思考:连接AP,则△AQP与△ADQ,△QCP是否相似呢?
思维拓展
5.【动点问题·分类讨论】(北师九上P102改编)如图10,在钝角三角形ABC中,AB=3 cm,AC=6 cm,动点D从点A出发沿边AB以1 cm/s的速度向点B运动,同时动点E从点C出发沿边CA以2 cm/s的速度向点A运动.当运动时间是__________时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.
图10
1.5 s或2.4 s
由于相似三角形的对应关系不确定,需要进行分类讨论.(共17张PPT)
第11课时 位似与坐标变换
课标要求
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课标要求
在平面直角坐标系中,探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的.(几何直观、空间观念、应用意识)
课堂讲练
例1 (人教九下P48改编)如图1,在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,相似比为 ,把线段AB缩小.
观察图形并填空:
(1)点A(6,4)的对应点分别为A′(______,______),A″(______,______);
(2)点B(6,0)的对应点分别为B′(______,______),B″(______,______);
图1
(3)若点P为AB的中点,则P(______,______)的对应点分别为P′(______,______),P″(______,______).
3
2
-3
-2
3
0
-3
0
6
2
3
1
-3
-1
训练 1.(人教九下P49改编)如图2,在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,把△OAB放大2倍后得到△OA1B1,△OA2B2.
观察图形并填空:
(1)点A(2,1)的对应点分别为
A1(______,______),A2(______,______);
(2)点B(1,-2)的对应点分别为
B1(______,______),B2(______,______);
图2
(3)若点P(x,y)为AB上一点,则其对应点分别为P1(______,______),P2(______,______).
4
2
-4
-2
2
-4
-2
4
2x
2y
-2x
-2y
在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为____________或____________.
(kx,ky)
(-kx,-ky)
例2 (2024绥化)如图3,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比 缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是( )
A.(9,4) B.(4,9) C. D.
图3
D
训练 2.如图4,在平面直角坐标系中,已知A(-3,6),B(-9,-3),以原点O为位似中心,将△ABO放大到原来的3倍,则点A的对应点A′的坐标是( )
A.(-9,18) B.(-1,2)
C.(-1,2)或(1,-2) D.(-9,18)或(9,-18)
图4
D
例3 如图5,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(6,4),C(0,6),以点O为位似中心,将四边形OABC缩小为原来的 ,得到四边形OA′B′C′,在第一象限内画出四边形OA′B′C′,并写出各顶点的坐标.
图5
解:如答图1,四边形OA′B′C′即为所求.
O(0,0),A′(2,0),B′(3,2),C′(0,3).
答图1
训练 3.如图6,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(0,-1),B(3,-1),C(1,-3),以点A为位似中心,在y轴左侧画△AB′C′,使它与△ABC的相似比是2∶1.请画出△AB′C′,并写出B′,C′两点的坐标.
思考:若将题中“在y轴左侧”删掉,又应该如何画图呢?
图6
解:如答图2,△AB′C′即为所求.
B′(-6,-1),C′(-2,3).
答图2
课堂检测
基础过关
1.(2024浙江)如图7,在平面直角坐标系中,△ABC与△A′B′C′是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A′(-6,2),则
点B(-2,4)的对应点B′的坐标为( )
A.(-4,8) B.(8,-4) C.(-8,4) D.(4,-8)
图7
A
2.如图8,以某点为位似中心,将△AOB缩小后得到△CDE,则位似中心的坐标为__________.
图8
(2,2)
3.(2024佛山期末)在平面直角坐标系中,原点O为△ABC与△A1B1C1的位似中心,相似比为3∶5.若点A的坐标为(3,6),则对应点A1的坐标为______________________.
(5,10)或(-5,-10)
能力提升
4.如图9,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,-1),B(4,-3),C(4,-1).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,在给定的网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△A1B1C1是位似图形,且点A2的坐标为(3,3);
(3)△A1B1C1与△A2B2C2的周长比是________.
