2025年高中数学人教（A）版必修一（1.4.1充分条件与必要条件）同步训练（含答案）

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2025年高中数学人教（A）版必修一（1.4.1 充分条件与必要条件）同步训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)已知条件p：（x-m）（x-m-3）＞0；条件q：-2x2+7x-6＞0，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
2．(3分)设x∈R，则“x＞”是“2x2+x-1＞0”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3．(3分)已知命题p：x∈N，q：x∈Q．则p是q的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．(3分)已知实数x,y,则“x＞y”是“”的（　　）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5．(3分)已知函数f（x）是区间（a,b）上的可导函数，且导函数为f'（x），则“对任意的x∈（a,b），f'（x）＞0”是“f（x）在（a,b）上为增函数”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6．(3分)已知：命题，则┐P是┐Q的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
7．(3分)已知函数f(x)在区间[﹣2，2]上有定义，则“f(x)在区间[﹣2，2]上有零点”是“f(﹣2) f(2)＜0”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8．(3分)“k=8”是“圆O1：（x+1）2+（y-1）2=2与圆O2：（x-2）2+（y+2）2=k相切”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9．(3分)已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且恒有f[f（x）-lnx]=1，则“a＞1”是“f（x）≤ax-1恒成立”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
10．(3分)已知直线y=kx+3与圆x2+（y+3）2=16相交于A，B两点，则p：“”是q：“”的（　　）
A. 充分必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
11．(3分)已知数列{an}满足a1a2≠0，若，则“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的（　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件
12．(3分)定义A-B={x|x∈A且x B}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足（A-B）∪（B-A） C，则A （C-B）∪（B-C）是A∩B∩C= 的（　　）
A. 充要条件
B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 既非充分也非必要条件
13．(3分)已知函数f（x）=-x2+bx+c,则“f（f（））＞0”是“方程f（x）=0有两个不同实数解且方程f（f（x））=0恰有两个不同实数解”的（　　）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
14．(3分)已知f（x）=ax-bx2，b＞1，则条件p：“对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1”是条件q：“b-1≤a≤2“的（　　）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
15．(3分)已知椭圆C：=1，直线l：x=4与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“BC∥x轴”是“直线AC过线段EF中点”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)“”的充分条件有（　　）
A. 0＜x＜2 B. -1＜x＜2 C. 0≤x＜2 D. 0≤x≤2
17．(3分)若不等式x-2＜a成立的充分条件是0＜x＜3，则实数a的取值范围可以是（　　）
A. a≥2 B. a≥1 C. 3＜a≤5 D. a≤2
18．(3分)设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（　　）
A. 当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B. 当m α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C. 当m α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件
