12.2 第3课时 一次函数的图象和性质
素养目标
1.能通过k,b的值,确定一次函数y=kx+b的图象.
2.类比正比例函数的性质,掌握一次函数的增减性.
3.能运用一次函数的增减性解决相关问题.
重点
一次函数图象的性质.
【自主预习】
预学思考
在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x和一次函数y=2x+3的图象,观察这两个图象有何位置关系.
自学检测
1.点A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=-x+m (m为任意常数)图象上的不同的两点,若x1>x2,则y1与y2的大小关系是 ( )
A.y1B.y1>y2
C.y1=y2
D.无法确定
2.直线y=2(x-1)向下平移3个单位长度得到的直线是 ( )
A.y=2(x-4)
B.y=3x-3
C.y=2x-5
D.y=2x-2
【合作探究】
知识生成
知识点 一次函数的性质
阅读课本第40页的内容,回答下面的问题.
1.在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数y=3x+1,y=2x-3,y=x+4的图象.
2.观察上个问题中的图象,完成下表:
一次函数的定义 形如y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)的函数叫作一次函数
一次函数的图象 k>0,b>0 k>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b<0
经过第 象限 经过第 象限 经过第 象限 经过第二、三、四象限
一次函数的性质 k>0 k<0
y随x的增大而 y随x的增大而
归纳总结
对于一次函数y=kx+b的图象,当k>0时,y随x的增大而 (函数图象呈上升趋势);当k<0时,函数图象过第 象限,y随x的增大而 (函数图象呈下降趋势).
对点训练
1.一次函数y=-3x-2的图象不经过 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知点(-1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x-2的图象上,则y1,y2,0的大小关系 ( )
A.0B. y1<0C.y1D.y2<0题型精讲
题型1 由k,b的值确定一次函数y=kx+b的图象
例1 已知一次函数y=(3-k)x+(k-2)(k为常数)的图象经过第一、二、三象限,求 k的取值范围.
变式训练
对于一次函数y=(1-m)x+m,若m>1,则函数图象不经过 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
题型2 一次函数的性质
例2 已知点(-3,y1),(2,y2)都在直线y=3x+2上,则y1 ,y2的大小关系是 .
变式训练
(方法指导:利用函数图象或函数性质)已知点(x1,y1),(x2,y2)都在直线y=(k2+1)x+2上,且x1参考答案
自主预习
预学思考
解:如图所示:
直线y=2x向上平移3个单位长度得到直线y=2x+3.
自学检测
1.A 2.C
合作探究
知识生成
知识点
1.解:如图所示:
2.一、二、三 一、三、四 一、二、四
增大 减小
归纳总结
增大 二、四 减小
对点训练
1.A 2.B
题型精讲
题型1
例1
解:由题意可知k-2>0且3-k>0,解得2变式训练
C
题型2
例2
y1变式训练
y1素养目标
1.知道在实际问题的应用中,可用几个表达式刻画两个变量间的关系.
2.掌握分段函数的概念、特点及意义.
3.知道分段函数在自变量不同取值范围内的实际意义,并能解决相关实际问题.
重点
初步认识分段函数.
【自主预习】
预学思考
1.若一条直线经过(2,1),(-4,-5),则这条直线的解析式是 .
2.思考:怎样利用待定系数法确定函数表达式
自学检测
1.若一次函数y=2x+b的图象经过A(-1,3),则b的值为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.已知某一次函数的图象经过A(0,2),B(1,3),C(a,1)三点,则a的值是 .
【合作探究】
知识生成
知识点 分段函数的应用
阅读课本第42页“例5”的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
在自变量的不同取值范围内的函数表达式有不同的形式,这样的函数叫 .分段函数其实就是函数受 的影响而形成的同一条件下的不同函数表达式.
对点训练
1.向最大容量为60升的热水器内注水,每分钟注水10升,注水2分钟后停止注水1分钟,然后继续注水,直至注满.则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是 ( )
A B
C D
2.如图,小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟.试写出这段时间里她跑步速度(单位:米/分)随跑步时间(单位:分)变化的函数表达式: .