图9
答图3
解:(1)如答图3,△A1B1C1即为所求.
(2)如答图3,△A2B2C2即为所求.
思维拓展
5.如图10,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB的顶点O(0,0),B(1,0),已知△OA′B′与△OAB是位似图形,位似中心是原点O,且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍,则点A的对应点A′的坐标
为______________________________.
图10(共21张PPT)
第1课时 图形的相似
类比学习
课标要求
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课标要求
了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割;通过具体实例认识图形的相似.(几何直观、模型观念、运算能力、应用意识)
类比学习
全等图形 相似图形
定义 形状和__________都相同的图形 __________相同的图形
图例
四边形ABCD≌四边形EFGH
四边形ABCD和四边形EFGH相似
联系与区别 ①形状都相同;②全等图形大小相等,相似图形大小不一定相等; ③全等图形是特殊的相似图形. 大小
形状
课堂讲练
知识点 1 相似图形的概念
________相同的图形叫做相似图形.其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
例1 观察下列各组图形,其中是全等图形的有__________,是相似图形的有__________.
注:若两个相似图形的大小相等,则两图形全等.
形状
④
①②④
训练 1.下列选项中的两个图形,是相似图形的是( )
C
例2 (人教九下P24改编)下列描述的图形不是相似图形的是( )
A.比例尺不同的两张中国地图
B.同一张底片打印出的大小不同的两张照片
C.在平面镜和在哈哈镜里看到的自己的像
D.放电影时胶片上的图像和投在屏幕上的图像
C
训练 2.(人教九下P25改编)如图1,利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路,这种图形的变换是( )
A.相似 B.平移 C.轴对称 D.旋转
图1
A
知识点 2 成比例线段
对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比__________,如 = (即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.
相等
例3 下列各组线段是成比例线段的请打“√”,不是的打“×”.
(1)a=1,b=2,c=3,d=4;( )
(2)a=2,b=3,c=4,d=6;( )
(3)a=1,b= ,c= ,d= .( )
×
√
√
训练 3.下列不是成比例线段的是________(填序号).
①1 cm,2 cm,3 cm,6 cm;
②0.2 cm,0.3 cm,0.5 cm,0.7 cm;
③ cm, cm, cm, cm.
②
例4 (1)已知 = (abcd≠0),下列变形不正确的是( )
A.ad=bc B. = C. = D. =
②等比性质: = =…= (b+d+…+n≠0) = .
注:①合比性质: = = ;
(2)若 = =2(b+d≠0),则 =________, =__________.
D
1
2
课堂检测
基础过关
1.下列选项中,与图2所给图形相似的是( )
图2
D
判断两个图形是否相似,就是看它们的形状是否相同,与大小、位置和方向均无关.
2.下列选项中,两个图形不一定相似的是( )
A.两个正方形 B.两个矩形
C.两个等边三角形 D.两个圆
B
3.(北师九上P119改编)若四条线段a,b,c,d成比例,其中b= 3 cm,c=6 cm,d=9 cm,且 = ,则线段a的长度为________cm.
4.(2024深圳期中)已知4a=3b(b≠0),则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
2
B
比例式与等积式的转化,可通过将比例式交叉相乘转变为等积式.
5.(人教九下P27改编)在地理学上,比例尺= .在一张比例尺为1∶500 000的地图上,量得甲、乙两地的距离为6 cm,那么甲、乙两地的实际距离是________km.
30
能力提升
6.【易错】(人教九下P27改编)如图3,在5×5的正方形网格中有一个四边形,请你在网格中画出一个与该四边形相似的图形(要求大小不同).
图3
解:画出图形如答图1所示.(答案不唯一)
答图1
将一个图形放大或缩小,指的是将这个图形的每条边都按相同的比例同时放大或缩小.