D. 当m α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
19．(3分)下列选项中，关于x的不等式ax2+（a-1）x-2＞0有实数解的充分条件有（　　）
A. a≥0 B.
C. 或a≥0 D.
20．(3分)已知函数f（x）=1-，则下列选项正确的是（　　）
A. 函数f（x）的定义域为R
B. 函数f（x）在[-1，2）上的值域为[-，]
C. x1，x2∈R，且x1≠x2，恒有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0
D. x∈R，恒有f（2x-1）＜f（ax2-2x）的一个充分不必要条件为a＞5
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？_____．
（1）若α=89°，则α是锐角；
（2）若内错角相等，则两直线平行；
（3）若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；
（4）已知集合A={3，m}，B={1，3，5}，若m=1，则A B．
22．(3分)如果不等式|x-a|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜2，则实数a的取值范围是_____．
23．(3分)若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=-1，设P={x||f（x+t）-1|＜2}，Q={x|f（x）＜-1}，若“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，则实数t的取值范围是_____．
24．(3分)若p：-a＜x＜a+1是q：-2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_____．
25．(3分)设命题p：点（2x+3-x2，x-2）在第四象限；命题q：x2-（3a+6）x+2a2+6a＜0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_____．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)设命题p：实数x满足x2-3ax+2a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2+7x+6＜0，
（1）当a=-1时，若p∧q为真，求x范围；
（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
27．(15分)已知P={x|1≤x≤2}，S={x|1-m≤x≤1+m}．
（1）是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
28．(15分)已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，集合B＝{x|m﹣3＜x＜3m}．
（1）当m＝2时，求（ RA）∩B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求m的取值范围．
29．(15分)已知条件p：x2-3x-4≤0；条件q：x2-6x+9-m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是什么？
30．(15分)已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x,y∈M，则x-y∈M；
③若x∈M且x≠0，则M．
（1）判断M是否正确，说明理由；
（2）证明：“x∈Z”是“x∈M”的充分条件；
（3）证明：若x,y∈M，则xy∈M．
试卷答案
1．【答案】B
【解析】分别求解一元二次不等式化简p与q,再由已知转化为两不等式解集的关系，进一步转化为关于m的不等式求解．
解：由（x-m）（x-m-3）＞0，得x＜m或x＞m+3，
即p：x＜m或x＞m+3；
由-2x2+7x-6＞0，得＜x＜2．
∵q是p的充分不必要条件，∴q p,即2≤m或≥m+3，
即m≤或m≥2．
∴实数m的取值范围是（-∞，-]∪[2，+∞）．
故选：B．
2．【答案】A
【解析】求解一元二次不等式结合充分必要条件的判定方法得答案．
解：由2x2+x-1＞0，得（2x-1）（x+1）＞0，
解得x＜-1或x．
∴“x＞”是“2x2+x-1＞0”的充分不必要条件．
故选：A．
3．【答案】A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：若x∈N，则x∈Q成立，反之若x∈Q，则x∈N不一定成立，比如x=-3，
即p是q的充分不必要条件，
故选：A．
4．【答案】A
【解析】利用不等式的性质以及充分条件与必要条件的定义进行分析判断即可．
解：若x＞y,不妨取x=-1，y=-2，则不能推出，
若，则有x-1＞y-1≥0，即x＞y≥1，
故“x＞y”是“”的必要不充分条件．
故选：A．
5．【答案】A
【解析】根据f（x）在（a,b）上为增函数时，只要f'（x）≥0即可，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结论．
解：对任意的x∈（a,b），f'（x）＞0，可以得到f（x）在（a,b）上为增函数，
但f（x）在（a,b）上为增函数时，只要f'（x）≥0即可，
如f（x）=x3在R上单调递增，但f′（0）=0，
所以“对任意的x∈（a,b），f'（x）＞0”是“f（x）在（a,b）上为增函数”的充分不必要条件．
故选：A．
6．【答案】C
7．【答案】D
【解析】利用特例法结合充要条件的定义判断即可得出结论．
函数f(x)在区间[﹣2，2]上有定义，
若函数在区间[﹣2，2]上有零点，不妨设f(x)＝x ，则f(﹣2) f(2)＞0，
即函数在区间[﹣2，2]上有零点，得不到f(﹣2) f(2)＜0；
另一方面，若f(﹣2) f(2)＜0，不妨取f(x)，
则函数在[﹣2，2]上无零点，即f(﹣2) f(2)＜0得不到函数在区间[﹣2，2]上有零点，
故“f(x)在区间[﹣2，2]上有零点”是“f(﹣2) f(2)＜0”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
8．【答案】A
9．【答案】B
【解析】利用函数的单调性和已知条件求得f（x）的解析式，同时运用分离常数法求得a的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可．
解：因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，恒有f[f（x）-lnx]=1，
所以f（x）-lnx为定值，
设f（x）-lnx=t,则f（t）=1，
所以f（x）=lnx+t,∴lnt+t=1，∴t=1．
所以f（x）=lnx+1．
因为 x＞0，f（x）≤ax-1，即lnx+1≤ax-1，a≥对 x＞0恒成立，
令h（x）=，则h'（x）==，
令h'（x）=0，得x=，
令h'（x）＞0，得0＜x＜
令h'（x）＜0，得x＞．
∴h（x）在x=处取得最大值，
∴h（）==e,
∴a≥e.
