苏教版选必一第二章:圆与方程章末检测卷 2
第I卷(选择题)
一、单选题
1.已知圆和圆都和轴正半轴相切,且圆心都在直线上,半径之差为,则( )
A. B. C. D.
2.过点的圆与直线相切于点,则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知点,,点是圆上任意一点,则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.过直线上一动点作圆的两条切线,切点分别为,当点运动时,直线经过定点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知圆,圆,其中,,若两圆外切,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知点在直线上运动,是圆上的动点,是圆上的动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知圆的方程为,为圆上任意一点,则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
10.已知直线:是圆:的对称轴,过点作圆的一条切线,切点为,则为( )
A. B. C. D.
11.在平面直角坐标系中,,,若圆:上存在点,使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知圆:,若圆心在圆:上且半径为的圆与圆相交于,两点,则最大时,( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共5小题,共30分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
13.定义:表示点到曲线上任意一点的距离的最小值已知是圆上的动点,圆,则的取值可能是( )
A. B. C. D.
14.已知圆与圆,下列选项正确的有( )
A. 若,则两圆外切
B. 若,则直线为两圆的一条公切线
C. 若,则两圆公共弦所在直线的方程为
D. 若,则两圆公共弦的长度为
15.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美在平面直角坐标系中,曲线就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,下列说法正确的有( )
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 曲线上的任意两点间的距离不超过
D. 若是曲线上任意一点,的最小值是
16.已知圆从点观察点,要使视线不被圆挡住,则的取值范围可以是 ( )
A. B. C. D.
17.已知直线:和圆:,则下列选项正确的是( )
A. 直线恒过点
B. 圆与圆:有三条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 当时,圆上存在无数对关于直线对称的点
第II卷(非选择题)
三、填空题
18.若斜率为的直线与轴交于点,与圆相切于点,则 .
19.已知,方程表示圆,则圆心坐标为 ,半径为 .
20.设点,,若在圆:上存在点,使得,则的取值范围是_____________.
四、解答题
21.已知关于,的方程:.
当为何值时,方程表示圆.
若圆与直线:相交于,两点,且,求的值.
22.在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知圆的圆心坐标为,其中且,轴、轴被圆截得的弦分别为,.
求证:的面积为定值,并求出这个定值;
设直线与圆交于,两点,若,求圆的标准方程.
23.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全,海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点,在平台的正东方向处设立观测点,规定经过、、三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示:以为坐标原点,的正东方向为轴正方向,建立平面直角坐标系.
试写出,的坐标,并求两个观测点,之间的距离;
某日经观测发现,在该平台正南处,有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶,如果航向不变,该轮船是否会进入安全预警区?如果不进入,请说明理由;如果进入,则它在安全警示区内会行驶多长时间?
24.如图,已知圆,为直线上一动点,为坐标原点,过点作圆的两条切线,切点分别为,.
证明直线过定点,并求出定点的坐标
求线段中点的轨迹方程
若两条切线,与轴分别交于点,,求的最小值.
25.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论中给出圆的另一种定义:平面内,到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆,我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的倍.
求点的轨迹的方程;
过点作直线,交轨迹于,两点,点,不在轴上.
过点作与直线垂直的直线,交轨迹于,两点,记四边形的面积为,求的最大值;
设轨迹与轴的正半轴的交点为,直线,相交于点,试证明点在定直线上,求出该直线方程.
1.
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13.
14.
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17.
18.
19.
20.
21.解:方程可化为:,
显然,当时,
即时,方程表示圆;
圆的方程化为,圆心,半径,
则圆心到直线:的距离为,
,有 ,
,解得.
22.解:证明:因为轴、轴被圆截得的弦分别为、,
所以经过,又为中点,所以,
所以,所以的面积为定值;
因为直线与圆交于,两点,,
所以的中垂线经过,且过,所以的方程,
所以,所以当时,有圆心,半径,
所以圆心到直线的距离为,
所以直线与圆交于点,两点,故成立;
当时,有圆心,半径,所以圆心到直线的距离为,
所以直线与圆不相交,故舍去,
综上所述,圆的方程为.
23.解:由题意可知点,,
;
由知,,,
设过,,三点的圆的方程为,
,
,
所以圆的方程为:,
圆心,半径为;
轮船航线所在的直线方程为:;
圆心到直线的距离,
故轮船会进入安全预警区域;
进入预警区的时长为小时,
即它在安全警示区内会行驶小时.
24.证明:由题,圆的圆心坐标,半径为,所以,,,故以为圆心,为半径的圆的方程为,显然线段为圆和圆的公共弦,则直线的方程为,即,所以,所以直线过定点
解:由知,直线过定点,的中点为直线与直线的交点,设的中点为,直线过的定点为,易知始终垂直于,所以点的轨迹是以为直径的圆,,,点的轨迹方程为
解:设过点的圆的切线方程为,即,故到直线的距离,即,设,的斜率分别为,,则,,把代入,得,则,故当时,取得最小值为.
25.解:设点,由题意可得,
即,
化简可得,
所以点的轨迹的方程为.
由题易知直线的斜率存在,设直线的方程为,即,
则圆心到直线的距离,
所以,
若,则直线的斜率不存在,
易得,,则.,
若,则直线的方程为,即,
则圆心到直线的距离,
所以,
则.
,
当且仅当,即时,取等号,
综上所述,因为,所以的最大值为.
证明:由题,,设,,
联立
消得,
,
则,,
所以直线的方程为,
直线的方程为,
联立解得,
则
,
所以,
所以点在定直线上.
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