(共15张PPT)
第2课时 用完全平方公式分解因式
知识点 用完全平方公式因式分解
1．像___________或___________这样的式子叫作完全平方式．
2．两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的________，等于
这两个数和(或差)的平方，即a2＋2ab＋b2＝_______；a2－2ab
＋b2＝_______．
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
积的2倍
(a＋b)2
(a－b)2
3．如果把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形
式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方
法叫作公式法．
考点 用完全平方公式因式分解
典例 [2024·东平县期中]下列各式中能用完全平方公式分解因式的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－2x＋1 D．x2－2x－1
思路导析 根据完全平方公式对各选项进行判断．
变式1 若x2－mx＋16能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为( )
A．－4 B．8
C．－4或4 D．－8或8
变式2 计算：1252－50×125＋252＝( )
A．100 B．150
C．10 000 D．22 500
1．若x2＋(m－3)x＋4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为( )
A．1或5 B．7或－1
C．5 D．7
2．因式分解：1－6(x＋y)＋9(x＋y)2＝____________．
3．因式分解：x4－8x2y2＋16y4＝________________.
(1－3x－3y)2
(x＋2y)2(x－2y)2
4．因式分解：
(1)9x2－6xy＋y2；
(2)(x＋1)(x－3)＋4；
(3)(x2＋1)2－4x2；
(4)(a＋b)4－2(a＋b)2＋1.
解：(1)9x2－6xy＋y2
＝(3x)2－6xy＋y2
＝(3x－y)2；
(2)(x＋1)(x－3)＋4
＝x2－2x＋1
＝(x－1)2；
(3)(x2＋1)2－4x2
＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)
＝(x＋1)2(x－1)2；
(4)(a＋b)4－2(a＋b)2＋1
＝[(a＋b)2－1]2
＝[(a＋b＋1)(a＋b－1)]2
＝(a＋b＋1)2(a＋b－1)2.
5．[2024·北碚区期末]数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A，B，C三种卡片若干．
(1)观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式；
(2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为3a＋4b，宽为2a＋b的长方形，试求出x＋y＋z的值；
(3)观察图2，分解因式：3a2＋5ab＋2b2.
解：(1)由题知，
图1的面积可表示为(a＋b)2；
图1的面积还可表示为a2＋2ab＋b2，
∴代数恒等式为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(2)∵(3a＋4b)(2a＋b)＝6a2＋11ab＋4b2，
又∵A卡片的面积为a2，B卡片的面积为ab，C卡片的面积为b2，
∴x＝6，y＝11，z＝4，
∴x＋y＋z＝6＋11＋4＝21；
(3)由图2可知，
图2由3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片组成．
又∵图2是一个长为3a＋2b，宽为a＋b的长方形，
∴图2的面积可表示为(3a＋2b)(a＋b)，
∴3a2＋5ab＋2b2＝(3a＋2b)(a＋b)．(共11张PPT)
第十七章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
第1课时 用提公因式法分解因式(1)
知识点1 因式分解的意义
1．把一个多项式化成几个整式的___________，这种变形叫作
这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
2．因式分解与整式乘法是_______________，都是整式的恒等
变形，整式乘法是将积转化为和差的形式，因式分解是将和差
形式化为积的形式.
乘积的形式
方向相反的变形
知识点2 提取公因式
1．一般地，一个多项式中每一项都含有公共的因式，这个因式
叫作这个多项式各项的_______．
2．如果一个多项式的各项有_______，那么可把这个_______提
取出来，将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种分
解因式的方法叫作提公因式法．字母表示：pa＋pb＋pc＝p(a＋b
＋c)．
公因式
公因式
公因式
变式 [2024·藁城区期末]下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A．x2－2x＋3＝x(x－2)＋3
B．a(2a－4b)＝2a2－4ab
C．x(x＋2y)＝x2＋2xy
D．x2－2xy＝x(x－2y)
考点2 简单的提公因式
典例2 [2024·六盘水二模]将ma＋mb＋mc因式分解的结果
是( )
A．mabc B．m(a＋b＋c)
C．m(a＋b)＋mc D．abc
变式 [2023·毕节市期末]把多项式2a2－4a分解因式，应提取的公因式是( )
A．a B．2
C．a2 D．2a
2．[2024·新邵县期中]多项式8x2－4x中各项的公因式
是( )
A．4 B．2x－1
C．4x－1 D．4x
3．[2024·西岗区期末]分解因式：6m－9m2＝__________．
3m(2－3m)
4．计算：(1)－4b2＋2ab；
(2)3ax－12bx＋3x；
(3)168×278－168×78.