∵a＞1是a≥e的必要不充分条件，
故选：B．
10．【答案】C
11．【答案】B
12．【答案】A
【解析】作出示意图，由于（A-B）∪（B-A） C，可知两个阴影部分均为 ，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可．
解：如图由于（A-B）∪（B-A） C，可知两个阴影部分均为 ，
于是A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，B=Ⅲ∪Ⅳ∪Ⅴ，C=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅴ，
（1）若A∩B∩C= ，则Ⅴ= ，
所以A=Ⅰ∪Ⅳ，
而（C-B）∪（B-C）=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，
所以A （C-B）∪（B-C）成立，
（2）反之，若A （C-B）∪（B-C），
则由于（C-B）∪（B-C）=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，
所以（Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ） （Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ），
所以Ⅴ= ，
所以A∩B∩C= ，
故A （C-B）∪（B-C）是A∩B∩C= 的充要条件，
故选：A．
13．【答案】A
14．【答案】A
【解析】根据不等式的性质结合二次函数的图象，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
证明：若对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1 f（x）≥-1．
据此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，
∴a≥b-1．
对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1 f（x）≤1，
∵b＞1，可得0＜＜1，可推出f（）≤1，即a -1≤1，
∴a≤2，
∴b-1≤a≤2．即充分性成立，
若b-1≤a≤2，
∵b＞1，a≥b-1，对任意x∈[0，1]，
∴ax-bx2≥b（x-x2）-x≥-x≥-1，即ax-bx2≥-1，
∵b＞1，a≤2对任意x∈[0，1]，
∴2-bx2≤-b（x-）2+1≤1，即ax-bx2≤1，
∴-1≤f（x）≤1．即对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1成立，即必要性成立，
即条件p是条件q成立的充要条件，
故选：A．
15．【答案】A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合直线和椭圆的位置关系进行判断即可．
解：设直线AC与x轴的交点为点N，过点A作AD⊥l,点D是垂足．
因为点F是椭圆的右焦点，直线l是右准线，BC∥x轴，即BC⊥l,
根据椭圆几何性质，得==e（e是椭圆的离心率）．
∵AD∥FE∥BC．
∴=，=，
即EN==e ==FN．
∴N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N，即充分性成立，
当直线AB斜率为0时，则BC与x轴重合，此时BC∥x轴不成立，
则“BC∥x轴”是“直线AC过线段EF中点”的充分不必要条件，
故选：A．
16．【答案】AC
【解析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．
解：由，得，解得：0≤x＜2，
故”的充分条件有（0，2），[0，2），
故选：AC．
17．【答案】ABC
18．【答案】ABD
19．【答案】ABD
20．【答案】ACD
【解析】由已知结合指数函数的性质检验选项A；
结合指数函数及反比例函数的性质检验选项B；
结合函数单调性的定义检验选项C；
结合函数单调性的定义进行转化，然后结合二次不等式恒成立及二次函数的性质可求．
解：由题意可得2x+1≠0恒成立，即函数定义域为R，A正确；
当-1≤x＜2时，，
所以≤1+2x＜5，
所以，
所以-≤f（x）＜，B错误；
因为f（x）=1-在R上单调递增，
