13.2 第4课时 三角形内角和定理的证明及推论
素养目标
1.进一步明确证明的基本步骤和几何语言.
2.经历探究“三角形内角和定理”的证明,知道作辅助线是证明中的重要方法.
3.掌握三角形内角和定理的两个推论.
重点
三角形内角和的两个推论.
【自主预习】
预学思考
1.证明的一般步骤是什么
2.三角形的内角和定理是什么 我们是怎样验证的
自学检测
如图,D是△ABC中BC边延长线上一点,DF⊥AB交AB于点F,交AC于点E.若∠A=46°,
∠D=50°,求∠ACB的度数.
【合作探究】
知识生成
知识点一 三角形内角和定理
阅读课本第79页“如果三角形中一个角是90°……”前面的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
1.为了证明的需要,在原图形上添加的线叫作 ,辅助线通常画成 .在书写证明过程时,首先应该写明 .
2.证明命题的步骤:
(1)审清题意,找出命题的 , ;
(2)根据题意画出 ,图形要具有一般性,不能画特殊图形;
(3)结合图形,用数学语言写出 ;
(4)寻求证明思路,写出证明过程,每一步都要有理有据;
(5)审查表达过程是否正确、完整.
对点训练
如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=58°,∠C=54°,求∠BAE和∠AEB的度数.
知识点二 直角三角形的内角
阅读课本第79页“如果三角形中一个角是90°……”及后面的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
1.由基本事实、定理直接得出的真命题叫作 .
2.推论1:直角三角形的两锐角 ;推论2:有两个角互余的三角形是 三角形.
对点训练
1.在直角三角形中,有一个锐角是另一个锐角的2倍,则这两个锐角的度数是 .
2.一个三角形的两个角分别为30°和60°,则这个三角形是 三角形.
题型精讲
题型 三角形内角和及推论的应用
例1 如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于 ( )
A.90°
B.135°
C.270°
D.315°
例2 如图,AB∥CD.求证:∠A=∠CED+∠D.
例3 (方法指导:设最小的角∠B为x°,其余各角用x表示出来,再列方程)在△ABC中,∠A-∠B=30°,∠C=4∠B.求∠A,∠B,∠C的度数.
变式训练
如图,在△ABC中,∠BAC=5∠ABC,∠C=2∠ABC,BD⊥AC,垂足为D.求证:∠CBD=45°.
参考答案
自主预习
预学思考
1.①理解题意:分清命题的条件(已知)、结论(求证);②根据前边的分析,写出已知、求证,并画出图;③分析因果关系,找出证明途径;④有条理地写出证明过程.
2.三角形的内角和等于180°;测量法、拼剪法、折叠法.
自学检测
解:∵DF⊥AB,
∴∠DFB=90°.
∵∠D=50°,
∴∠B=180°-∠DFB-∠D=40°.
∵∠A=46°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=94°.
合作探究
知识生成
知识点一
归纳总结
1.辅助线 虚线 辅助线的画法
2.(1)条件 结论
(2)图形
(3)“已知”“求证”
对点训练
解:∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC.
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-58°-54°=68°,∴∠BAE=34°,
∴∠AEB=180°-∠BAE-∠B=88°.
知识点二
归纳总结
1.推论
2.互余 直角
对点训练
1.30°和60°
2.直角
题型精讲
题型
例1
C
例2
证明:∵AB∥CD,
∴∠A+∠C=180°,
∴∠A=180°-∠C.
∵ ∠C+∠D+∠CED=180°,
∴(∠D+∠CED)=180°-∠C,
∴∠A=∠CED+∠D.
例3
解:设∠B=x°,则∠A=30°+x°,∠C=4x°.由三角形内角和定理,有30+x+x+4x=180,求得x=25,
∴∠A=55°,∠B=25°,∠C=100°.
变式训练
证明:设∠ABC=x°,则∠C=2x°,∠BAC=5x°,则x+2x+5x=180,解得x=22.5,
∴∠ABC=22.5°,∠C=45°.
