3.3 第2课时 二次根式的混合运算
素养目标
1.了解二次根式混合运算的运算法则.
2.会根据二次根式混合运算的运算法则进行二次根式的混合运算.
重点
二次根式的混合运算.
【自主预习】
1.写出平方差公式和完全平方公式.
2.如何将进行分母有理化
1.在算式“(+1)□(-1)”的“□”中填上一种运算符号,使其运算结果为有理数,则“□”可能为 ( )
A.+ B.÷
C.+或× D.-或×
2.计算×-的结果是 .
【合作探究】
知识点一：二次根式的混合运算
阅读课本本课时“做一做”至“例3”的内容,回答下列问题.
1.“做一做”中的第(1)题类似于整式中的 乘 ,其中用到了 律;第(2)题类似于整式运算中的 乘 ,利用“法则”展开后,根据实数的运算顺序进行运算.
2.“例3”中的第(1)题应用了 ;第(2)题应用了 .
二次根式的混合运算与整式的混合运算一致,运算顺序是先 、再 、最后 ,有括号的先算 里面的.
1.计算:(1)×;
(2)(+)(-).
【温馨提示】对于二次根式的混合运算,实数中的运算律(分配律、结合律、交换律)、运算法则及所有的乘法公式仍然成立,并且整式和分式的运算法则仍然适用.
知识点二：二次根式的分母有理化
阅读课本本课时“例4、例5”的内容,回答下列问题.
1.“例4”将除法写成 的形式,再根据分数加法逆向运用得到和的形式,再进行约分.
2.“例5”中的第(2)题的分母2+与2-的关系是 ,因为(2+)×(2-)=22-()2=1,这里利用了 公式.
(1)互为有理化因式:两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含根式,那么这两个代数式叫作互为有理化因式.
(2)分母有理化的步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式;②将分子、分母都乘分母的有理化因式,使分母中不含根式;③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
2.计算:(1)(-2)÷;
(2)+.
二次根式的化简、求值
例 已知x=2-,y=2+,求x2+y2-xy的值.
变式训练 已知x=-2,y=+2,求下列式子的值:
(1).
(2)x2+xy+y2.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.
2.分子、分母同时乘+.
自学检测
1.D 2.0
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.多项式 单项式 分配 多项式 多项式
2.平方差公式 完全平方公式
归纳总结 乘方 乘除 加减 括号
对点训练
1.解:(1)原式=×=2.
(2)原式=()2-()2=2.
知识点二
1.分数
2.互为倒数 平方差
对点训练
2.解:(1)原式==.
(2)原式=+
=(-)+(+)=2.
题型精讲
例
解:x2+y2-xy=x2-2xy+y2+xy=(x-y)2+xy
=(2--2-)2+(2-)(2+)=12+1=13.
变式训练
解:(1)==
=9-4.
(2)x2+xy+y2=(x+y)2-xy
=(-2++2)2-(-2)(+2)
=(2)2-(5-4)=20-1=19.3.3 第1课时 二次根式的加、减法
素养目标
1.知道同类二次根式,会辨别两个根式是不是同类二次根式.
2.会合并同类二次根式,并会进行二次根式的加、减法运算.
重点
合并同类二次根式,会利用它进行简单的二次根式的加、减法运算.
【自主预习】
1.实数加法的运算律是否适用于二次根式的加法运算
2.怎样进行二次根式的加减运算
1.下列二次根式中,能与合并的是 ( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是 ( )
A.-= B.+=
C.4-4=1 D.3+2=5
【合作探究】
知识点一：同类二次根式
阅读课本本课时“做一做”中的内容,回答下列问题.
下列两组二次根式,在每一组中,它们的被开方数有什么特点
(1),3,-,-7;
(2)2,,-,-5.
像和-,2和-5,化为最简二次根式后它们的被开方数相同,这样的两个二次根式叫作同类二次根式.
思考:和是同类二次根式吗
【温馨提示】几个二次根式是不是同类二次根式,只与被开方数及根指数有关,而与根号外的因式无关.此外,被开方数不同的二次根式也有可能是同类二次根式.
·学习小助手·
同类二次根式的辨别方法:1.将二次根式化为最简二次根式;2.观察被开方数,相同的是同类二次根式,否则不是.
1.下列二次根式中,不能与合并的是 ( )
A. B. C. D.-
知识点二：二次根式的加、减法
认真阅读课本本课时“思考”至“例2”的内容,解决下列问题.
(1)与是最简二次根式吗 是同类二次根式吗
(2),,,,这些二次根式是最简二次根式吗 如果不是,请你化为最简二次根式.
(3)怎样求与的和
(4)类比合并同类项法则,说一说如何合并同类二次根式.
(5)与能合并吗 什么样的二次根式不能合并
在进行二次根式的加减运算时,一般按下列三个步骤进行:(1)先 ,将所有二次根式化为最简二次根式;(2)找出其中的 二次根式;(3)合并同类二次根式.
·学习小助手·
“合并同类二次根式”与“合并同类项”类似.
2.计算:(1)7-2+3;
(2)8+-.
二次根式加减的混合运算
例 计算:
(1)+2-;
(2)(3+2)-(-2).
变式训练 计算:8-.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.适用.
2.先把每个二次根式化成最简二次根式,再对被开方数相同的二次根式进行运算.
自学检测
1.D 2.A
【合作探究】
知识生成
知识点一
在每一组中的被开方数相同,并且都是最简二次根式,第(1)组都是2,第(2)组都是m.
思考:虽然它们的被开方数不同,但==2,
所以和是同类二次根式.
对点训练
1.C
知识点二
(1)不是最简二次根式,但可以化简,=2,=3,所以与是同类二次根式.
(2)都不是最简二次根式.
==3;==5;==3;==9;==4.
(3)先将与化为最简二次根式,再逆用分配律将两个二次根式合并,即+=2+3=(2+3)=5.
(4)把同类二次根式的系数相加减,所得的数作为结果的系数,根指数和被开方数不变.
(5)不能合并;不是同类二次根式都不能合并.
归纳总结
化简 同类
对点训练
2.解:(1)原式=(7-2+3)=8.
(2)原式=8+3-=(8+3-1)=10.
题型精讲
例
解:(1)原式=+2×-
=+-
=+.
(2)原式=3+2-+2
=3+4-5+6
=9-.
变式训练
解:原式=8-+=8-+3=10.