由单调定义可知，（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，C正确；
若f（2x-1）＜f（ax2-2x）恒成立，则2x-1＜ax2-2x恒成立，
故ax2-4x+1＞0恒成立，
当a=0时，-4x+1＞0不恒成立，
当a≠0时，，解得a＞4，
故 x∈R，恒有f（2x-1）＜f（ax2-2x）的充要条件为a＞4，
所以 x∈R，恒有f（2x-1）＜f（ax2-2x）的一个充分不必要条件为a＞5，D正确．
故选：ACD．
21．【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】根据充分必要条件的定义判断即可．
解：（1）若α=89°，则α是锐角，正确，则q是p的必要条件，
（2）若内错角相等，则两直线平行，正确，q是p的必要条件，
（3）若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数，正确，q是p的必要条件，
（4）已知集合A={3，m}，B={1，3，5}，若m=1，则A={1，3} B，正确，q是p的必要条件，
故答案为：（1）（2）（3）（4）．
22．【答案】[1，]
【解析】由题意，解不等式|x-a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组 则有，（等号不同时成立），解可得答案．
解：根据题意，不等式|x-a|＜1的解集是a-1＜x＜a+1，设此命题为p,
命题＜x＜2，为q,
则p的充分不必要条件是q,
即q表示的集合是p表示集合的真子集；
则有，（等号不同时成立），
解可得1≤a，
故答案为：[1，]．
23．【答案】t≤-3
【解析】先化简集合P，Q，然后利用“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，确定实数t的取值范围．
解：由|f（x+t）-1|＜2得-2＜f（x+t）-1＜2，即-1＜f（x+t）＜3，
因为函数f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=-1，
所以不等式等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0．所以-t＜x＜3-t.
即P={x|-t＜x＜3-t}．
由f（x）＜-1得f（x）＜f（3），所以x＞3，即Q={x|x＞3}，
所以要使“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，
则-t≥3，即t≤-3．
故答案为：t≤-3．
24．【答案】（2，+∞）
【解析】根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系，建立不等式进行求解即可．
解：若p是q的必要不充分条件，
则（-2，3） （-a,a+1），
则，即，即a≥2，
当a=2时，（-2，3）=（-a,a+1）不成立，
故a＞2，
即实数a的取值范围是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞），
25．【答案】-2≤a≤-1
【解析】由命题p：点（2x+3-x2，x-2）在第四象限可求得命题p：-1＜x＜2；命题q：x2-（3a+6）x+2a2+6a＜0，可求得：（x-a）（x-（2a+6））＜0．￢p是￢q的必要不充分条件 q是p的必要不充分条件，利用二者的关系可求得实数a的取值范围．
解：∵￢p是￢q的必要不充分条件 q是p的必要不充分条件，即p q,反之不成立．
∵点（2x+3-x2，x-2）在第四象限，
∴，解得-1＜x＜2，即命题p对应的集合为M={x|-1＜x＜2}；
∵命题q：x2-（3a+6）x+2a2+6a＜0，即（x-a）（x-（2a+6））＜0，设其解集为N，
①当2a+6＞a,即a＞-6时，N={x|a＜x＜2a+6}，由题意知，M N．
∴解得-2≤a≤-1．
②当2a+6＜a,即a＜-6时，N={x|2a+6＜x＜a}，由题意知，M N．
∴解得a∈ ．
③当2a+6=a,即a=-6时，N= ，不满足题意；
综上所述，实数a的取值范围是-2≤a≤-1．
故答案为：-2≤a≤-1．
26．【解析】（1）当a=-1时，若p∧q为真，则p,q同时为真命题，进行求解即可．
（2）根据￢p是￢q的必要不充分条件，转化为是p的必要不充分条件进行求解即可．