∵BD⊥AC,∴∠D=90°,
∴∠CBD=180°-∠C-∠D=180°-45°-90°=45°.13.2 第2课时 证明的基本概念
素养目标
1.知道推理的原始出发点是基本定义和基本事实.
2.知道定理的基本概念.
3.理解演绎推理、证明的含义与基本写法.
重点
证明的基本概念.
【自主预习】
预学思考
如图,AB和CD相交于点O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求证:AC∥BD.
补全下面的证明过程,并在括号内填上适当的理由.
证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,( )
又∵∠COA=∠BOD,( )
∴∠C=∠D,( )
∴AC∥BD.( )
自学检测
下列推理正确的是 ( )
A.因为∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1+∠3=90°
B.因为∠1+∠3=90°,∠3+∠2=90°,所以∠1=∠2
C.因为∠1与∠2是对顶角,且∠2=∠3,所以∠1与∠3是对顶角
D.因为∠1与∠2是同位角,且∠2与∠3是同位角,所以∠1与∠3是同位角
【合作探究】
知识生成
知识点 基本事实与定理
阅读课本第76页的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
1.一个命题是从公理或其他真命题出发,用推理的方法证明为正确的,并被选作判断命题真假的依据,这样的真命题叫作 .
2.从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则,推导出结论的过程就是 ,这一方法称为 .
对点训练
下列命题中, 是定义, 是基本事实, 是定理.(填序号)
(1)形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数叫作一次函数;
(2)两点之间线段最短;
(3)三角形的两边之和大于第三边.
题型精讲
题型 推理依据
例1 如图,∵ ∠AOC=∠BOD,∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是 ( )
A.等量加等量和相等
B.等量减等量差相等
C.等量代换
D.整体大于部分
例2 (方法指导:观察所给的两个角的位置,寻找两角的关系)如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么.
(1)∠2=∠B;(2)∠1=∠D;(3)∠3+∠F=180°.
例3 如图,已知AB∥CD,AD∥BC,求证:∠B=∠D.
证明:因为AB∥CD(已知),
所以∠A+∠D= (两直线平行,同旁内角互补).
因为AD∥BC(已知),
所以∠A+ = (两直线平行,同旁内角互补),
所以∠B=∠D(同角的补角相等).
例4 如图,点C在BD上,CE平分∠ACD,∠DCE=∠A.求证: CE∥AB.
变式训练
如图,DE∥BC,FG∥CD,求证:∠CDE=∠BGF.
参考答案
自主预习
预学思考
已知 对顶角相等 等量代换 内错角相等,两直线平行
自学检测
B
合作探究
知识生成
知识点
归纳总结
1.定理
2.证明 演绎推理
对点训练
(1) (2) (3)
题型精讲
题型
例1
A
例2
解:(1)如果∠2=∠B,那么AB∥DE(同位角相等,两直线平行);
(2)如果∠1=∠D,那么AC∥DF(内错角相等,两直线平行);
(3)如果∠3+∠F=180°,那么AC∥DF(同旁内角互补,两直线平行).
例3
180° ∠B 180°
例4
证明:∵CE平分∠ACD(已知),∴∠ECA=∠ECD(角平分线的定义).
∵∠DCE=∠A,∴∠ECA=∠A(等量代换),∴CE∥AB(内错角相等,两直线平行).
变式训练
证明:∵DE∥BC(已知),
∴∠EDC=∠DCG(两直线平行,内错角相等).
又∵FG∥CD(已知),
∴∠DCG=∠FGB(两直线平行,同位角相等),
∴∠CDE=∠BGF(等量代换).13.2 第3课时 分析与证明
素养目标
1.能分清一个问题的已知、求证、因果关系.
2.会用分析法对一个证明题进行分析,找出证明途径.
3.能用几何语言准确地写出一个问题的证明过程,并符合书写规范.
重点
证明问题中的分析法.
