(共19张PPT)
第3课时 特殊角的三角函数值
知识导学
课标要求
课堂讲练
第二十八章 锐角三角函数
课堂检测
课标要求
知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．(运算能力、几何直观、模型观念、应用意识)
知识导学
1.填空：
锐角α 锐角三角函数 30° 45° 60° 结合图形记忆
sin α
cos α tan α 注：1.特殊角(锐角)的三角函数值 特殊角(锐角)的度数．如
sin α＝ 锐角α＝60°.
2．sin 60°≠sin 30°＋sin 30°.
1
课堂讲练
知识点 1 利用特殊角的三角函数值进行计算
例1 填空：
(1)2tan 45°＝__________；
(2)sin260°＝__________；
(3)cos 60°tan 30°＝__________．
提示：sin260°表示(sin 60°)2，即(sin 60°)·(sin 60°)＝sin 60°sin 60°.
2
训练 1.填空：
(1) cos 30°＝__________；
(2)sin 45°tan 60°＝__________；
(3)cos245°sin 30°＝__________．
例2 求下列各式的值：
(1) sin 30°＋2tan 45°；
(2)tan 60°cos 30°－cos245°；
(3)cos 60°＋ sin 45°－tan 30°sin 60°.
解：
训练 2.求下列各式的值：
(1)2sin 30°－tan260°；
(2)sin 45°cos 45°＋4tan 45°cos 60°；
(3) ＋tan 30°.
知识点 2 根据特殊角的三角函数值求角度
例3 已知∠A是锐角，填空：
(1)若cos A＝ ，则∠A＝________；
(2)若2sin A＝1，则∠A＝________；
(3)若tan (A＋15°)＝ ，则∠A＝________．
60°
30°
15°
训练 3.已知∠α是锐角，填空：
(1)若sin α＝ ，则∠α＝________；
(2)若tan α＝ ，则∠α＝________；
(3)若cos2α＝ ，则∠α＝________；
(4)若sin α＝cos α，则∠α＝________.
45°
60°
30°
45°
课堂检测
基础过关
1．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，则cos C的值是( )
A．1 B． C． D．
C
2．(人教九下P66改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝ BC，则∠A的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
B
3．求下列各式的值：
(1)tan245°＋sin 60°cos 30°；
(2) ＋ tan 30°－ .
能力提升
4．在△ABC中，∠A，∠B是锐角，且满足|2sin A－1|＋(tan B－ )2＝0.请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∴∠A＝30°，∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
思维拓展
5．【数形结合】某数学小组在尝试计算tan 22.5°的值时，采用了以下方法：
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB至点D，使得BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.设AC＝1，则BC＝1，
BD＝AB＝ ，所以tan 22.5°＝ .类比这种方法，计算tan 15°的值．(画出计算所需图形，并写出解答过程)
图1
解：如答图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使得BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°．
答图1
设AC＝1，则BC＝√3，BD＝AB＝2.(共16张PPT)
第6课时 解直角三角形的应用(方向角)
衔接回顾
课堂讲练
第二十八章 锐角三角函数
课堂检测
衔接回顾
1.方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始线旋转到目标的方向所成的角．如图1，点A在点O的北偏东30°方向．
(1)点B位于点O的____________________方向；
(2)点C位于点O的____________________方向；
(3)点D位于点O的____________________方向．
图1
南偏西45°(西南)
北偏西60°
南偏东75°
课堂讲练
例1 如图2，海面上A，B两岛分别位于C岛的正北方向和正东方向上，一艘船从C岛出发，以21 n mile/h的速度向正北方向航行2 h到达A岛，此时测得B岛在A岛的南偏东58°方向上，求B，C两岛之间的距离(结果取整数)．(参考数据：sin 58°≈0.8，cos 58°≈0.5，tan 58°≈1.6)
图2
解：由题意，得AC＝21×2＝42，∠C＝90°，∠A＝58°.
∴BC＝AC·tan A＝42×tan 58°≈67(n mile).
答：B，C两岛之间的距离约为67 n mile.
训练 1.(人教九下P79改编)如图3，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为42 n mile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于东北方向上，且A，P之间的距离为84 n mile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．
图3
解：如答图1，过点P作PD⊥AM于点D.
答图1
由题意，得AP＝84，∠PAD＝45°.
∴若轮船继续向正东方向航行，有触礁危险．
可将轮船有无触礁危险转化为点P到AM的距离是否小于
42 n mile.
例2 (人教九下P76改编)如图4，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．求B处与灯塔P之间的距离(结果保留根号)．
图4
解：如答图2，过点P作PC⊥AB于点C.