题型精讲
题型1 分段函数图象的实际意义
例1 如图,某电信公司有A,B两种方案的移动通信费用y(单位:元)与通信时间x(单位:分)之间的关系,则下列说法中,错误的是 ( )
A.若通话时间少于120分钟,则A方案比B方案便宜20元
B.若通话时间为200分钟,则B方案比A方案便宜12元
C.若通信费用为60元,则B方案比A方案通话时间长
D.若两种方案的通信费用相差10元,则通话时间是145分钟或185分钟
变式训练
如图,这是某工程队在“村村通”工程中修筑的公路长度y(单位:米)与时间x(单位:天)之间的关系图象,根据图象提供的信息,可知该公路的长度是 ( )
A.460米
B.504米
C.560米
D.620米
题型2 分段函数的实际应用
例2 某水果批发店销售苹果,为了吸引顾客制定了如下方案:若一次性购买不超过10千克时,价格为4元,超过10千克时,超过部分的价格为2元/千克.设小王在该批发店一次性购买苹果的数量为x(x>0)千克,购买需花费y元.
(1)求y关于x的函数关系式.
(2)若小王购买24千克苹果,需花费 元.
(3)若小王花费90元,则可以购买 千克苹果.
变式训练
春、秋季节,由于冷空气的入侵,地面气温急剧下降到0 ℃以下的天气现象称为“霜冻”.由霜冻导致植物生长受到影响或破坏现象称为霜冻灾害.某种植物在气温是0 ℃以下持续时间超过3小时,即遭到霜冻灾害,需要采取预防措施.如图,这是气象台某天发布的该地区气象信息,预报了次日0时~8时气温随时间变化的情况,其中0时~5时、5时~8时的图象分别满足一次函数关系.请你根据图中信息,判断次日是否需要对这种植物采取防霜措施,并说明理由.
参考答案
自主预习
预学思考
1.y=x-1
2.①设:设出一次函数表达式的一般形式 y=kx+b,
②代:将已知条件的值代入所设的表达式中,
③解:解方程组,求得k,b的值.
④写:将k,b的值代回表达式中,并写出表达式.
自学检测
1.D
2.-1
合作探究
知识生成
知识点
归纳总结
分段函数 自变量的取值范围
对点训练
1.D
2.y=
题型精讲
题型1
例1
D
变式训练
B
题型2
例2
解:(1)由题意可知,
当010时,y=10×4+(x-10)×2=2x+20,
所以y=
(2)68.
(3)35.
变式训练
解:设0时~5时的一次函数解析式为y1=k1x+b1,
将点(0,3),(5,-3)分别代入,得b=3,k=-,
所以y1=-x+3.
设5时~8时的一次函数解析式为y2=k2x+b2,
将点(5,-3),(8,5)分别代入,
得k2=,b2=-.所以y2=x-.
当y1,y2分别为0时,x1=,x2=,而x2-x1=-=>3,
所以应采取防霜冻措施.12.2 第1课时 正比例函数
素养目标
1.知道一次函数和正比例函数的概念及它们之间的关系.
2.知道正比例函数的图象是一条直线,能通过两点画出正比例函数的图象.
3.通过图象,初步掌握正比例函数y=kx中k的几何意义.
重点
正比例函数的概念.
【自主预习】
预学思考
1.什么是函数
2.我们遇到过这样一些函数:h=30t+1 800;Q=-25t+300;y=2x;y=-2x;s=80t.这些函数解析式有什么共同的特点
自学检测
1.下列四个点,在正比例函数y=3x的图象上的是 ( )
A.(1,-3)
B.(3,1)
C.(1,3)
D.(3,-1)
2.正比例函数y=-5x的图象经过第 象限.
【合作探究】
知识生成
知识点一 一次函数与正比例函数的概念
阅读课本第35页 “有这样一些函数……”至 “正比例函数是一次函数的特殊情形”的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
(1)一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数叫作 .
(2)对于一次函数y=kx+b,当b=0时,就成了y=kx(k是常数,k≠0),形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫作 函数.
对点训练
下列函数:(1)y=πx;(2)y=2x-1;(3)y=;(4)y=2-1-3x;(5)y=x2-1.其中是一次函数的有 ( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
知识点二 正比例函数的图象性质
阅读课本第35页 “下面,来研究……”至 第37页“练习”前面的内容,回答下列问题.