【自主预习】
预学思考
如图,∠BAM=75°,∠BGE=75°,∠CHG=105°,可以推出AM∥EF,AB∥CD.请完成下列填空:
证明:∵∠BAM=75°,∠BGE=75°(已知),
∴∠BAM=∠BGE,( )
∴ ∥ .( )
又∵∠AGH=∠BGE,(对顶角相等)
∴∠AGH=75°,( )
∴∠AGH+∠CHG=75°+105°=180°,
∴ ∥ .( )
自学检测
如图,AB⊥BC,DC⊥BC,∠1=∠2.
求证:BE∥CF.
现有下列步骤:
①∵∠2=∠1,②∴∠ABC=∠BCD=90°,
③∴BE∥CF,④∵AB⊥BC,DC⊥BC,⑤∴∠EBC=∠FCB,
那么正确的证明顺序是 ( )
A.①②③④⑤
B.③④⑤②①
C.④②①⑤③
D.⑤②③①④
【合作探究】
知识生成
知识点 证明与推理
阅读课本第77页“例4”的内容,回答下列问题.
分析法就是从 入手,寻找解决方法,直到和 完全吻合.
归纳总结
分析法是分析结论与已知条件关系的一种方法,实际的证明步骤还是由因索果,从已知条件开始,一步一步推理出结论.
对点训练
如图,直线AB,CD被EF所截,ED平分∠BEF,∠1+∠BEF=180°,求证: ∠2=∠DEF.
证明:①∵∠1+∠BEF=180°(已知),
②∴AB∥CD(两直线平行,同旁内角互补),
③∴∠2=∠BED(内错角相等,两直线平行).
④∵ED平分∠BEF(已知),
⑤∴∠DEF=∠BED(角平分线定义),
⑥∴∠2=∠DEF.
仔细观察上面证明的书写过程,你发现哪些步骤填写的推理依据有错误,请指出,并将其改正.
题型精讲
题型 分析与证明
如图,已知∠A=∠F,∠C=∠D,求证:BD∥CE.
分析:要证BD∥CE,只需证得 即可,由于∠C=∠D,因此只要 ,这就需要有AC∥DF,由已知条件中的 ,可以得出AC∥DF,故此题可证.
证明:∵∠A=∠F(已知),
∴ ∥ (内错角相等,两直线平行),
∴∠C=∠CEF(两直线平行,内错角相等).
又∵ = (已知) ,
∴∠D=∠CEF(等量代换),
∴ ∥ (同位角相等,两直线平行).
变式训练
(方法指导:可借助遮挡部分图形的方法理顺线、角之间的关系)如图,已知点E,F分别在AB,AD的延长线上,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
(1)∠A=∠3.
(2)AF∥BC.
参考答案
自主预习
预学思考
等量代换 AM EF 同位角相等,两直线平行 等量代换 AB CD 同旁内角互补,两直线平行
自学检测
C
合作探究
知识生成
知识点
结论 已知条件
对点训练
解:②③有误,正确的理由分别是同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等.
题型精讲
题型
∠D=∠CEF或∠D+∠CED=180° ∠C=∠CEF或∠C+∠CED=180° ∠A=∠F AC DF ∠D
∠C BD CE
变式训练
证明:(1)∵∠1=∠2(已知),
∴AE∥DC(内错角相等,两直线平行),
∴∠A=∠3(两直线平行,同位角相等).
(2)∵∠3=∠4(已知),
∠A=∠3(已证),
∴∠A=∠4(等量代换),
∴AF∥BC(同位角相等,两直线平行).13.2 第1课时 命题
素养目标
1.知道命题与原命题、逆命题的基本概念,知道命题有真有假.
2.会区分命题的条件和结论,会把命题改写成“如果……,那么……”的形式.
3.会举反例判断命题的真、假.
重点
命题的概念与意义.
【自主预习】
预学思考
试比较以下两组语句有什么不同点
第一组:
1.内错角相等,两直线平行.
2.两直线平行,同位角相等.
第二组:
1.直线AB与CD垂直吗
2.过点B画直线l的平行线.
自学检测
下列语句中,是命题的是 ( )
A.内错角不一定相等
B.明天会下雪吗
C.过点C作直线AB的平行线
D.同角的补角相等
【合作探究】
知识生成
知识点一 定义和命题的相关概念
阅读课本第73页到第74页“叫作原命题的逆命题”的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
1.像这样,能明确界定某个对象含义的语句叫作 .