答图2
由题意，得∠CPA＝45°，∠B＝30°，AP＝100.
在Rt△PCB中，∠B＝30°，
训练 2.如图5，一架飞机沿正北方向匀速飞行，在A处测得雷达站C在北偏西37°方向上，在B处测得雷达站C在北偏西63°方向上，此时BC＝150 km，求A，B两地之间的距离(结果取整数)．(参考数据：sin 63°≈0.89，cos 63°≈0.45，tan 37°≈0.75)
图5
解：在Rt△BCD中，∠CBD＝63°，BC＝150，
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝150×sin 63°≈150×0.89＝133.5，
BD＝BC·cos ∠CBD＝150×cos 63°≈150×0.45＝67.5.
∴AB＝AD－BD≈178－67.5＝110.5≈111(km).
答：A，B两地之间的距离约为111 km.
课堂检测
1．如图6，小明在一公园西门B测得观景亭A位于北偏东60°方向，继续向东走100 m后到达游船码头C，测得观景亭A在游船码头C的北偏东30°方向．求西门B与观景亭A之间的距离(结果保留根号)．
图6
解：如答图3，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
答图3
由题意，得∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝
90°－30°＝60°.
∵∠ACD＝∠ABC＋∠BAC，即60°＝30°＋∠BAC，
∴∠BAC＝30°＝∠ABC.∴AC＝BC＝100.
在Rt△ACD中，
2．【方程思想】如图7，某市计划在东西方向上修建一条公路MN，已知点C处是宝光塔，其周围60 m的范围内为保护区，在公路MN上的点A处测得宝光塔C在点A的北偏东45°方向上，从A处向东走180 m到达B处，测得宝光塔C在点B的北偏西60°方向上．计划修建的公路MN是否穿过宝光塔C的保护区？请通过计算说明理由．(参考数据： ≈1.73)
图7
解：如答图4，过点C作CH⊥AB于点H.
答图4
由题意，得∠CAH＝90°－45°＝45°，∠CBH＝90°－60°＝30°．
设CH＝x.
∴CH≈66 m.
∵66＞60，∴计划修建的公路MN不会穿过宝光塔C的保护区．(共17张PPT)
第5课时 解直角三角形的应用(仰俯角)
衔接回顾
课标要求
课堂讲练
第二十八章 锐角三角函数
课堂检测
课标要求
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．(运算能力、几何直观、模型观念、应用意识)
衔接回顾
1.如图1，在进行测量时，视线与水平线所成的角中：
(1)从下向上看，视线在水平线上方的是________，图中人眼看点A的仰角的度数为________；
(2)从上向下看，视线在水平线下方的是________，图中人眼看点B的俯角的度数为________．
注：仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
图1
仰角
30°
俯角
70°
课堂讲练
例1 (人教九下P78改编)如图2，某飞机于空中A处探测到正下方的目标C，此时飞行高度AC＝1 300 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝40°.求A处与指挥台B的距离(结果取整数).(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
图2
解：由题意，得∠B＝α＝40°，AC＝1 300.
答：A处与指挥台B的距离约为2 031 m.
训练 1.如图3，在距离树BC 12 m的A处，用测角仪测得树顶B的仰角是30°，已知测角仪AD的高为1.5 m，求树BC的高(结果保留根号).
图3
解：如答图1，过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ACED是矩形．
答图1
∴DE＝AC＝12，CE＝AD＝1.5.
例2 (人教九下P75改编)如图4，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为37°，看这栋楼底部的俯角为45°，热气球与楼的水平距离为118 m，这栋楼有多高(结果取整数)？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
图4
解：由题意，得α＝37°，β＝45°，AD＝118.
∴BD＝AD·tan α＝118×tan 37°≈118×0.75＝88.5.
∴CD＝AD·tan β＝118×tan 45°＝118×1＝118.
∴BC＝BD＋CD≈88.5＋118＝206.5≈207(m).
答：这栋楼高约为207 m.
训练 2.如图5，小明要测量嵌在某大楼前面电子屏CD的高度，在该大楼正前方30 m的A处测得电子屏CD的顶端C的仰角∠CAE＝45°，底端D的仰角∠DAE＝30°，求电子屏CD的高度(结果取整数).(参考数据： ≈1.41， ≈1.73)
图5
解：在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴DE＝AE·tan ∠DAE＝30×tan 30°≈17.3.
∴CD＝CE－DE≈30－17.3≈13(m).
答：电子屏CD的高度约为13 m.
