3.1 第1课时 代数式的意义
素养目标
1.知道代数式的概念.
2.能用代数式表示一些简单问题中的数量关系和变化规律.
3.知道代数式的书写要求.
会用代数式表示数量关系.
【自主预习】
在小学学习了用字母表示数,前面第二章又学习了有理数的运算,那么如何用代数式表示实际问题中的数量关系呢 代数式又有什么意义呢
1.小明和小华各收集了一些邮票,已知小华收集了x枚邮票,小明收集的邮票数量比小华的2倍少5枚,则两人一共收集邮票的数量为 ( )
A.(3x-5)枚 B.(3x+5)枚
C.枚 D.(2x-5)枚
2.代数式-2x的意义可以是 ( )
A.-2与x的和 B.-2与x的差
C.-2与x的积 D.-2与x的商
3.对于代数式0.8m,可以解释为一件商品的原价为m元,若按原价的八折出售,则这件商品现在的售价是0.8m元.请你对0.8m再赋予一个含义: .
【合作探究】
知识点一：代数式的概念
阅读课本本课时“例1”之前的内容,回答下列问题.
1.有下列各式-2 025,m+n,,S=πr2,1<2.其中代数式的个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列代数式书写正确的是 ( )
A.a×4 B.m÷n
C.1x D.x(b+c)
用运算 把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
单独的一个数或 也是代数式.
(1)在同一个式子或具体问题中,每一个字母只能代表一个量.
(2)用字母表示数以后,在含有字母与数字的乘法中,通常将“×”简写作“·”或者省略不写.
(3)在含有字母的式子中如果出现乘号,通常把数写在字母的前面.
(4)带分数和表示数的字母乘积中,要把带分数化成假分数,且把数写在字母的前面.
(5)含有字母的除法,一般不用“÷”(除号),而是写成分数的形式.
(6)式子含有加减号,同时有单位时,要把式子用括号括起来.
1.有下列式子:①m×n;②3ab;③(x+y);④m+2天;⑤abc3.其中,符合代数式书写格式的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
知识点二：用代数式表示问题中的数量关系
阅读课本本课时“例1”的内容,思考下列问题.
3.买一个篮球需要m元,买一个排球需要n元,则买3个篮球、7个排球共需要 ( )
A.(7m+3n)元 B.(3m+7n)元
C.10mn元 D.21mn元
2.小红要购买珠子串成一条手链,黑色珠子每个a元,白色珠子每个b元,要串成如图所示的手链,小红购买珠子应该花费 元.
知识点三：代数式所表示的意义
阅读课本本课时“例2”的内容,思考下列问题.
4.代数式3(a-2b)的意义表述正确的是 ( )
A.3乘以a减2b
B.a的3倍与2b的差
C.a与2b的差的3倍
D.3与a的差与2b的积
3.代数式x2-y2的意义为 ( )
A.x的平方与y的平方的差
B.x与y的差的平方
C.x与y平方的差
D.x平方与y的差的平方
题型：解释代数式的实际意义
例 根据你的生活与学习经验,对代数式2(x+y)表示的实际意义作出两种不同的解释.
1.甲、乙两人赋予4n的实际意义如下,则下列判断正确的是 ( )
甲:若正方形的边长为n,则4n表示正方形的周长.
乙:若梨的价格为n元/千克,则4n表示4千克梨的总价.
A.甲、乙都对 B.只有甲对
C.只有乙对 D.甲、乙都错
2.下列代数式中,符合书写要求的是 ( )
A.ab2×4 B.6xy2÷3
C.2a2b D.x
参考答案
【自主预习】
自学检测
1.A 2.C
3.练习本每本0.8元,小明买了m本,共付款0.8m元(答案不唯一)
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.B 2.D
揭示概念 符号 字母
对点训练 1.A
知识点二
3.B
对点训练 2.(3a+4b)
知识点三
4.C
对点训练 3.A
题型精讲
例
解:①某水果超市推出两款促销水果,其中苹果每千克x元,香蕉每千克y元,小明买了2千克苹果和2千克香蕉,共花去2(x+y)元.
②一个篮球的价格为x元,一个足球的价格为y元,购买了2个篮球和2个足球,共花去2(x+y)元.
课堂检测
1.A 2.D3.1 第2课时 列代数式
素养目标
1.会用代数式表示简单问题的数量关系.
2.能根据实际问题的数量关系列出代数式.
能用代数式表示简单问题的数量关系.
