祖暅原理与柱体、锥体的体积
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
【典例】 利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M，几何体M的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面α内．设与平面α平行且距离为d的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明．
[尝试解答] _________________________________________________________
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1．“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β任意距离为d的平面截两个几何体，可得到一个圆面和一个圆环面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，当b＝2 cm，a＝3 cm时“椭半球体”的体积是( )
A．4π cm3 B．8π cm3
C．12π cm3 D．16π cm3
2．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足祖暅原理的“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )
A．π B．2π
C． D．
探究课3 祖暅原理与柱体、锥体的体积
典例探究
典例 解：由题图可知，图①几何体为半径为R的半球，图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①中阴影截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)．
证明如下：
在图①中，设截面圆的圆心为O1，易得截面圆O1的面积为π(R2－d2)，
在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d，所以，圆环的面积为π(R2－d2)，所以，截得的截面的面积相等．
对点训练
1．B [设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与β距离为d的平面截得的圆面、圆环面的面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，则S1＝S2，由“祖暅原理”知两个几何体的体积相等，故V1＝V2＝πb2a－πb2a＝πb2a＝8π(cm3)．故选B．]
2．C [因为扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体是半球去掉一个圆锥体剩余部分，球的半径为2，圆锥的底面半径和高均为2，则该几何体的体积为V＝π×23－π×22×2＝故选C．]
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探究课3 祖暅原理与柱体、锥体的体积
第八章 立体几何初步
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
知识提炼
【典例】 利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M，几何体M的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面α内．设与平面α平行且距离为d的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明．
典例探究
[解] 由题图可知，图①几何体为半径为R的半球，图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①中阴影截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)．
证明如下：
在图①中，设截面圆的圆心为O1，易得截面圆O1的面积为π(R2－d2)，
在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d，所以，圆环的面积为π(R2－d2)，所以，截得的截面的面积相等．
1．“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β任意距离为d的平面截两个几何体，可得到一个圆面和一个圆环面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，当b＝2 cm，a＝3 cm时“椭半球体”的体积是( )
对点训练
A．4π cm3 B．8π cm3 C．12π cm3 D．16π cm3
√
B [设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与β距离为d的平面截得的圆面、圆环面的面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，则S1＝S2，由“祖暅原理”知两个几何体的体积相等，故V1＝V2＝πb2a－πb2a＝πb2a＝8π(cm3)．故选B．]
2．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足祖暅原理的“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )
A．π B．2π C． D．
√
C [因为扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体是半球去掉一个圆锥体剩余部分，球的半径为2，圆锥的底面半径和高均为2，则该几何体的体积为V＝π×23－π×22×2＝．故选C．]
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