课堂检测
基础过关
1．黄岐宝塔坐落在揭阳市黄岐山顶峰，是市级文物保护单位．如图6，某课外兴趣小组在距离塔底A 22 m的点C处，用测角仪测得塔顶B的仰角为42°，则可估算出塔AB的高度为__________m(结果取整数)．(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
图6
20
能力提升
2．如图7，在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组在综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，在综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角是30°.已知综合楼AB的高为24 m，请你帮小明求出办公楼CD的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据：tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33， ≈1.73)
图7
解：由题意，得AB＝24，∠BDA＝53°，∠CAD＝30°.
答：办公楼CD的高度约为10.4 m.
思维拓展
3．【方程思想】如图8，某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，其长度为39 m，在点A处测得坡顶B的仰角为α，且tan α＝ ，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B处8 m远的E处有一个花台，在E处测得楼顶C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D.求DC的长(结果保留根号)．
图8
设BG＝5x m，则AG＝12x m.
∵AB＝39，∴13x＝39.解得x＝3.∴BG＝DF＝5x＝5×3＝15(m).
设EF＝y m.
∵BE＝8，∴BF＝BE＋EF＝8＋y.
由题意知∠CBF＝45°，∠CEF＝60°.
∴CF＝BF·tan ∠CBF＝(8＋y)×tan 45°＝8＋y.(共21张PPT)
第1课时 锐角三角函数(正弦)
知识导学
课标要求
课堂讲练
第二十八章 锐角三角函数
课堂检测
课标要求
利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A).(运算能力、几何直观、模型观念、应用意识)
知识导学
1.(衔接回顾)如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°.
思考：(1)若∠A＝∠A′＝30°，则 ＝______， ＝______，
______ (填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)若∠A＝∠A′＝45°，则 ＝______， ＝______，
______ (填“＞”“＜”或“＝”)；
探究：(3)若∠A＝∠A′，则△ABC______△A′B′C′， ______ (填“＞”“＜”或“＝”)．
图1
＝
＝
∽
＝
如图1，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝ ＝ ．
图1
课堂讲练
知识点 1 求锐角的正弦值
例1 (人教九下P63改编)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sin A和sin B的值．
图2
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，
训练 1.(人教九下P64改编)如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，求∠A和∠B的正弦值．
图3
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，
知识点 2 已知正弦值求边长
例2 如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝3，求AB，AC的长．
图4
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝ ＝ ，
训练 2.(北师九下P6改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，AB＝20，求△ABC的面积．
例3 如图5，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D.若CD＝4，sin ∠BAD＝ ，求AB的长．
图5
设AB＝5x，则BD＝3x.
∴AB＝BC＝BD＋CD，即5x＝3x＋4.
解得x＝2.∴AB＝5x＝10.
训练 3.如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，且AD＝BD.若BC＝16，sin ∠CAD＝ ，求AC的长．
图6
设AD＝5x，则CD＝3x.
∴BC＝BD＋CD＝AD＋CD，即16＝5x＋3x.
解得x＝2.∴AD＝5x＝10，CD＝3x＝6.
先确定好锐角所在的直角三角形，再利用正弦的定义求边长，且求解过程中常根据正弦值设未知数，列方程求解．
课堂检测
基础过关
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin A的值为( )
A． B． C． D．
2．如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，sin B＝ ，则BC的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
图7
C
B
3．(人教九下P65改编)在Rt△ABC中，若各边长都扩大2倍，则锐角A的正弦值( )
A．不变 B．扩大2倍
C．缩小到原来的 D．无法确定
A
能力提升
4．如图8，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，则∠A的正弦值是__________.
图8
求某一个锐角的正弦值时，要先观察该锐角是否在某一个直角三角形中，若不在，则需要作辅助线构造含该锐角的直角三角形．
5．如图9，过⊙O外一点作⊙O的切线AB，切点为B，连接OA交⊙O于点C，AC＝16，sin A＝ ，则⊙O的半径为__________.
图9
10
思维拓展
6．(人教九下P69)如图10，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A的是( )
A． B． C． D．
图10
D(共17张PPT)
第7课时 解直角三角形的应用(坡度、坡角)
衔接回顾
课堂讲练
第二十八章 锐角三角函数
课堂检测
衔接回顾
1.如图1，坡面与水平面所成的锐角α叫坡角；坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示(i＝tan α＝ )，记作i＝h∶l.
(1)若坡角α＝45°，则坡度为__________；
(2)若h＝4 ，l＝12，则坡度为__________，坡角α的度数
为__________．
图1
1∶1
30°
课堂讲练
例1 如图2，河堤横断面迎水坡AB的坡比(即坡度)是3∶4，已知堤高BC＝6 m，求坡面的水平宽度AC.