在同一平面直角坐标系中作出正比例函数y=2x,y=-2x,y=4x和y=-4x的图象,观察这些图象,它们有什么共同的特点 经过哪些象限
归纳总结
对于正比例函数y=kx(k≠0),当k>0时,函数图象过第 象限,y随x的增大而 ;当k<0时,函数图象过第 象限,y随x的增大而 .
对点训练
如图,直线y=2x必经过的点是 ( )
A.(2,1)
B.(2,2)
C.(-1,-1)
D.(0, 0)
题型精讲
题型1 正比例函数的概念
例1 若y=(k-2)x-b-4是正比例函数,则 ( )
A.k=2,b=-4
B.k=2,b=4
C.k≠-2,b=-4
D.k≠2,b=-4
变式训练
当m= 时,函数y=mx3m+4是正比例函数,此时y随x的增大而 .
题型2 画正比例函数图象
例2 在同一直角坐标系中,画出函数y=x,y=x,y=5x的图象,然后比较哪一个与x轴正方向所成的锐角最大,由此你得到什么猜想
变式训练
在同一个平面直角坐标系中,画出函数y1=4x和y2=-4x的图象,并比较当x=2时,y1与y2的大小关系.
题型3 正比例函数图象的性质
例3 若点A(-2,y1),B(3,y2),C在正比例函数y=-x的图象上,试比较y1,y2,y3的大小.
变式训练
若正比例函数y=kx的图象经过点(2,-1),则该正比例函数的图象经过 ( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
参考答案
自主预习
预学思考
1.一般地,设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在它允许的取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
2.它们的自变量的最高次数都是1,这些函数都是用自变量的一次式表示的,可以写成y=kx+b的形式.
自学检测
1.C
2.二、四
合作探究
知识生成
知识点一
归纳总结
(1)一次函数
(2)正比例
对点训练
B
知识点二
解:如图所示:
它们的图象都是经过原点的直线,y=2x和y=4x经过第一、三象限,y=-2x和y=-4x经过第二、四象限.
归纳总结
一、三 增大 二、四 减小
对点训练
D
题型精讲
题型1
例1
D
变式训练
-1 减小
题型2
例2
解:函数图象如图所示;由以上三个函数的图象可知函数y=5x与x轴正方向所成的锐角最大;由此猜想:正比例函数y=kx(k>0)中,k越大图象与x轴正方向所成的锐角越大.
变式训练
解:如图所示:
当x=2时,y1>y2.
题型三
例3
解:(方法一)将A,B,C三点的横坐标代入y=―x,求出y1=3、y2=―、y3=-,故y1>y3>y2.
(方法二)因为k=―<0,所以y随x的增大而减小.因为-2<<3,所以y1>y3>y2.
(方法三)如图,画出y=―x的大致图象,根据图象可得y1>y3>y2.
变式训练
D12.2 第6课时 一次函数与一元一次方程、不等式
素养目标
1.知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的转化关系.
2.能根据一次函数图象求一元一次方程的解及一元一次不等式的解集.
重点
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的转化关系.
【自主预习】
预学思考
1.解方程:2x+6=0.
2.已知一次函数y=2x+6,问x取何值时,y=0
自学检测
1.如图,直线y=ax+b过点A(0,3)和点B(-7,0),则方程ax+b=0的解是 ( )
A.x=0
B.x=3
C.x=-7
D.x=-4
2.如图,已知点A(-1,2)是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的一点,则下列判断中正确的是 ( )
A.y随x的增大而减小
B.k>0,b<0
C.当x<0时,y<0
D.方程kx+b=2的解是x=-1
【合作探究】
知识生成
知识点一 一次函数与一元一次方程的关系
阅读课本第44页“问题1”的内容,回答下列问题.
利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤:
①将一元一次方程转化为一次函数;
②画出一次函数的图象;
③找出一次函数的图象与 轴交点的横坐标,该横坐标即为一元一次方程的解.
归纳总结
由于任何一元一次方程都可转化为 (k,b为常数,k≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为一次函数 与 轴交点的横坐标.
对点训练
1.已知直线y=3x+k与x轴的交点为(-2,0),则关于x的方程3x+k=0的解是( )
A.x>-2
B.x=-2
C.x<-2
D.x≤-2
2.直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是 ( )
A.x>1
B.x≥1
C.x<1
D.x≤1
知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系
阅读课本第45页“问题2”的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
从图象上看,kx+b>0的解集是使直线y=kx+b位于 轴 方部分相应x的取值范围,kx+b<0的解集是使直线y=kx+b位于 轴 方部分相应x的取值范围.
