类型1 空间几何体的表面积和体积
1．主要考查空间几何体的表面积、体积的计算以及外接球和内切球问题．对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养．
【例1】 (1)长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，若E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积为( )
A．10 B．20 C．30 D．40
(2)(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足CD＝2AB＝2AD＝2BC＝4 cm．下列说法正确的是( )
A．该圆台轴截面ABCD的面积为3 cm2
B．该圆台的表面积为11π cm2
C．该圆台的体积为2π cm3
D．该圆台有内切球，且半径为 cm
(3)如图，边长为2的正方形ABCD中，以B为圆心的圆与AB，BC分别交于点E，F，若tan ∠CDF＝，则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于________．
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类型2 空间点、线、面的位置关系
1．空间中线、面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，平行、垂直关系的相互转化如图所示．
2．通过线线、线面、面面平行及垂直关系的相互转化，提升直观想象和逻辑推理素养．
【例2】 (1)(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的是( )
A．直线AF与直线DE相交
B．直线CN与直线DE平行
C．直线BM与直线DE是异面直线
D．直线CN与直线BM所成的角为60°
(2)如图，矩形ABCD所在平面与所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
①证明：平面AMD⊥平面BMC；
②若P点是线段AM的中点，求证：MC∥平面PBD．
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类型3 空间角的计算
1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角．
2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养．
【例3】 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成的角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成的角的正切值；
(3)二面角B-AO-C的大小．
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类型4 空间距离的计算
1．我们已学习过的空间距离主要包括点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离，其中点到平面的距离的计算是这三种距离的核心，通常借助几何体的等体积法求解．
2．通过三种距离间的转化，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例4】 如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图②)．
(1)求点B到平面ADE的距离；
(2)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求三棱锥P-ABC的体积；若不存在，请说明理由．
[尝试解答] ________________________________________________________
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章末重构拓展
例1 (1)A (2)AB (3)6π [(1)如图，VE-BCD
×120＝10．
故选A．
(2)对于A，由CD＝2AB＝2AD＝2BC＝4 cm，可得高O1O2＝，
则圆台轴截面ABCD的面积为×(2＋4)× cm2，故A正确；
对于B，圆台的侧面积为S侧＝π·(1＋2)×2＝6π(cm2)，
又S上＝π·12＝π(cm2)，S下＝π·22＝4π(cm2)，
所以S表＝6π＋π＋4π＝11π(cm2)，故B正确；
对于C，圆台的体积为V＝π·×(1＋4＋2)＝π(cm3)，故C错误；
对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆，
由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误．故选AB．
(3)在Rt△DCF中DC＝2，CF＝DC tan ∠CDF＝2×＝1，
所以BF＝1，正方形ABCD绕直线BC旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径R＝AB＝2，
高h1＝BC＝2，其体积V1＝πR2h1＝π×22×2＝8π；
直角△CDF绕直线BC旋转一周形成与圆柱同底的圆锥，圆锥的底面半径R＝2，
高h2＝CF＝1，其体积V2＝πR2h2＝π×22×1＝；
扇形BEF是圆的，绕直线BC旋转一周形成一个半球，球的半径为r＝BE＝1，
故其体积V3＝，
所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥，
故其体积V＝V1－V2－V3＝8π－＝6π．]
例2 (1)CD [如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，对于A，直线AF与DE不同在任何一个平面内，否则A，D，E，F四点共面，