图2
答：坡面的水平宽度AC为8 m.
训练 1.如图3，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1∶2，物体从地面的A处沿着该斜坡前进了10 m到达B处，求物体此时离地面的高度BC(结果保留根号).
图3
解：设BC＝x.
由题意，得BC∶AC＝1∶2.∴AC＝2BC＝2x.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AC2＋BC2＝AB2，即(2x)2＋x2＝102.
解决有关坡度坡角的实际问题时，通常过顶点作高构造与坡度坡角相关的直角三角形．
例2 (人教九下P77改编)如图4，拦水坝的横截面为梯形ABCD，坝顶BC长为6 m，坝高BE为9 m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1∶ ，求斜坡CD的坡角及坝底AD的长．
图4
解：由题意知，四边形BEFC为矩形．
∴BC＝EF＝6，BE＝CF＝9.
∴斜坡CD的坡角∠D＝30°.
∵斜坡AB的坡角为45°，∴∠ABE＝45°＝∠A.
∴BE＝AE＝9.
训练 2.如图5，某建筑的横断面为梯形ABCD，斜面AB的坡度i＝1∶2，斜面CD的长为10 m，其坡角为37°，求斜面AB的长(结果保留根号).(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
图5
解：如答图1，过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ADEF为矩形．∴AF＝DE．
答图1
∴DE＝CD·sin C＝10×sin 37°≈6.
∴AF＝DE≈6.
∴BF＝2AF≈12.
课堂检测
1．如图6，为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡AB铺设水管．现测得山坡AB与水平面AC所成的角为18°，山顶B到水平面AC的距离为35 m，则需要准备长度约为__________m的水管(结果取整数).(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
图6
113
2．如图7，某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．已知原阶梯式自动扶梯的坡长AB＝10 m，坡角∠ABD＝30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACD＝15°，求改造后的斜坡式自动扶梯AC的长(结果精确到0.1 m).(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)
答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长约为19.2 m.
3．如图8，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800 m，BC＝200 m，斜坡AB的坡角为30°，斜坡BC的坡度为1∶1.求山峰CF的高度(结果保留小数点后一位).(参考数据： ≈1.414， ≈1.732)．
图8
∴EF＝BD.
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴EF＝BD＝400.
∵斜坡BC的坡度为1∶1，∴tan ∠CBE＝1.∴∠CBE＝45°.
∴CE＝BC·sin ∠CBE＝200×sin 45°≈141.4.
∴CF＝CE＋EF≈141.4＋400＝541.4(m).
答：山峰CF的高度约为541.4 m.
解：如答图2，过点B作BD⊥AF于点D，则四边形BDFE为矩形．
答图2
4．(人教九下P79改编)图9是一座一侧有缓步台的过街天桥示意图．已知桥面BC长为10 m，与马路的垂直距离CN为6 m，桥面DE长为6 m，与马路的垂直距离DP为4 m，斜坡AB，CD与水平面的夹角分别为45°，27°，斜坡EF的坡度(即EQ∶FQ)为2∶3.求天桥跨度AF的长．(参考数据：sin 27°≈ ，cos 27°≈ ，tan 27°≈ )
图9
解：如答图3，过点D作DG⊥CN于点G.
答图3
由题意，得四边形BMNC、四边形DPQE、四边形GNPD均为矩形．
∴MN＝BC＝10，BM＝CN＝6，PQ＝DE＝6，NP＝DG，EQ＝
DP＝4，GN＝DP＝4，CG＝CN－GN＝2.
在Rt△ABM中，∠A＝45°，∴∠ABM＝45°＝∠A.
∴AM＝BM＝6.
∴FQ＝6.
∴AF＝AM＋MN＋NP＋PQ＋FQ＝6＋10＋4＋6＋6＝32(m)．
答：天桥跨度AF的长约为32 m.(共17张PPT)
第2课时 锐角三角函数(余弦、正切)
知识导学
课标要求
课堂讲练
第二十八章 锐角三角函数
课堂检测
课标要求
利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(cos A，tan A).(运算能力、几何直观、模型观念、应用意识)
知识导学
1.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的三角函数为：
正弦：sin A＝ ＝________；
余弦：cos A＝ ＝________；
正切：tan A＝ ＝________．
图1
对边
斜边
邻边
斜边
对边
邻边
2.(人教九下P65改编)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，完成下列填空：
(1)sin A＝________，sin B＝________；
(2)cos A＝________，cos B＝________；
(3)tan A＝________，tan B＝________.