2.可以判断正确或不正确的陈述语句叫作 ,正确的命题叫 , 的命题叫假命题.
3.命题是由 和 两部分组成的.
4.将一个命题的条件与结论互换,便得到一个新命题,我们把这样的两个命题称为 ,其中一个叫作原命题,另一个叫作原命题的 .
对点训练
1.下列语句属于命题的是 ( )
A.画一个角等于已知角
B.a>b吗
C.同位角不一定相等
D.对顶角相等
2.把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……,那么……”的形式为:如果 ,那么 .
3.命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为 .
知识点二 判断命题的真假
阅读课本第74页“当一个命题是真命题……”至第75页“练习”前面的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
揭示概念:符合命题的条件,但不符合命题的 的例子,我们称之为反例.要说明一个命题是假命题,只要举出 个反例即可.
对点训练
1.下列命题属于真命题的是 ( )
A.如果a2=b2,那么a=b
B.同位角相等
C.如果a=b,那么a2=b2
D.若a>b,则ac2>bc2
2.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是 ( )
A.a=-2
B.a=-1
C.a=1
D.a=2
题型精讲
题型1 命题的判断
例1 下列语句中,是命题的在括号里打“√”,不是命题的在括号里打“×”.
(1)若a
(2)三角形的三条高交于一点. ( )
(3)在△ABC中,若AB>AC,则∠C>∠B吗 ( )
(4)两点之间线段最短. ( )
(5)解方程x+1=0. ( )
(6)1+2≠3. ( )
变式训练
下列不是命题的是 ( )
A.过一点作已知直线的垂线
B.两点确定一条直线
C.钝角大于90°
D.凡是直角都相等
题型2 命题的结构
例2 请指出下列命题的条件和结论,并将它改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)同角的余角相等.
(2)三角形的内角和等于180°.
(3)角平分线上的点到角的两边距离相等.
变式训练
命题“如果一个三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个内角是锐角”的逆命题是 ,原命题是 命题,逆命题
是 命题.
题型3 判断命题的真假
例3 判断下列命题是真命题,还是假命题;如果是假命题,举一个反例.
(1)若a2>b2,则a>b.
(2)同旁内角互补,两直线平行.
(3)一个角的余角小于这个角.
变式训练
命题:同位角相等.请写出它的逆命题,并说明逆命题是真命题还是假命题.
参考答案
自主预习
预学思考
第一组对陈述事件进行了判断,第二组没有进行判断.
自学检测
D
合作探究
知识生成
知识点一
归纳总结
1.定义
2.命题 真命题 错误
3.条件 结论
4.互逆命题 逆命题
对点训练
1.D
2.两条直线平行于同一条直线 这两条直线平行
3.如果a,b互为相反数,那么a+b=0
知识点二
归纳总结
结论 1
对点训练
1.C 2.A
题型精讲
题型1
例1
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
变式训练
A
题型2
例2
解:(1)条件是“两个角是同一个角的余角”,结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”.
(2)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”,结论是“这三个角的和等于180°”.这个命题可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角的和等于180°”.
(3)条件是“一个点在角平分线上”结论是“这个点到角的两边距离相等”.如果一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个角的两边距离相等.
变式训练
如果一个三角形有两个内角是锐角,那么这个三角形的另一个内角是钝角 真 假
题型3
例3
解:(1)假命题.
反例:如(-3)2>02,但是-3<0.
(2)真命题.
(3)假命题.反例:当一个角为30°时,它的余角等于60°,大于这个角.
变式训练
解:逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是同位角;它是假命题.13.2 第5课时 三角形的外角
素养目标
1.知道三角形外角的概念.
2.能证明与三角形外角相关的两个推论,知道三角形的外角和为360°.
3.能用三角形的外角性质解决相关问题.
重点
三角形外角的性质.
【自主预习】
预学思考
如图,在△ABC中,∠A=45°,∠ACB=80°,则∠B=55°. 如果我们将边BC延长至点D,则可以得到一个新角∠ACD,你能算出∠ACD的度数吗 观察并写出∠ACD与∠A,∠B的关系.
