微专题2 球的切、接问题
与球有关的内切、外接问题是学习立体几何的一个重点，也是各类考试命题的热点．题型以选择题或填空题为主，解答这类问题的基本思路是以几何体的有关几何元素与球的半径之间的关系为切入点，构建球心组成勾股定理求解．
探究1 外接球问题
【例1】 (1)若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为( )
A．π B．π C．9π D．27π
(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，则其外接球的表面积是________．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
外接球常见情形
(1)圆柱的外接球：如图①，在圆柱OO1中，AB为圆柱底面圆的直径，AC是一条母线，则外接球的球心就是线段BC的中点，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2．
(2)直棱柱的外接球：如图②，可以将棱柱的外接圆柱OO1作出来，则直棱柱的外接球即为其外接圆柱的外接球，设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2．
(3)直棱锥的外接球：如图③，可先将直棱锥A BCD补成直棱柱，再将其外接圆柱OO1作出来，设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2．
(4)长方体的外接球：如图④，长方体的体对角线为长方体外接球的直径，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，外接球的半径为R，则(2R)2＝x2＋y2＋z2．
[学以致用] 1．(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．5πa2
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
探究2 内切球问题
【例2】 (1)与棱长为2的正四面体的所有棱都相切的球的直径为( )
A． B． C．2 D．3
(2)已知三棱锥P ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P ABC的内切球的表面积为________．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
(1)球与旋转体的组合问题，通常作它们的轴截面解题．
(2)球与多面体的组合问题，通常借助V多面体＝S表·r(r为多面体内切球半径)求解．
[学以致用] 2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
微专题2 球的切、接问题
例1 (1)A (2)6π [(1)由题知，正方体的棱长为，且正方体的顶点都在同一球面上，设正方体的外接球半径为R，
所以R＝，
所以该球的体积为V＝πR3＝·π·π．故选A．
(2)根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴可以把这个三棱锥补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，的长方体，于是长方体的外接球就是该三棱锥的外接球．
设其外接球的半径为R，
则有(2R)2＝12＋2＋2＝6．
∴R2＝
故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π．]
学以致用 1．(1)B (2)A [(1)如图所示，
设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则外接球球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2．∵AD＝，∴a2，故该球的表面积S球＝4π×πa2．
(2)由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．]
例2 (1)B (2) [(1)如图，棱长为2的正四面体ABCD的6条棱为正方体的面对角线．
因为球与正四面体的所有棱都相切，所以球与正方体的所有面都相切，
所以所求的球为正方体的内切球，设正方体棱长为a，
则a2＋a2＝22，所以a＝，则内切球的直径为a＝故选B．
(2)由题意，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，球心为O，则V三棱锥P -ABC＝V三棱锥O -PAB＋V三棱锥O -PAC＋V三棱锥O -PBC＋V三棱锥O -ABC，即×r，解得r＝故内切球的表面积为4πr2＝
学以致用 2．(1)C (2) [(1)如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，
又OE⊥AB且BO⊥OA，
∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝rR，
∴球的表面积为4πOE2＝4πrR．
(2)法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝易知BE＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即2－R2＝4，所以R＝，圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π．
法二：如图，
记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝，则S△ABC＝2设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π．]
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微专题2 球的切、接问题
第八章 立体几何初步
与球有关的内切、外接问题是学习立体几何的一个重点，也是各类考试命题的热点．题型以选择题或填空题为主，解答这类问题的基本思路是以几何体的有关几何元素与球的半径之间的关系为切入点，构建球心组成勾股定理求解．
【例1】 (1)若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为( )
A．π B．π C．9π D．27π
(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1则其外接球的表面积是________．
探究1 外接球问题
6π
√
(1)A (2)6π [(1)由题知，正方体的棱长为且正方体的顶点都在同一球面上，设正方体的外接球半径为R，所以R＝
所以该球的体积为V＝πR3＝·π·π．故选A．
(2)根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴可以把这个三棱锥补成一个同一顶点处三条棱长分别为1的长方体，于是长方体的外接球就是该三棱锥的外接球．
设其外接球的半径为R，
则有(2R)2＝12＋2＋2＝6．
∴R2＝．
故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π．]
反思领悟 外接球常见情形
(1)圆柱的外接球：如图①，在圆柱OO1中，AB为圆柱底面圆的直径，AC是一条母线，则外接球的球心就是线段BC的中点，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2．
(2)直棱柱的外接球：如图②，可以将棱柱的外接圆柱OO1作出来，则直棱柱的外接球即为其外接圆柱的外接球，设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2．
