第3章 二次根式 复习课 导学案（含答案） 2025-2026学年数学湘教版（2024）八年级上册

第3章 二次根式 复习课
复习目标
1.会解释二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义.
2.区别二次根式=|a|及()2=a(a≥0).
3.归纳积的算术平方根的性质,并能应用于二次根式的化简.
4.阐明二次根式的加、减、乘、除法的法则,并会应用法则进行四则运算.
5.会进行二次根式的混合运算.
重点
1.二次根式的概念、性质.
2.运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行运算.
【体系构建】
请你画出本章的知识结构图,然后与下面的图形对比.
【专题复习】
专题一：二次根式的性质
例1　若y=++5,求yx的值.
变式训练　
1.下列运算一定正确的是 (　　)
A.=±7 B.(-)2=-7
C.-=7 D.()2=7
2.若式子是最简二次根式,则x的值可能为 (　　)
A.0 B.-4 C.2 D.4
3.已知14.若|a-|+(b-)2+=0,求(a2-b2)c的值.
专题二：二次根式的运算
例2　计算:(1)-|-4|;
(2)(-)2-(-2)(+2).
变式训练　
1.计算:-×=　　　　.
2.已知最简根式和是同类根式,求m,n的值.
3.计算:(1)-++;
(2)×.
专题三：二次根式的化简、求值
例3　已知a=+2,b=-2.
(1)求a2+4ab+b2的值.
(2)求+的值.
变式训练　
1.若x=-1,则x2+2x的值为　　　　.
2.已知x=,y=,求代数式x2+2xy+y2的值.
3.已知x=2-,y=2+.
(1)求x2y-xy2的值.
(2)求x2+xy+y2的值.
专题四：二次根式的应用
例4　某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地,长BC为米,宽AB为米,现要在矩形绿地中修建两个形状、大小相同的长方形花坛(图中阴影部分),每个长方形花坛的长为(+1)米,宽为(-1)米.
(1)求长方形ABCD的周长.(结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为6元/米2的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元
变式训练　
1.海伦–秦九韶公式告诉我们:三角形的三边长分别为a,b,c,记p=(a+b+c),那么三角形的面积可以表示为S=.现已知一个三角形的三边长分别为7,8,9,那么这个三角形的面积为 (　　)
A.12 B.12
C.12 D.12
2.交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度,所用的经验公式是v=16,其中v表示车速(单位:km/h),d表示刹车后车轮滑过的距离(单位:m),f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中,测得d=7.5 m,f=1.2,则肇事汽车的车速大约是多少
3.如图,这是学校的一块正方形绿地,其边长为(+2)m,现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛,每个花坛的长为(+1)m,宽为(-1)m,并将花坛以外的地方全部修建成通道,且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖.若要铺完整个通道,则购买地砖大约需要多少元 (参考数据:≈1.41)
参考答案
【体系构建】
　被开方数　|a|　
【专题复习】
专题一
例1
解:由题意可知所以x=2,将x=2代入y=++5中,得y=5,所以yx=52=25.
变式训练
1.D　2.C　3.1
4.解:因为|a-|+(b-)2+=0,|a-|≥0,(b-)2≥0,≥0,
所以|a-|=(b-)2==0,
所以a-=0,b-=0,c-2 025=0,
所以a=,b=,c=2 025,
所以(a2-b2)c=[()2-()2]2 025=(2-3)2 025=(-1)2 025=-1.
专题二
例2
解:(1)原式=+-(4-2)=3+1-4+2=2.
(2)原式=(2-2+3)-(5-4)=5-2-1=4-2.
变式训练
1.
2.解:因为最简根式和是同类根式,所以m-n+1=2,2m-1=n+2,解得m=2,n=1.
3.解:(1)原式=2-++|1-|
=2-+(+2)+(-1)
=+1.
(2)原式=2×
=2×(4-+2)
=6+4.
专题三
例3
解:因为a=+2,b=-2,,所以a+b=2,ab=(+2)(-2)=1.
(1)a2+4ab+b2=(a+b)2+2ab=(2)2+2×1=22.
(2)+=+===18.
变式训练
1.2
2.解:因为x===,
y====-,
所以x+y=-=,
所以x2+2xy+y2=(x+y)2==.
3.解:(1)因为x=2-,y=2+,
所以x-y=2--2-=-2,xy=(2-)×(2+)=4-3=1,
所以x2y-xy2=xy(x-y)=1×(-2)=-2.
(2)x2+xy+y2=x2-2xy+y2+3xy
=(x-y)2+3xy=(-2)2+3×1=12+3=15.
专题四
例4
解:(1)(+)×2=(8+5)×2
=13×2=26(米).
答:长方形ABCD的周长为26米.
(2)×-2×(+1)×(-1)
=8×5-2×(13-1)
=80-24=56(平方米),
6×56=336(元).
答:购买地砖需要花费336元.
变式训练
1.D
2.解:将d=7.5 m,f=1.2代入v=16,
得v=16=16×=16×3=48(km/h).
答:肇事汽车的车速大约是48 km/h.
3.解:通道的面积为(+2)2-4(+1)(-1)
=50+4+4-4×(6-1)=34+20≈34+20×1.41=62.2(m2),
62.2×8=497.6(元).
答:购买地砖大约需要497.6元.