一元函数的导数及其应用单元测试卷（培优卷）（含解析）

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一元函数的导数及其应用单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．下列求导数计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若，且，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．2
5．已知函数，则f（e）＝（　　）
A． B． C． D．
6．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知则（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，若 都有 ，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．下列求函数的导数正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已如函数，则以下结论正确的是（　　）
A．函数存在极大值和极小值
B．
C．函数存在最小值
D．对于任意实数k，方程最多有4个实数解
11．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是，记，则下列结论中正确的为（　　）
A．在上是增函数 B．的最大值为
C．的最小正周期为 D．
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知函数，那么在点处的切线方程为　 　．
13．已知函数与的图象在公共点处有共同的切线，则实数的值为　 　．
14．已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
16．已知函数
（1）求函数 的极值；
（2）求函数 在区间 上的最大值与最小值．
17．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数．
18．已知函数
（1）当时，求函数在区间上最大值和最小值；
（2）令，当函数恰有两个极值点时，求实数的取值范围.
19．已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；
（3）设时，证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】对A：，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D正确；
故答案为：B.
【分析】根据基本初等函数的导函数结合导数的运算法则逐项分析判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】，
，
即此时该切线方程的斜率为，
曲线在点处的切线方程为，即
故选：C
【分析】利用导数求出在的值，即为点处切线的斜率，由直线点斜式方程得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】构建，
因为，所以为的偶函数，
又因为，当时，，
可得，则在上单调递增，
所以在上单调递减，且，
若 ，即，可得，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：C.
【分析】构建，分析可知为的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，进而根据函数性质解不等式.
4．【答案】B
【解析】【解答】当时，，
当时，，
由，且，得p与q一个大于1，一个小于1，不妨设，，
则，即，
所以，，
令，则，
可得当时，，单调递减，当时，，单调递增，
可得当时，取得最小值为．
所以的最小值是．
故答案为：B．
【分析】由，且，得p与q一个大于1，一个小于1，不妨设，，由，得，得到，，构造函数，，利用导数求其最小值即．
5．【答案】D
【解析】【解答】函数，则，解得，
所以，所以，
所以，解得，所以，
所以.
故答案为：D．
【分析】令x=1可得，求出，求导函数可得，结合可求出，进而求出的解析式，代入x=e即可得答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：由已知， ，令 ，可得 ， 当 时，方程无解，所以， ，可得 ，令 ， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递减， 作出 的图象，
，因为函数 有两个极值点， 即方程 有两个变号的实根，即 与 有两个交点，所以，由图可得， ，
故答案为：B
【分析】 根据题意，可令f' (x)=0，化简得 ，令 ，然后作出g (x)的图象，数形结合，即可求出 的取值范围 .
7．【答案】A
【解析】【解答】令，则，
但时，则在上单调递增，
所以，则.
因为，
所以比较的大小可以比较与，即比较与e，
设，可知在上单调递增，
因为，且，
所以，则，故.
所以.
故答案为：A.
【分析】构造函数，利用导数研究单调性，利用单调性可比较b、c，构造函数，利用单调性可比较a、b，然后可得答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：函数g(x)的导数g'(x)= 3x2-2x=x(3x-2)，
所以函数g(x)在上单调递减，则上单调递增，
，g(2)=8-4-5=-1，
若对任意的，都有f(x1)-g(x2)≥2成立，
即当时，f(x)≥1恒成立，即恒成立，
即a≥x- x2·lnx在上恒成立，令h(x)=x- x2·lnx，h'(x)=1-2xlnx-x，h"(x)=-3-2lnx，
当在时，h"(x)=-3-2lnx<0，即h'(x)=-1-2xlnx-x在上单调递减，
由于h'(1)=0，当时，h'(x)>0，当1≤x≤2时，h'(x)<0，
所以h(x)≤h(1)=1，
所以a≥1，
故a的取值范围是a≥1.
故答案为：B
【分析】根据化归思想，将不等式成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数研究函数的单调性、最值求解即可.
9．【答案】A,C,D
【解析】【解答】对于A，根据复合函数的求导法则知，，所以A符合题意；
B，是常数，所以，所以B不符合题意；
对于C，根据复合函数的求导法则知，，所以C符合题意；
对于D，根据复合函数的求导法则知，，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据导数和复合函数求导公式逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】由可得．
由可得：．由可得：．
所以在单调递减，在单调递增，A不正确，C符合题意：
对于B：在单调递增，
因为，所以，B符合题意；
对于D：方程即，有一根为，令．则
，
令可得或，
令可得，
所以在和单调递增，在单调递减，
，
作出，的图形如图所示：
所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由结合求导的方法判断函数的单调性；再利用函数的单调性，可得在单调递增，再利用，所以；再利用函数的单调性求出函数的最小值；再结合两函数的图象的交点的横坐标等价于方程的根的等价关系， 从而得出对于任意实数k，方程最多有4个实数解，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】C,D
【解析】【解答】对于A， ，，由，故 上必存在的区间，此时为减函数，故A错误；
对于B，易知，即该函数的最小正周期为，设 x∈[0，2π]，令f'2(x)= (2cosx- 1)(cosx+1)=0得或-1，所以或π或，此时，，，故最大值为，故B错误；
对于C， ，故 是 的最小正周期 ，故C正确；
对于D，利用放缩法可得D正确.
【分析】 利用导数研究单调性，在一个周期内研究极值、端点处的函数值进而求出最值，利用周期函数的定义判断周期，由此逐项进行判断，即可得答案.
12．【答案】
【解析】【解答】因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率为1，
所以切线方程为，整理得.
故答案为：.