且AB∥NP,“晋”字的笔画“ ”的位置在AB的黄金分割点C处,且 = .若NP=2 cm,则BC的长
为__________cm.(结果保留根号)
思维拓展
7.【阅读理解·对接中考】(2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图4所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,
图4(共19张PPT)
第8课时 相似三角形的应用(一)
课标要求
课堂讲练
第二十七章 相似
课堂检测
课标要求
会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.(几何直观、应用意识、模型观念)
课堂讲练
知识点 1 简单的实际问题
例1 (人教九下P57改编)如图1,用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB,已知AD=BC, = = ,量得CD的长为6 cm,则AB的长
为________cm.
图1
18
训练 1.(北师九上P163改编)如图2,小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容:当测试距离为3 m时,视力表中最大的“E”字高度为45 mm;当测试距离为5 m时,视力表中最大的“E”字高度为________mm.
图2
75
知识点 2 利用影长测量的问题
例2 (人教九下P39改编)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.如图3,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.
图3
解:∵太阳光是平行光线,即BA∥ED,∴∠BAO=∠EDF.
∵∠AOB=∠DFE=90°,∴△ABO∽△DEF.
答:金字塔的高度BO为134 m.
训练 2.如图4,一棵笔直的小树AB在路灯O的照射下形成树影BC.若树高AB=2 m,树影BC=3 m,树与路灯的水平距离BP=4 m,求路灯的高度OP.
图4
解:由题意,得AB∥OP.∴△ABC∽△OPC.
知识点 3 测量河宽问题
例3 (人教九下P40改编)如图5,点A是河对岸上一点,点A,B,D在同一条直线上,点A,C,E在同一条直线上,且AD⊥DE,BC∥DE.已测得BC=24 m,BD=12 m,DE=40 m,求河宽AB.
图5
解:设河宽AB为x m.
解得x=18.
答:河宽AB为18 m.
训练 3.(人教九下P41改编)如图6,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,DC⊥BC,在BC上取一点E,满足点A,E,D在同一条直线上.测得BE=30 m,CE=15 m,DC=30 m,求河宽AB.
图6
解:∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠ABE=∠DCE=90°.
又∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE.
答:河宽AB为60 m.
课堂检测
基础过关
1.(人教九下P41改编)在相同的时刻,太阳光下物高与影长成正比.同一时刻下,如果高为1.5 m的人的影长为2.5 m,那么影长为30 m的旗杆的高为( )
A.15 m B.16 m C.18 m D.20 m
C
2.【跨学科】(2024扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图7,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB=36 cm,A′B′= 24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A′B′的距离
为__________cm.
图7
20
3.(北师九上P105改编)如图8,阳光通过窗口AB照射到室内,在地面上留下4 m宽的亮区DE,已知亮区DE右端到窗口下墙角的距离CE= 5 m,窗口高AB=2 m,那么窗口底端离地面的高BC=__________m.
图8
4.如图9,小明在A时刻测得树CE的影长DE为2 m,又在B时刻测得树CE的影长EF为8 m.若两次日照的光线互相垂直,求树CE的高度.
图9
解:由题意,得∠DCF=90°,CE⊥DF.
∴∠DEC=∠CEF=90°.
∴∠DCE+∠D=90°,∠DCE+∠ECF=90°.
∴∠D=∠ECF.∴△EDC∽△ECF.
又DE=2,EF=8,∴EC2=2×8=16.∴EC=4.
答:树CE的高度为4 m.
能力提升
5.【实践探究】下表是小明填写的实践活动报告的部分内容,请你借助小明的测量数据,计算小河的宽度AB.
课题 测量小河的宽度AB
测量方法 示意图
测量数据 BC=1 m,BD=10 m,DE=1.2 m
解:∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE.
答:小河的宽度AB为50 m.
思维拓展
6.如图10,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1 m,继续往前走3 m到达E处时,测得影子EF的长为2 m,已知王华的身高是1.5 m(即GC=HE=1.5 m),求路灯的高度AB.
图10
解:设BC=x.
∵GC⊥BC,AB⊥BC,∴GC∥AB.∴△GCD∽△ABD.
解得AB=6.
答:路灯的高度AB为6 m.