图2
课堂讲练
例1 (人教九下P63改编)如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A的余弦值和正切值．
图3
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，
训练 1.(人教九下P68改编)如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ，求sin B，cos B，tan B.
图4
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，
例2 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，cos B＝ ，求AC的长和tan A的值．
图5
训练 2.如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，tan A＝ ，求AC的长和∠B的余弦值．
图6
课堂检测
基础过关
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则cos A的值为( )
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，则tan B的值为( )
A． B．2 C． D．
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝6，cos A＝ ，则BC的长为( )
A．2 B．4 C．2 D．4
A
C
D
4．如图7，在△ABC中，AD是边BC上的高，BD＝2CD＝4，
tan C＝3，求边AB的长．
图7
解：由题意，得CD＝2，∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ACD中，tan C＝ ＝3，
∴AD＝CD·tan C＝2×3＝6．
能力提升
5．如图8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ，BC＝2 ，求AC的长和sin A的值．
图8
设AB＝3a，则AC＝2a.
解得a＝2.∴AB＝3a＝6，AC＝2a＝4.
思维拓展
6．【解法不唯一】如图9，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝5，AD＝6，CD＝8，连接对角线AC，求tan ∠ACB的值．
图9
解：如答图1，过点B作BE⊥AC于点E，则∠AEB＝∠CEB＝90°.
在Rt△ACD中，由勾股定理，
∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠ACD.
∴CE＝AC－AE＝10－4＝6．
答图1(共21张PPT)
第4课时 解直角三角形
知识导学
课标要求
课堂讲练
第二十八章 锐角三角函数
课堂检测
课标要求
能用锐角三角函数解直角三角形．(运算能力、几何直观、模型观念、应用意识)
知识导学
1.(衔接回顾)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)三边之间的关系：______________(勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系：______________＝90°；
(3)边、角之间的关系：sin A＝________，
cos A＝________，tan A＝________，
sin B＝________，cos B＝________，
tan B＝________．
图1
a2＋b2＝c2
∠A＋∠B
2．解直角三角形：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
注：已知元素至少有两个，其中至少有一个是边．
课堂讲练
知识点 1 已知两边解直角三角形
例1 如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，BC＝2，解这个直角三角形．
图2
∴∠B＝90°－∠A＝45°.∴AC＝BC＝2.
训练 1.(人教九下P73)如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝ ，BC＝ ，解这个直角三角形．
图3
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
知识点 2 已知一边与一锐角解直角三角形
例2 (人教九下P77改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，解这个直角三角形．
解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°.
∵sin A＝ ，∴BC＝AB·sin A＝8×sin 30°＝4.
训练 2.如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，b＝20，解这个直角三角形．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，
tan 37°≈0.75)
解：∵∠C＝90°，∠A＝37°，
∴∠B＝90°－∠A＝53°.
∵tan A＝ ，∴a＝b·tan A＝20×tan 37°≈15.
知识点 3 非直角三角形中的边角问题
例3 如图5，在△ABC中，AB＝AC＝5，cos B＝ ，求∠A的度数和BC的长．
图5
解：如答图1，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°．
答图1
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BD＝CD.
∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝180°－30°－30°＝120°，
训练 3.如图6，在△ABC中，AC＝10，∠A＝60°，∠B＝45°，求AB的长．
图6
解：如答图2，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA＝∠CDB＝90°.
答图2
∴AD＝AC·cos A＝10×cos 60°＝5，
利用锐角三角函数求非直角三角形中的边与角时，可以采用作辅助线(不破坏特殊角)的方法构造直角三角形．构造直角三角形的一般方法如下：
图形中含直角→连接对角线或作延长线
图形中不含直角→作高
课堂检测
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形：
(1)a＝19，c＝38；
(2)∠B＝45°，b＝10.
∴∠B＝90°－∠A＝60°.
解：∠A＝90°－∠B＝45°.
2．【辅助线作法不唯一】如图7，在△ABC中，∠A＝120°，
AB＝2，AC＝4，求BC的长．
图7
解：如答图3，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则∠D＝90°．
答图3
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝180°－120°＝60°.
AD＝AC·cos ∠CAD＝4×cos 60°＝2.
∴BD＝AB＋AD＝2＋2＝4.
(或：过点B作BE⊥AC，交CA的延长线于点E.)
辅助线作法一：过点C作BA延长线的垂线构造直角三角形；辅助线作法二：过点B作CA延长线的垂线构造直角三角形．