【自主预习】
如何用代数式表示a,b两数的和与差的积
1.用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”,正确的是 ( )
A.3a-b2 B.3(a-b)2
C.(3a-b)2 D.(a-3b)2
2.小明比小强大2岁,比小华小4岁.如果小强y岁,那么小华 ( )
A.(y-2)岁 B.(y+2)岁
C.(y+4)岁 D.(y+6)岁
【合作探究】
知识点：列代数式
阅读课本本课时“例3”和“例4”的内容,回答下列问题.
1.为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展主题为“书香满校园”的读书活动,现需购买甲、乙两种书籍共100本供学生阅读,其中甲种书籍的单价为8元,乙种书籍的单价为10元,设购买甲种书籍x本,则购买乙种书籍的费用为 ( )
A.8x元 B.8(100-x)元
C.10(100-x)元 D.(100-8x)元
2.用代数式表示:
(1)m的3倍与n的和;
(2)x与y的倒数的差(y≠0);
(3)a,b两数和的平方减去它们差的平方.
3.某种杯子的高度是15 cm,两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图所示.
(1)n个这样的杯子叠放在一起的高度是 cm.(用含n的式子表示)
(2)n个这样的杯子叠放在一起高度可以是35 cm吗 为什么
用字母表示数,字母可以和数一样参与运算,从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来,更具有一般性.
1.“a与b的差的5倍”用代数式表示为 ( )
A. B.5(a-b)
C.5a-b D.a-5b
2.用代数式表示“x与y的2倍的和”,正确的是 ( )
A.2x+y B.x+2y
C.2(x+y) D.2xy
3.已知m是两位数,n是一位数,把m直接写在n后面,就成为一个三位数,这个三位数可表示成 ( )
A.10n+m B.mn
C.100n+m D.100m+n
4.如图,这是同一时刻北京时间和莫斯科时间(北京时间早于莫斯科时间).若现在北京时间是x,则同一时刻莫斯科的时间可以表示为 ( )
A.x+6
B.x-6
C.x+5
D.x-5
题型：运用列代数式解决规律问题
例 【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空:
(1)第n个图案中“◎”的个数为 .
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为,第2个图案中“★”的个数可表示为,第3个图案中“★”的个数可表示为,第4个图案中“★”的个数可表示为……第n个图案中“★”的个数可表示为 .
变式训练 用相同的木棒按如图所示的方式拼成图形.
(1)按图形规律完成下表:
图案序号 1 2 3 4 5 …
木棒的根数 6 14 22 …
(2)按这种方式拼下去,第n个图案需要 根木棒.(用含n的代数式表示)
1.“4与x的平方的积”可表示为 ( )
A.4x B.4x2
C.16x D.16x2
2.有一组数:2,5,10,17,26,….依此类推,第n个数是 .
参考答案
【自主预习】
预学思考
(a+b)(a-b).
自学检测
1.C 2.D
【合作探究】
知识生成
1.C
2.解:(1)3m+n.
(2)x-.
(3)(a+b)2-(a-b)2.
3.解:(1)观察可以发现:一个杯子的高度为15 cm,
两个杯子叠放时的高度为15+3=18(cm),
三个杯子叠放时的高度为15+2×3=21(cm),
……
所以n个这样的杯子叠放在一起的高度为(3n+12)cm.
故答案为(3n+12).
(2)设n个这样的杯子叠放在一起的高度可以是35 cm,则3n+12=35,
解得n=,这不是整数,所以不可以.
对点训练
1.B 2.B 3.C 4.D
题型精讲
例
解:(1)由图可知,
第1个图案中“◎”的个数为3=1+2,
第2个图案中“◎”的个数为6=1+2+2+1,
第3个图案中“◎”的个数为9=1+2+2+3+1,
……
所以第n个图案中“◎”的个数为1+2(n-1)+n+1=3n,
故答案为3n.
(2).
变式训练
解:(1)第1个图案需要1×8-2=6(根)木棒,
第2个图案需要2×8-2=14(根)木棒,
第3个图案需要3×8-2=22(根)木棒,
……
第n个图案需要(8n-2)根木棒,
当n=4时,8×4-2=30,
当n=5时,8×5-2=38,
故答案为30;38.
(2)由(1)得第n个图案需要(8n-2)根木棒,
故答案为(8n-2).
课堂检测
1.B 2.n2+13.1 第3课时 反比例关系
素养目标
1.理解反比例关系的意义及反比例关系中的比例系数.