【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：公共点为（），则，
由，得，由，得，
因为函数与的图象在公共点处有共同的切线，
所以，即，得，
所以，即，得，
所以，
故答案为：
【分析】根据题意首先对两个函数求导，结合导函数的几何意义联立两个导函数的方程求解出，再代入到函数的解析式结合指数幂的运算性质计算出a的取值即可。
14．【答案】
【解析】【解答】当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
若关于x的方程有3个不同实根， 则与有 3个不同 的交点，
如图所示，实数取值范围为.
故答案为：.
【分析】分，两种情况，利用导数判断分段的单调性和最值，根据题意可得与有 3个不同 的交点，数形结合处理问题.
15．【答案】（1）解：∵，
∴点在曲线上．
∵，
∴在点处的切线的斜率为
∴切线的方程为．
即.
（2）解：设切点为，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为：
.
又∵直线过点(0，0)，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴直线的方程为，切点坐标为．
【解析】【分析】 (1) 求导，可得在点处的切线的斜率为，进而可求切线方程；
(2) 切点为，则直线的斜率为，根据切线经过原点，列式求解.
16．【答案】（1）解：函数 的定义域为 ．
．
令 ，解得 ，或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表所示．
-3 1
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 8 单调递减 单调递增
因此，当 时，函数 有极大值，并且极大值为 ，
当 时，函数 有极小值，并且极小值为 ．
（2）解：由（1）知，函数 在区间 上，
极大值为 ，极小值为 ．
又由于 ， ，
所以函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ．
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数在给定区间的最值。
17．【答案】（1）解：由，可得，
令，解得，
当时，则，可得，在单调递减；
当时，则，可得，在单调递增；
故函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）解：由，得，
因此函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，
因为，所以的递增区间是，递减区间是，
所以当时，取最大值，
由（1）可知，当时，取最小值，
当，即时，函数与的图象没有交点，即函数没有零点；
当，即时，函数与的图象只有一个交点，即函数有一个零点；
当，即时，函数有两个零点，
理由如下：
因为，
所以，，
由函数零点存在定理，知在内有零点.
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以在上只有一个零点.
又因为，
所以的图象关于直线对称，
因为的图象关于直线对称，
所以与的图象都关于直线对称，
所以在上只有一个零点.
所以，当时，有两个零点.
【解析】【分析】(1)求得，令，解得，结合导数的符号，即可求解出函数的单调区间；
(2)根据题意转化为函数f (x)与g (x)的图象的交点个数，根据二次函数的性质，得到g (x)的单调性和最值，由(1)知f (x)取最小值f(1)=2，分别分-218．【答案】（1）解：因为 ，所以
当 时，，
因为 ，所以，
所以在上单调递增，
，
（2）解： ，则
由于函数恰有两个极值点，所以在上有两个零点，
且在两个零点的附近变号.
设，则，
当时，，故在上单调递增，
在上至多一个零点，与题设矛盾，故舍.
当时，
若，则；若，则，
故在上为减函数，在为增函数，
所以，
因为在上有两个不同的零点，故即.
当时，，故，
而，，
令，
则，故在上为减函数，
故即，
由的单调性及零点存在定理可得：
当时，在上有两个零点.
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数在区间上最大值和最小值 。
（2）利用函数f(x)的解析式求出函数 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，由于函数恰有两个极值点，所以在上有两个零点，且在两个零点的附近变号，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理和已知条件，得出函数在上至多一个零点，与题设矛盾，故舍；再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用函数零点存在性定理结合函数在上有两个不同的零点，故，即，当时，故，而，，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，故，即，由的单调性及零点存在定理可得，当时，在上有两个零点，从而得出当函数恰有两个极值点时的实数的取值范围 。
19．【答案】（1）解：当时，，，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：当时，．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以．
由不等式恒成立，得恒成立，
即在时恒成立，
令，，则．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以的最大值为，
所以，即实数b的取值范围是．
（3）解：由（2）知，在上恒成立，
当，时，在上恒成立，
取，由得，即，则，
所以，，…，，
上式相加得，，
所以．
又因为当时，，
所以．
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数判断原单调性；
(2) 利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题可得在时恒成立，令，，利用导数求的最大值，即可得解.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (63.2%)
2 容易 (5.3%)
3 困难 (31.6%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 利用导数研究函数的极值 56.0(37.3%) 4,6,10,14,16,19
2 函数解析式的求解及常用方法 5.0(3.3%) 13
3 正弦函数的性质 6.0(4.0%) 11
4 简单复合函数求导法则 11.0(7.3%) 1,9
5 函数零点存在定理 28.0(18.7%) 17,18
6 函数的奇偶性 5.0(3.3%) 3
7 利用导数研究曲线上某点切线方程 19.0(12.7%) 13,15
8 奇偶性与单调性的综合 5.0(3.3%) 3
9 利用导数研究函数的单调性 105.0(70.0%) 3,4,6,7,8,10,11,14,16,17,18,19
10 有理数指数幂的运算性质 5.0(3.3%) 13
11 导数的乘法与除法法则 10.0(6.7%) 1,12
12 导数的几何意义 19.0(12.7%) 12,15
13 函数在某点取得极值的条件 14.0(9.3%) 18
14 导数的加法与减法法则 19.0(12.7%) 12,15
15 直线的点斜式方程 5.0(3.3%) 12
16 导数的四则运算 16.0(10.7%) 2,5,9
17 对数的性质与运算法则 21.0(14.0%) 19
18 函数的零点与方程根的关系 11.0(7.3%) 10,14
19 分段函数的应用 5.0(3.3%) 4
20 利用导数研究函数最大（小）值 45.0(30.0%) 8,10,11,16,18
21 函数单调性的性质 5.0(3.3%) 7
22 导数在最大值、最小值问题中的应用 21.0(14.0%) 19
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