所以直线AF与DE为异面直线，所以A不正确；
对于B，直线CN与DE不同在任何一个平面内，否则C，D，E，N四点共面，
所以直线CN与DE为异面直线，所以B不正确；
对于C，平面ADNE∥平面BCMF，DE 平面ADNE，BM 平面BCMF，
所以直线BM与DE不相交，连接AN，则BM∥AN，而AN与DE相交，
所以BM与DE不平行，所以直线BM与DE是异面直线，所以C正确；
对于D，连接AC，则△ANC为正三角形，可得∠ANC＝60°，又由BM∥AN，则∠ANC为直线CN与直线BM所成的角，即直线CN与直线BM所成的角为60°，所以D正确．故选CD．]
(2)证明：①因为矩形ABCD所在平面与所在平面垂直，
所以AD垂直于所在平面．
因为CM在所在平面内，
所以CM⊥AD．
又M是上异于C，D的点，
所以CM⊥DM．
又DM∩AD＝D，DM，AD 平面AMD，所以CM⊥平面AMD．
又CM 平面BMC，
所以平面AMD⊥平面BMC．
②由P是AM的中点，连接BD，AC交于点O，连接OP，DP，
如图所示，由中位线定理得MC∥OP，
又MC 平面PBD，OP 平面PBD，
所以MC∥平面PBD．
例3 解：(1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)．
∵AB⊥平面BCC′B′，OC 平面BCC′B′，∴OC⊥AB．
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO．
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA．
在Rt△AOC中，OC＝，
∴sin ∠OAC＝，∴∠OAC＝30°．
即AO与A′C′所成的角为30°．
(2)如图，作OE⊥BC于点E，连接AE．
∵平面BCC′B′⊥平面ABCD，平面BCC′B′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BCC′B′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，
∴tan ∠OAE＝
即AO与平面ABCD所成的角的正切值为
(3)由(1)可知OC⊥平面AOB．
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC．
即二面角B-AO-C的大小为90°．
例4 解：(1)如图，取AE中点G，连接DG．因为AD＝DE＝2，所以DG⊥AE．
因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DG 平面ADE，所以DG⊥平面ABCE．
在直角三角形ADE中，因为AD＝DE＝2，所以AE＝2，所以DG＝设点B到平面ADE的距离为d，又S△ABE＝5，S△ADE＝2，VD-ABE＝VB-ADE＝S△ABE·DG＝S△ADE·d＝，所以d＝
(2)存在点P，此时
过点P作PF∥AB，连接EF，PC．
因为AB＝5，，所以PF＝EC＝1，PF∥EC，
所以四边形EFPC为平行四边形，所以CP∥EF．
因为CP 平面ADE，EF 平面ADE，
所以CP∥平面ADE．
由(1)知DG⊥平面ABCE，点P到平面ABCE的距离d1＝，S△ABC＝5，
所以VP-ABC＝S△ABC·d1＝
5/5(共26张PPT)
章末重构拓展
第八章 立体几何初步
巩固层·知识重构
类型1 空间几何体的表面积和体积
1．主要考查空间几何体的表面积、体积的计算以及外接球和内切球问题．对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养．
提升层·题型探究
【例1】 (1)长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，若E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积为( )
A．10 B．20 C．30 D．40
(2)(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足CD＝2AB＝2AD＝2BC＝4 cm．下列说法正确的是( )
A．该圆台轴截面ABCD的面积为3 cm2
B．该圆台的表面积为11π cm2
C．该圆台的体积为2π cm3
D．该圆台有内切球，且半径为 cm
√
√
√
(3)如图，边长为2的正方形ABCD中，以B为圆心的圆与AB，BC分别交于点E，F，若tan ∠CDF＝则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于______．
6π
(1)A (2)AB (3)6π
[(1)如图，VE-BCD
×120＝10．
故选A．
(2)对于A，由CD＝2AB＝2AD＝2BC＝4 cm，可得高O1O2
则圆台轴截面ABCD的面积×(2＋4)× cm2，故A正确；
对于B，圆台的侧面积为S侧＝π·(1＋2)×2＝6π(cm2)，
又S上＝π·12＝π(cm2)，S下＝π·22＝4π(cm2)，
所以S表＝6π＋π＋4π＝11π(cm2)，故B正确；
对于C，圆台的体积为V×(1＋4＋2)(cm3)，故C错误；
对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆，
由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误．故选AB．
(3)在Rt△DCF中DC＝2，CF＝DC tan ∠CDF＝2×1，
所以BF＝1，正方形ABCD绕直线BC旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径R＝AB＝2，
高h1＝BC＝2，其体积V1＝πR2h1＝π×22×2＝8π；
直角△CDF绕直线BC旋转一周形成与圆柱同底的圆锥，圆锥的底面半径R＝2，