2.能利用反比例关系解决一些简单的实际问题.
合理地运用反比例关系.
【自主预习】
1.你能举出具有反比例关系的实际例子吗
2.就你举出的例子,写出成反比例的关系式.
1.下列等式中,x,y这两个量成反比例关系的是( )
A.x+y=15 B.y=7x
C.x∶2=y∶3 D.x∶2=3∶y
2.下面选项中的两个量成反比例关系的是 ( )
A.苹果的单价一定,购买的数量和总价
B.看一本书,已看页数和未看页数
C.长方形的面积一定,它的长和宽
D.长方形的周长一定,它的长和宽
【合作探究】
知识点：反比例关系的概念
阅读课本本课时“例5”的内容,回答下列问题.
下列各组变量关系中,成反比例的有 ( )
①平行四边形的面积一定,它的底和高;
②平行四边形的周长一定,它的底和高;
③路程一定,速度和时间;
④工作效率一定,工作量和工作时间.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
(1)两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积 ,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.
(2)如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用 或 来表示,其中k叫作比例 .
1.下列选项中,两个量成反比例关系的是 ( )
A.正方形的边长和面积
B.圆的周长一定,它的直径和圆周率
C.速度一定,路程和时间
D.总价一定,单价和数量
2.已知一个长方体的体积是100 cm3,它的长是y cm,宽是10 cm,高是x cm,写出y与x之间的关系式.
题型：反比例关系的实际应用
例 王大伯要把一张100元换成小面值的人民币.
面值/元 1 5 10 20 50
张 数 100 20 10
(1)把上表补充完整.
(2)写出几组对应的面值和张数的乘积,再比较它们的大小.
(3)这个乘积表示什么意义 用关系式表示它与面值和张数之间的关系.
(4)题目中的人民币面值和张数成反比例关系吗 为什么
变式训练 修路队修一条公路,每天修的路长和修的天数如下表:
每天修的路长/米 240 60 48 40
修的天数 2 8 10 12
根据表中的数据回答下面的问题.
(1)表中 和 是两种变化的量, 随着 的变化而变化.
(2)相对应的两个数的积表示的意义是什么
(3)表中相关联的两个量成反比例吗 为什么
1.下列各组的两个变量间满足反比例关系的是 ( )
A.圆的面积与它的半径
B.等腰三角形的周长一定时,它的底边与腰长
C.三角形的面积一定时,它的一边长与该边上的高
D.圆的周长与它的半径
2.将600张纸装订成同样的练习本,每本的张数和装订的本数如下表:
每本的张数 15 20 25 30 60
装订的本数 40 30 24 20 10
填空题:
表中 和 是两个相关的量,这两个相关联的量中相对应的两个量的积是 ,这个积表示的是 ,由此可知, 一定时, 和 成反比例关系.
3.某工厂生产一批零件,每天生产的零件个数与需要的天数如下表:
每天生产的零件个数 200 300 400 600
需要的天数 36 24 18 12
(1)该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系吗 为什么
(2)如果该工厂需要9天生产完这批零件,那么平均每天要生产多少零件
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.长方形的面积为20,长方形的长a与长方形的宽h是反比例关系.(答案不唯一)
2.反比例的关系式为ah=20或a=.
自学检测
1.D 2.C
【合作探究】
知识生成
C
归纳总结
(1)一定 (2)xy=k y= 系数
对点训练 1.D
2.解:由题意得10xy=100,
所以y=(x>0).
题型精讲
例
解:(1)5 2
(2)1×100=100,5×20=100,10×10=100,20×5=100,50×2=100,都相等.
(3)这个乘积表示100元,分别用x和y表示面值和张数,则xy=100或y=.
(4)题目中的人民币面值和张数成反比例关系,因为人民币面值和张数的乘积为100,值不变.
变式训练
解:(1)每天修的路长;修的天数;修的天数;每天修的路长.
(2)相对应的两个数的积表示的意义是这条公路的总长.
(3)表中相关联的两个量成反比例关系,因为每天修的路长与修的天数的乘积不变,是一个定值.
课堂检测
1.C
2.每本的张数 装订的本数 600 纸的总张数 纸的总张数 每本的张数 装订的本数
3.解:(1)该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系,因为200×36=300×24=400×18=600×12=7 200,乘积是一个定值.
(2)7 200÷9=800(个).
答:平均每天要生产800个零件.
