3.1 第2课时 二次根式的化简
素养目标
1.掌握积的算术平方根的性质,会根据这一性质化简二次根式.
2.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式.
3.经历知识产生的过程,培养学生合情推理的能力.
重点
会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.
【自主预习】
1.化简.
2.请你写出一个最简二次根式.
1.化简的结果是 ( )
A.2 B.-2
C.3 D.-3
2.下列二次根式是最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
【合作探究】
知识点一：积的算术平方根的性质
阅读课本本课时“思考”中的内容,回答下列问题.
1.用“>”“<”或“=”填空:
×, ×.
2.上面的计算结果有什么规律 请你再写出两例,并验算你的规律是否成立.
积的算术平方根:=·(其中a≥0,b≥0).
讨论:1.= (a≥0,b≥0,c≥0,…,n≥0).
2.在公式中的a,b,c,…,n只能表示单个的数字或字母吗
1.化简:(1);(2);
(3)(a>0,b>0);(4).
【温馨提示】在化简二次根式时,可以直接把根号下的每一个平方因式去掉平方号以后移到根号外,但移到根号外的数必须是非负数.
知识点二：最简二次根式
阅读课本本课时“例4、例5”的内容,回答下列问题.
1.“例4”的被开方数有什么特点 你还能再举一个这样的例子吗
2.化简二次根式,直接把被开方数写成一个 乘另一个因数,直接去掉平方号后移到根号外.
3.移到根号外的数可以是负数吗 =-3成立吗
4.=3可以作为最后的计算结果吗 为什么
【温馨提示】化简二次根式时,最后的结果要求被开方数中不含 的因数.
5.,的被开方数有什么特点 化简过程用到了什么知识
6.观察“例4、例5”的结果3,2,6,,中被开方数有什么特点
同时满足“(1)被开方数中不含 ;(2)被开方数中不含能开得尽方的 ”这两个条件的二次根式叫作 .
2.下列二次根式中,哪些是最简二次根式 哪些不是最简二次根式
(1);(2);(3);
(4);(5).
二次根式的化简
例 已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:2+-|a+b|.
变式训练 已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简:-|a+c|+-.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.=5.
2.例如.
自学检测
1.A 2.B
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.= =
2.规律是积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积.
例:=×,=×.规律成立.
讨论 1.···…·
2.不是;a,b,c,…,n可以表示数,也可以表示代数式.
对点训练
1.解:(1)==×=3;
(2)==6;
(3)=ab;
(4)==.
知识点二
1.被开方数18,20,72可以化成两个数的积,并且其中一个因数可以写成一个数的平方,即18=32×2,20=22×5,72=62×2,也就是说都含有一个平方因子.举例:45=32×5.
2.平方因数
3.不可以是负数,因为=|a|,所以从根号下直接移到根号外的数必须是非负数;=-3不成立.
4.不可以,因为的被开方数8还可以化为22×2,含有开得尽方的因数22,所以不能作为最后的计算结果.
【温馨提示】 开得尽方
5.,的被开方数都是分数;化简过程利用了分数的基本性质和=·(a≥0,b≥0).
6.有两个特点:(1)不含开得尽方的因数(或因式);
(2)不含分母.
归纳总结 分母 因数(或因式) 最简二次根式
对点训练
2.解:(3)(4)是最简二次根式;(1)(2)(5)不是最简二次根式.
题型精讲
例
解:观察数轴可知-1
1,
所以b-1>0,a+1>0,a+b>0,
所以2+-|a+b|
=2(b-1)+a+1-(a+b)
=2b-2+a+1-a-b
=b-1.
变式训练
解:由题意得c所以a+c<0,c-b<0,b-a>0,
所以原式=-a+a+c+b-c-(b-a)
=-a+a+c+b-c-b+a
=a.3.1 第1课时 二次根式
素养目标
1.说出二次根式的定义.
2.会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
3.会利用二次根式的非负性解题.
重点
二次根式的概念.
【自主预习】
1.类比算术平方根,请写出一个二次根式.
2.二次根式的被开方数有什么特点
1.下列各式一定是二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x>2 B.x≥2
C.x≤2 D.x≠2
【合作探究】
知识点一：二次根式的概念
1.阅读课本本课时“思考”中的内容,并回答下列问题:
(1)的平方根是 .
(2)正实数m+n的算术平方根是 .
(3)正方形的面积为S,则正方形的边长为 .
2.观察±,和,说一说它们有什么共同特点.
形如(a≥0)的式子叫作 ,根号下的数叫作 .
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二次根式必须具备以下特点:1.有二次根号;2.被开方数不能小于0.
1.下列式子中,不是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
知识点二：二次根式有意义的条件
阅读课本本课时“例1”之前的那段文字填空.
当a 0时,二次根式在实数范围内有意义.
二次根式在实数范围内有意义 a≥0.
2.若x<-1,则下列二次根式一定有意义的是 ( )
A. B.
C. D.
知识点三：()2的化简
阅读课本本课时“例2”及其之前一段的内容,填空.
(1)因为(a≥0)是a的算术平方根,所以()2= (a≥0).
(2)因为(ab)2=a2b2,所以(a)2= (b≥0).
(3)式子()2=a的运算顺序是先求a的 ,再求 .
(4)式子()2=a的被开方数是 ,取值范围是 , 运算结果是 .
当a是非负数时,即a≥0时,()2=a.
3.计算:()2= ;= ;
= ;()2= .
知识点四：的化简
阅读课本本课时“做一做”至“例3”的内容,回答下列问题.
(1)当a≥0时,= ;当a<0时,= .所以=|a|=
(2)式子=a的运算顺序是先求a的 ,再求 .
(3)式子=a的被开方数是 ,取值范围是 , 运算结果是 .
当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.即=|a|.
4.计算:= ;= ;= ;= .
二次根式的非负性
例 已知y=++2.
(1)求式子的值.
(2)求式子-的值.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.例如.
2.二次根式的被开方数为非负数.
自学检测
1.B
2.B
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.(1)±
(2)
(3)
2.都含有“”(二次根号).
归纳总结 二次根式 被开方数
对点训练
1.C
知识点二 ≥
对点训练
2.D
知识点三
(1)a
(2)a2b
(3)算术平方根 算术平方根的平方
(4)a a≥0 a
对点训练
3.1.21 3 π
知识点四
(1)a -a
(2)平方 a的平方的算术平方根
(3)a的平方 a取全体实数 a
对点训练
4.0 2 1.2
题型精讲
例
解:(1)由题意得x-8≥0,8-x≥0,解得x=8,则y=2,所以xy=16.
因为16的算术平方根是4,所以==4.
(2)把x=8和y=2代入原式,得-=-=1.