(3)直棱锥的外接球：如图③，可先将直棱锥A-BCD补成直棱柱，再将其外接圆柱OO1作出来，设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2．
(4)长方体的外接球：如图④，长方体的体对角线为长方体外接球的直径，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，外接球的半径为R，则(2R)2＝x2＋y2＋z2．
[学以致用] 1．(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．5πa2
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4 其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π C．144π D．192π
√
√
(1)B (2)A [(1)如图所示，
设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，
则外接球球心O2为OO1的中点，
连接AO并延长交BC于D点，连接AO2．
∵AD＝
∴a2，故该球的表面积S球＝4π×πa2．
(2)由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．]
探究2 内切球问题
√
【例2】 (1)与棱长为2的正四面体的所有棱都相切的球的直径为( )
A． B． C．2 D．3
(2)已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为______．
(1)B (2) [(1)如图，棱长为2的正四面体ABCD的6条棱为正方体的面对角线．
因为球与正四面体的所有棱都相切，
所以球与正方体的所有面都相切，
所以所求的球为正方体的内切球，
设正方体棱长为a，则a2＋a2＝22，
所以a．故选B．
(2)由题意，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，球心为O，则V三棱锥P -ABC＝V三棱锥O -PAB＋V三棱锥O -PAC＋V三棱锥O –PBC＋V三棱锥O -ABC×2×1×1＝×2×1×r×2＋×1×1×r＋×r，解得r．故内切球的表面积为4πr2．]
反思领悟 (1)球与旋转体的组合问题，通常作它们的轴截面解题．
(2)球与多面体的组合问题，通常借助V多面体S表·r(r为多面体内切球半径)求解．
√
[学以致用] 2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为______．
(1)C (2) [(1)如图，BE＝BO2＝r，
AE＝AO1＝R，
又OE⊥AB且BO⊥OA，
∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝rR，
∴球的表面积为4πOE2＝4πrR．
(2)法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD．易知BE＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE22－R2＝4，所以R＝圆锥内半径最大的球的体积为．
法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CDS△ABC＝2．设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝所以圆锥内半径最大的球的体积为．]
一、选择题
1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为( )
A． B．2 C．3 D．
题号
微专题强化练(二) 球的切、接问题
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
C [设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5．设四棱柱的高为h，则h2＋1＋1＝4R2，解得h＝3．故选C．]
2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为( )
A．4∶3 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
√
C [画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴ ∠CPB＝30°．又∠PCB＝90°，
∴CBr，
∴圆锥的侧面积S1＝π×r＝6πr2，
球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
3．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A． B． C． D．
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
1
√
A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积×π×13．]
4．一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球的表面积的最大值是( )
A．π B．25π C．27π D．π
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
1
√
A [画出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与AD，CD，BC相切，设圆O的半径为R，则OE＝OF．
又因为OE⊥CD，OF⊥BC，所以△OCE≌△OCF．
因为BC＝6，作OG⊥AB，BH⊥CD，所以BG＝1，CE＝4，CH＝3，
所以BH
所以OG＝3R，
且OB2＝BG2＋OG2＝OF2＋BF2，
2＋12＝22＋R2，解得R
所以球的表面积的最大值为S＝4πR2＝4π×．故选A．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
1
5．(多选)设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上，所有面均与内球相切，则( )
A．该正方体的棱长为2
B．该正方体的体对角线长为3＋
C．空心球的内球半径为－1
D．空心球的外球表面积为π
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
1
√
√
BD [设内、外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为2r，体对角线长为2R，∴Rr，
又由题知R－r＝1，所以r
∴正方体的棱长1，体对角线长为3
∴外接球表面积为．故选BD．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
1
二、填空题
6．一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为______，内切球半径为______．
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
1
a [设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r，正方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直径，即2Ra，2r＝a，∴R．]
a
7．三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA-BCD则该三棱锥A-BCD外接球的体积为________．