高h2＝CF＝1，其体积V2×22×1
扇形BEF是圆BC旋转一周形成一个半球，球的半径为r＝BE＝1，
故其体积V3
所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥，
故其体积V＝V1－V2－V3＝8π6π．]
类型2 空间点、线、面的位置关系
1．空间中线、面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，平行、垂直关系的相互转化如图所示．
2．通过线线、线面、面面平行及垂直关系的相互转化，提升直观想象和逻辑推理素养．
【例2】 (1)(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的是( )
A．直线AF与直线DE相交
B．直线CN与直线DE平行
C．直线BM与直线DE是异面直线
D．直线CN与直线BM所成的角为60°
√
√
(2)如图，矩形ABCD所在平面与所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
①证明：平面AMD⊥平面BMC；
②若P点是线段AM的中点，求证：MC∥平面PBD．
(1)CD [如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，对于A，直线AF与DE不同在任何一个平面内，否则A，D，E，F四点共面，
所以直线AF与DE为异面直线，所以A不正确；
对于B，直线CN与DE不同在任何一个平面内，
否则C，D，E，N四点共面，
所以直线CN与DE为异面直线，所以B不正确；
对于C，平面ADNE∥平面BCMF，DE 平面ADNE，BM 平面BCMF，
所以直线BM与DE不相交，连接AN，则BM∥AN，而AN与DE相交，
所以BM与DE不平行，所以直线BM与DE是异面直线，所以C正确；
对于D，连接AC，则△ANC为正三角形，可得∠ANC＝60°，又由BM∥AN，则∠ANC为直线CN与直线BM所成的角，即直线CN与直线BM所成的角为60°，所以D正确．故选CD．]
(2)证明：①因为矩形ABCD所在平面
所以AD垂直
因为CM所以CM⊥AD．
又MC，D的点，所以CM⊥DM．
又DM∩AD＝D，DM，AD 平面AMD，
所以CM⊥平面AMD．
又CM 平面BMC，
所以平面AMD⊥平面BMC．
②由P是AM的中点，连接BD，AC交于点O，连接OP，DP，
如图所示，由中位线定理得MC∥OP，
又MC 平面PBD，OP 平面PBD，
所以MC∥平面PBD．
类型3 空间角的计算
1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角．
2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养．
【例3】 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成的角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成的角的正切值；
(3)二面角B-AO-C的大小．
[解] (1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)．
∵AB⊥平面BCC′B′，OC 平面BCC′B′，∴OC⊥AB．
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO．
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA．
在Rt△AOC中，OC
∴sin ∠OAC∴∠OAC＝30°．
即AO与A′C′所成的角为30°．
(2)如图，作OE⊥BC于点E，连接AE．
∵平面BCC′B′⊥平面ABCD，平面BCC′B′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BCC′B′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE
∴tan ∠OAE．
即AO与平面ABCD所成的角的正切值．
(3)由(1)可知OC⊥平面AOB．
又∵OC 平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC．
即二面角B-AO-C的大小为90°．
类型4 空间距离的计算
1．我们已学习过的空间距离主要包括点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离，其中点到平面的距离的计算是这三种距离的核心，通常借助几何体的等体积法求解．
2．通过三种距离间的转化，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例4】 如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图②)．
(1)求点B到平面ADE的距离；
(2)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求三棱锥P-ABC的体积；若不存在，请说明理由．
[解] (1)如图，取AE中点G，连接DG．因为AD＝DE＝2，所以DG⊥AE．
因为平面ADE⊥平面ABCE，
平面ADE∩平面ABCE＝AE，
DG 平面ADE，所以DG⊥平面ABCE．
在直角三角形ADE中，因为AD＝DE＝2，所以AE＝2．设点B到平面ADE的距离为d，又S△ABE＝5，S△ADE＝2，VD-ABE＝VB-ADES△ABE·DGS△ADE·d所以d．
(2)存在点P，此．
过点P作PF∥AB，连接EF，PC．
因为AB＝5所以PF＝EC＝1，PF∥EC，
所以四边形EFPC为平行四边形，所以CP∥EF．
因为CP 平面ADE，EF 平面ADE，所以CP∥平面ADE．
由(1)知DG⊥平面ABCE，点P到平面ABCE的距离d1
S△ABC＝5，所．
THANKS