自学检测
如图,下列各角是△ABC的外角的是 ( )
A.∠4
B.∠3
C.∠2
D.∠1
【合作探究】
知识生成
知识点 三角形的外角
阅读课本第80页“在上面证明三角形内角和……”至第81页的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
1.三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫作三角形的 .
2.推论3: 三角形的一个外角等于和它 的两个内角的和.推论4:三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.
三角形的外角和为 .
对点训练
1.一个三角形有一外角是88°,这个三角形是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
2.如图,∠1的度数为 ( )
A.50°
B.100°
C.150°
D.30°
3.如图,AB∥CD,∠A=70°,∠C=40°,则∠E的度数为 ( )
A.30° B.40°
C.60° D.70°
题型精讲
题型 利用三角形外角的性质解决问题
例1 如图,AB∥CD,∠1=∠F,∠2=∠E,求∠EOF的度数.
例2 已知∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数.
变式训练
1.如图,AB∥CD,若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED等于多少度
2.如图,△ABC的三个内角平分线AD,BI,CI相交于点I,IH⊥BC于点H.求证:∠CIH>∠CAD.
3.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.
(1)如果∠B=35°,∠E=20°,求∠BAC的度数.
(2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.
参考答案
自主预习
预学思考
∠ACD=180°-∠ACB=100° ∠ACD=∠A+∠B
自学检测
B
合作探究
知识生成
知识点
归纳总结
1.外角
2.不相邻 大于 360°
对点训练
1.C
2.A 3.A
题型精讲
题型
1.解:∵AB∥CD(已知),
∴∠ABE=∠DCE,∠DCF=∠ABF(两直线平行,同位角相等),
∠DCE+∠ABF=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠ABE+∠DCF=180°.
∵∠ABE=∠1+∠F,∠DCF=∠2+∠E
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
又∵∠1=∠F,∠2=∠E(已知),
∴∠ABE=2∠F,∠DCF=2∠E,
∴∠ABE+∠DCF=2(∠F+∠E)=180°,
∴∠F+∠E=90°.
∵∠F+∠E+∠EOF=180°
(三角形内角和定理),
∴∠EOF=180°-(∠F+∠E)=180°-90°=90°.
2.解:(解法一)如图1,连接AD,并延长.
∵∠3=∠1+∠B,∠4=∠2+∠C,
∴∠BDC=∠3+∠4=(∠1+∠B)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.
∵∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°,∴∠BDC=110°.
(解法二)如图2,延长BD交AC于点E.
∵∠A=60°,∠B=20°,∠DEC=∠A+∠B,
∴∠DEC=60°+20°=80°,
又∵∠C=30°,∠BDC=∠DEC+∠C,∴∠BDC=80°+30°=110°.
(解法三)如图3,连接BC.
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∴(20°+∠DBC)+(30°+∠DCB)+60°=180°,
即∠DBC+∠DCB=70°.
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-70°=110°.
变式训练
1.解:如图,延长BE和CD交于点F,则∠BED=∠F+∠EDF(推论2).
∵∠CDE+∠EDF=180°(平角的定义),∠CDE=152°,
∴∠EDF=28°.
∵AB∥CD,
∴∠ABE+∠F=180°(两线平行,同旁内角互补).
又∵∠ABE=130°,故∠F=50°,
∴∠BED=28°+50°=78°.
2.证明:∵∠CIH+∠ACB=90°(直角三角形的两个锐角互余),
∴∠CIH=90°-∠ACB
=(∠BAC+∠ABC+∠ACB)-∠ACB
=∠BAC+∠ABC
=∠CAD+∠ABC>∠CAD.
3.解:(1)∵∠B=35°,∠E=20°,∴∠ECD=∠B+∠E=55°.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,
∴∠ACD=2∠ECD=110°,
∴∠BAC=∠ACD-∠B=75°.
(2)证明:∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.
∵∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E.
∵∠BAC=∠ACE+∠E,∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.