对点训练
直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是 ,则不等式-3x+9>12的解集是 .
题型精讲
题型1 一次函数与不等式
例1 在平面直角坐标系中画出函数y=x-2的图象,利用图象求:
(1)不等式x-2<0的解;
(2)当-1≤x≤3时,y的取值范围;
(3)当y>5时,x的取值范围.
变式训练
如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式x>kx+b>-2的解集为 .
题型2 一次函数与一元一次方程
例2 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24,求k的值.
变式训练
已知函数y=kx+b的图象如图所示,利用函数图象解答.
(1)解方程kx+b=0.
(2)解方程kx+b=1.5.
(3)解不等式kx+b<0.
(4)解不等式0.5参考答案
自主预习
预学思考
1.x=-3.
2.当x=-3时,函数y=2x+6的值为0.
自学检测
1.C 2.D
合作探究
知识生成
知识点一
x
归纳总结
kx+b=0 y=kx+b x
对点训练
1.B 2.A
知识点二
归纳总结
x 上 x 下
对点训练
(-1,0) x<-1
题型精讲
题型1
例1
解:函数y=x-2的图象如图所示:
(1)x<2.
(2)当-1≤x≤3时,y的取值范围是-3≤y≤1.
(3)当y>5时,y的取值范围是x>7.
变式训练
-1题型2
例2
解:设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A,B.
令y=0得x=-;令x=0,得y=6,
所以A,B(0,6),所以OA=,OB=6,
所以S=OA·OB=×6=24,
所以|k|=,所以k=±.
变式训练
解:(1)x=-0.5;(2)x=1;(3)x<-0.5;(4)0素养目标
1.知道一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的关系.
2.掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的平移规律.
3.会用两点画一次函数的图象,知道一次函数y=kx+b中系数b的几何意义.
重点
一次函数的图象.
【自主预习】
预学思考
1.什么是一次函数
2.正比例函数 y=kx ( k为常数,且k≠0 ) 的图象有什么性质
自学检测
1.下列函数中,y是x的一次函数的是 ( )
A.y=x3
B.y=
C.y=x-1
D.y=x2
2.若函数y=(m+1)-7是关于x的一次函数,则m的值为 ( )
A.0
B.-1
C.1
D.1或-1
【合作探究】
知识生成
知识点一 一次函数与正比例函数图象的关系
阅读课本第38页“例2”前面的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
一般地,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象是 于直线y=kx的一条直线,因此一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象也叫作直线y=kx+b.
对点训练
下列函数中,其图象与y=-x+1平行的是 ( )
A.y=x-2
B.y=-x-0.5
C.y=x+1
D.y=-2x+1
知识点二 一次函数图象
阅读课本第38页 “例2”至第39页“练习”前面的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
1.直线y=kx+b与y轴相交于点 ,b叫作直线在y轴上的 .
2.直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0,时,向 平移;当b<0,时,向 平移).
3.画一次函数y=kx+b的图象时,常采用 法,即在坐标系内描出函数对应的两点,再过这两点作 即可.通常选取的两点是函数图象与 和 的 坐标.
对点训练
在平面直角坐标系中,一次函数y=x-1的图象是 ( )
A B
C D
题型精讲
题型1 一次函数的图象
例1 一次函数y=2x-4的图象是 ( )
A. B.
C. D.
题型2 一次函数与截距
例2 在一次函数y=ax-6(a≠0)中,图象在y轴上的截距是 .
变式训练
若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过(1,7)且与y轴的截距是4,此函数表达式为 ( )
A.y=3x+4
B.y=3x-4
C.y=3x+3
D.y=3x-3
题型3 直线的位置关系
例3 在同一直角坐标系中,分别作出下列一次函数的图象:y=-3x,y=-3x+2,y=-3x-2.
(1)函数y=-3x+2的图象与y轴的交点坐标是 .
(2)函数y=-3x-2的图象与y轴的交点坐标是 .
(3)直线y=-3x+2,y=-3x-2分别可以看作由直线y=-3x如何平移得到的
变式训练
一次函数y=-x-6与y=-x+2之间是怎样的位置关系
参考答案
自主预习
预学思考
1.一般地,形如 y=kx+b ( k,b为常数,且 k≠0)的函数叫作一次函数.