解：（1）当a=-1时，p真，则x2+3x+2＜0，解得-2＜x＜-1；
q真，则解得-6＜x＜-1．
∵p∧q为真，则p真且q真，
故x范围为（-2，-1）．
（2）￢p是￢q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，
∵p真，有2a＜x＜a,
∴，故-3≤a≤-1．
27．【解析】（1）要使x∈P是x∈S的充分条件，需使P S，可得，解得m范围即可得出结论．
（2）要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S P．当S= 时，1-m＞1+m,解得m范围；当S≠ 时，1-m≤1+m,解得m范围，要使S P，则有，解得m范围，进而得出结论．
解：（1）要使x∈P是x∈S的充分条件，需使P S，
即，解得m≥1，
所以存在实数m≥1，使x∈P是x∈S的充分条件．
（2）要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S P．
当S= 时，1-m＞1+m,解得m＜0，满足题意；
当S≠ 时，1-m≤1+m,解得m≥0，
要使S P，则有，解得m≤0，
所以m=0，
综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件．
28．【答案】（1）（ RA）∩B＝{x|5＜x＜6}；（2）m的取值范围为．
【解析】（1）先解一元二次不等式求出A，再利用集合的基本运算求解即可．
∵A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}＝{x|﹣1≤x≤5}，∴ RA＝{x|x＜﹣1或x＞5}，
当m＝2，B＝{x|﹣1＜x＜6}，∴（ RA）∩B＝{x|5＜x＜6}．
（2）先得到A B，再列出不等式组求解即可；
∵x∈B“是“x∈A的必要不充分条件，∴A B，
∴，解得，
故m的取值范围为．
29．【解析】由x2-3x-4≤0解得-1≤x≤4，由x2-6x+9-m2≤0，可得[x-（3+m）][x-（3-m）]≤0，①当m=0时，①式的解集为{x|x=3}；当m＜0时，①式的解集为{x|3+m≤x≤3-m}；当m＞0时，①式的解集为{x|3-m≤x≤3+m}；故可得关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围．
解：由x2-3x-4≤0解得-1≤x≤4，
由x2-6x+9-m2≤0，可得[x-（3+m）][x-（3-m）]≤0，①
当m=0时，①式的解集为{x|x=3}；
当m＜0时，①式的解集为{x|3+m≤x≤3-m}；
当m＞0时，①式的解集为{x|3-m≤x≤3+m}；
若p是q的充分不必要条件，则集合{x|-1≤x≤4}是①式解集的真子集．
可得或，解得m≤-4，或m≥4．
经验证，当m=-4或m=4时，①式的解集均为{x|-1≤x≤7}，符合题意．
故m的取值范围是（-∞，-4]∪[4，+∞）．
30．【解析】（1）由①②容易得到2∈M，所以由③得到；∈M；
（2）x∈M，能得到-x∈M，由已知条件知0∈M，所以只要证明任意的正整数x∈M即可得到任意的整数x∈M，可考虑用数学归纳法来证：1，2∈M，假设k∈M，则k-（-1）=k+1∈M，所以根据数学归纳法对任意正整数x∈M，所以便得到x∈Z是x∈M的充分条件；
（3）先构造出xy=，所以可证明：若x,y∈M，则x2∈M，x+y∈M．先证明x2∈M，设x∈M，x≠0，则得到∈M，x-1∈M，，所以∈M，所以x-x2∈M，所以得到x-（x-x2）=x2∈M，由前面知，x+y∈M，∈M，所以，∈M，所以便可得到，∈M，从而∈M．
解：（1）正确；证明如下：
由①0∈M，1∈M，由②知0-1=-1∈M；
∴1-（-1）=2∈M，
由③知
（2）证明：由②知，若x∈M，则0-x=-x∈M，故只需证明任意正整数x∈M即可；
由（1）知，2∈M，假设正整数k∈M，则k-（-1）=k+1∈M；
∴由数学归纳法知：任意正整数x∈M；
即x∈Z，是x∈M的充分条件；
（3）先证：若x∈M，则x2∈M：
由②知，若x∈M，且x≠0，∵1∈M，则x-1∈M；
由③知∈M，，
所以∈M，所以x-x2∈M，所以得到x-（x-x2）=x2∈M，
再证：若x,y∈M，则x+y∈M：
0-y=-y∈M，∴x-（-y）=x+y∈M；
∴，
∴，
∴由前面知：（x+y）2，x2，y2，，∈M
∴=xy∈M．