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
1
4π
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
1
4π [因为AB⊥BC，BC⊥CD，
构造如图所示的长方体，
则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径．
设外接球的半径为R．
∵VA-BCD
∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2
R3＝4．]
8．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为______．
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
1
144π [如图所示，当点C为垂直于平面AOB的球的直径的端点时，三棱锥O-ABC的体积最大．设球O的半径为R，此时VO-ABC＝VC-ABO＝R3＝36，解得R＝6．
则球O的表面积为4πR2＝144π．]
144π
三、解答题
9．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥内切球的体积．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
1
[解] (1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB．
设圆O的半径为R，则R3＝972π，
∴R＝9，∴SE＝2R＝18．∵SD＝16，∴ED＝2．
连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD·SE＝16×18＝288，SA＝12．
∵AB⊥SD，D为AB中点，
∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4．
∴S圆锥侧＝π·AD·SA＝π×496π．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
1
(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×
×16，解得r＝4．
故圆锥内切球的体积V球．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
1
THANKS微专题强化练(二) 球的切、接问题
一、选择题
1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为( )
A． B．2
C．3 D．
2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为( )
A．4∶3 B．3∶1
C．3∶2 D．9∶4
3．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A． B．
C． D．
4．一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球的表面积的最大值是( )
A．π B．25π
C．27π D．π
5．(多选)设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上，所有面均与内球相切，则( )
A．该正方体的棱长为2
B．该正方体的体对角线长为3＋
C．空心球的内球半径为－1
D．空心球的外球表面积为π
二、填空题
6．一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为________，内切球半径为________．
7．三棱锥A BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA BCD＝，则该三棱锥A BCD外接球的体积为________．
8．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．
三、解答题
9．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥内切球的体积．
微专题强化练(二)
1．C [设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5．设四棱柱的高为h，则h2＋1＋1＝4R2，解得h＝3故选C．]
2．C [画出轴截面如图所示，
设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°．又∠PCB＝90°，∴CB＝r，∴圆锥的侧面积S1＝π×r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2．]
3．A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为 1，其体积是×π×13＝
4．A [画出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与AD，CD，BC相切，
设圆O的半径为R，则OE＝OF．
又因为OE⊥CD，OF⊥BC，所以△OCE≌△OCF．
因为BC＝6，作OG⊥AB，BH⊥CD，
所以BG＝1，CE＝4，CH＝3，
所以BH＝，
所以OG＝3－R，
且OB2＝BG2＋OG2＝OF2＋BF2，
即2＋12＝22＋R2，解得R＝，
所以球的表面积的最大值为S＝4πR2＝4π×π．
故选A．]
5．BD [设内、外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为2r，体对角线长为2R，∴R＝r，
又由题知R－r＝1，所以r＝，
∴正方体的棱长为＋1，体对角线长为3＋，
∴外接球表面积为π2＝π．故选BD．]
6．a [设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r，正方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直径，即2R＝a，2r＝a，∴R＝
7．4π [因为AB⊥BC，BC⊥CD，
构造如图所示的长方体，
则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径．设外接球的半径为R．
∵VA-BCD＝×BC×CD×AB
＝，
∴CD＝2，∴该长方体为正方体，
∴AD＝2，∴R＝，
外接球体积为V＝πR3＝4π．]
8．144π [如图所示，当点C为垂直于平面AOB的球的直径的端点时，三棱锥O-ABC的体积最大．设球O的半径为R，此时VO-ABC＝VC-ABO＝R3＝36，解得R＝6．
则球O的表面积为4πR2＝144π．]
9．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB．
设圆O的半径为R，则有πR3＝972π，
∴R＝9，∴SE＝2R＝18．
∵SD＝16，∴ED＝2．
连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD·SE＝16×18＝288，SA＝12
∵AB⊥SD，D为AB中点，
∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4
∴S圆锥侧＝π·AD·SA＝π×4＝96π．
(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×＝32，
∴×16，解得r＝4．
故圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π．
1/2