2.对于正比例函数y=kx,当k>0 时,y=kx 的图象经过第一、三象限,且y随x的增大而增大;当k<0时,y=kx的图象经过第二、四象限,且y随x的增大而减小.
自学检测
1.C 2.C
合作探究
知识生成
知识点一
归纳总结
平行
对点训练
B
知识点二
归纳总结
1.(0,b) 截距
2.上 下
3.两点 一条直线 x轴 y轴 交点
对点训练
B
题型精讲
题型1
例1
A
题型2
例2
-6
变式训练
A
题型3
例3
解:(1)(0,2)
(2)(0,-2)
(3)图象如图所示.
直线y=-3x+2可以看作由直线y=-3x向上平移2个单位长度得到,直线y=-3x-2可以看作由直线y=-3x向下平移2个单位长度得到.
变式训练
解:平行.它们都是由y=-x平移而来的,都平行于y=-x.12.2 第4课时 待定系数法确定一次函数的表达式
素养目标
1.知道两个条件可确定一次函数表达式,一个条件可确定正比例函数表达式.
2.回顾二元一次方程组的概念,能用待定系数法求出一次函数的表达式.
重点
待定系数法.
【自主预习】
预学思考
1.请你写出一个一次函数并画出它的图象.
2.在一次函数图象上至少选取几个点,才能确定一次函数解析式 为什么
自学检测
在(1,2),(2,3),(0,1),(-2,3)四个点中,在直线y=2x+1上的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【合作探究】
知识生成
知识点 用待定系数法求一次函数解析式.
阅读课本第41页“例4”的内容,回答下面的问题.
用待定系数法求一次函数的表达式的一般步骤:
(1)先设出一次函数表达式 ;
(2)把已知对应x,y的值代入关于k,b的 ;(3)解这个方程组求出 ;(4)将k,b的值代回y=kx+b中替换k,b,就得到一次函数表达式.
归纳总结
设所求的一次函数关系式为y=kx+b,再根据已知条件列出关于k,b的 ,求得k,b的值,这种确定关系式中系数的方法,叫作 .
对点训练
1.在函数y=kx+b中,当x=-1时,y=0;当x=0时,y=-1.则该函数的表达式为 ( )
A.y=-x-1
B.y=-x+1
C.y=x-1
D.y=x+1
2.已知一次函数y=kx+b经过点(1,1),(2,4),则k与b的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
3.已知直线y=kx+b在y轴上的截距为3,且经过点(1,4),那么这条直线的表达式为 .
题型精讲
题型1 用待定系数法求一次函数解析式
例1 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(2,7),(-3,2),求该一次函数的表达式.
变式训练
已知y+4和x成正比例,且当x=3时,y=1,求这个函数的表达式.
题型2 利用一次函数图象求函数表达式
例2 已知直线l如图所示,求此直线l的表达式.
变式训练
已知一次函数的图象经过(2,2),且与x轴、y轴围成的三角形面积是1,求此函数的表达式.
参考答案
自主预习
预学思考
1.(答案不唯一)
2.至少要选两个点,理由:两点确定一条直线.
自学检测
A
合作探究
知识生成
知识点
(1)y=kx+b
(2)二元一次方程组
(3)k,b
归纳总结
方程组 待定系数法
对点训练
1.A
2.A
3.y=x+3
题型精讲
题型1
例1
解:由题意可得方程组解得
所以该一次函数的表达式为y=x+5.
变式训练
解:因为y+4和x成正比例,所以y+4=kx(k≠0),
因为x=3时,y=1,所以1+4=3k,k=,
所以y+4=x,所以y=x-4.
题型2
例2
解:由图象知,直线经过点(-2,0)和点(0,2),设直线的表达式是y=kx+b,把点的坐标代入得到解得因而直线l的表达式是y=x+2.
变式训练
解:设一次函数的表达式为y=kx+b,把点(2,2)代入表达式得2k+b=2 ①,
一次函数与x轴、y轴的交点坐标分别为,(0,b),又与x轴、y轴围成的三角形的面积是1,所以S=·|-|·|b|=1 ②,
由①②解得或
故所求的一次函数的表达式为y=x+1或y=2x-2.