解：(1)－4b2＋2ab＝－2b(2b－a)；
(2)3ax－12bx＋3x
＝3x(a－4b＋1)；
(3)原式＝168×(278－78)
＝168×200
＝33 600.(共13张PPT)
第3课时 复杂的因式分解
考点1 先提公因式，再用平方差公式因式分解
典例1 [2024·潼南区期末]分解因式：3ay2－3ax2＝_________
_______．
思路导析 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
3a(y－x)
(y＋x)
变式 [2024·德州期末]小南是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，2，x2＋1，a，x＋1
分别对应下列六个字：数、爱、我、化、物、学．现将2a(x2－1)
－2b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱化 B．爱物化
C．我爱数学 D．物化数学
考点2 先提公因式，再用完全平方公式因式分解
典例2 [2024·白云区期末]因式分解：y3－4y2＋4y＝________．
思路导析 原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
y(y－2)2
变式 一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，
则ab3＋2a2b2＋a3b的值为____．
180
考点3 平方差公式与完全平方公式的综合运用
典例3 [2024·株洲期中]因式分解x4－18x2＋81的结果为( )
A．(x2＋9)2
B．(x2－9)2
C．(x＋9)2(x－9)2
D．(x＋3)2(x－3)2
思路导析 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
变式 设a，b，c是三角形的三边，则多项式a2－b2－c2－2bc的值( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．无法确定
1．把(a2＋1)2－4a2因式分解得( )
A．(a2＋1－2a)2 B．(a2＋1－4a)2
C．(a＋1)2(a－1)2 D．(a2－1)2
2．[2025·济宁期末]把多项式4a2(a－b)＋(b－a)分解因式，下列结果正确的是( )
A．(a－b)(4a2＋1)
B．(b－a)(4a2－1)
C．(a－b)(2a＋1)(2a－1)
D．(a－b)(4a2－1)
3．[2024·东营]因式分解：2a3－8a＝_______________．
2a(a＋2)(a－2)
4．[2025·威海期末]因式分解：
(1)－16m3＋16m2－4m；
(2)4(x－y)3－6(y－x)2.
解：(1)原式＝－4m(4m2－4m＋1)
＝－4m(2m－1)2；
(2)4(x－y)3－6(y－x)2
＝4(x－y)3－6(x－y)2
＝2(x－y)2[2(x－y)－3]
＝2(x－y)2(2x－2y－3)．(共13张PPT)
17.2 用公式法分解因式
第1课时 用平方差公式分解因式
知识点 用平方差公式因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的___的积，
即a2－b2＝_____________．
和
差
(a＋b)(a－b)
【注意】
公式中的a，b可以代表一个数，一个单项式或一个多项式．用平方差公式因式分解时，必须紧扣公式特点：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且这两个数差中的被减数是左边平方项系数为正的那项的底数．
考点 用平方差公式因式分解
典例 [2024·怀化期末]因式分解：x4－1.
思路导析 利用平方差公式因式分解即可．
解：(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
变式1 [2024·河北区期末]下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A．x2＋y2 B．x2－y2
C．－x2－y2 D．x2－2xy＋y2
变式2 若m＋n＝10，m－n＝2，则m2－n2＝___．
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变式3 因式分解：
(1)a4－b4；
(2)(3x－2)2－(2x＋7)2；
(3)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
(2)5(x＋1)(x－9)；
(3)4(2m＋n)(m＋2n)．
1．[2024·武都区期末]下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A．x2－4x B．x2－4x＋4
C．x2－4 D．x2＋4
2．在多项式①－m4－n4
②a2＋b2
③－16x2＋y2
④9(a－b)2－4
⑤－4a2＋b2中，能用平方差公式分解因式的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．[2024·藁城区二模]当n为正整数时，代数式(2n＋1)2－
(2n－1)2一定是下面哪个数的倍数( )
A．3 B．5
C．7 D．8
4．[2023·舒兰市期末]分解因式：－x2＋4y2＝_______________．
5．已知x2－y2＝69，x＋y＝3，则x－y＝___．
6．[2024·福山区期中]已知2m－n＝3，那么4m2－n2－6n＋7的
值为___．
(2y＋x)(2y－x)
23
16
7．因式分解：
(1)(a2＋3a)2－(a－2)2；
(2)25(x－2y)2－4(2y－x)2.
解：(1)原式＝(a2＋3a＋a－2)(a2＋3a－a＋2)
＝(a2＋4a－2)(a2＋2a＋2)
(2)25(x－2y)2－4(2y－x)2
＝[5(x－2y)＋2(2y－x)][5(x－2y)－2(2y－x)]
＝(3x－6y)(7x－14y)
＝3(x－2y)×7(x－2y)
＝21(x－2y)2.(共13张PPT)
第2课时 用提公因式法分解因式(2)
考点1 用提公因式法因式分解
典例1 [2024·新田县期中]多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋
y(a－b)提公因式后，另一个因式为( )
A．x2－x＋1 B．x2＋x＋1
C．x2－x－1 D．x2＋x－1
思路导析根据提公因式，可得答案．
变式 [2024·福州期中]把多项式2(a－2)＋6x(2－a)分解因式，结果是( )
A．(a－2)(2＋6x) B．(a－2)(2－6x)
C．2(a－2)(1＋3x) D．2(a－2)(1－3x)
考点2 提公因式法因式分解的应用
典例2 [2024·河北区期末]如图，长、宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b＋ab2的值为( )
A．80 B．96
C．192 D．240
思路导析 根据题意得出a＋b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解，整体代入求解即可．
变式 [2024·莒县期末]已知x＋y＝10，xy＝1，则代数式x2y＋
xy2的值为___．
10
1．[2024·长乐区期末]把多项式2ab＋4ab2分解因式，应提取的公因式是( )
A．ab B．2ab
C．2ab2 D．4ab2
2．[2024·威县期末]已知a－b＝5，b－c＝－6，则代数式a2－ac－b(a－c)的值为( )
A．－30 B．30
C．－5 D．－6
3．[2024·滨海新区期末]把5(a－b)＋m(b－a)提公因式后一个因式是(a－b)，则另一个因式是( )
A．5－m B．5＋m
C．m－5 D．－m－5
4．[2023·舒兰市期末]如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b＋ab3的值为( )
A．15 B．30
C．60 D．78
5．[2024·宝山区期末]因式分解：2m(a－b)－3n(a－b)＝
_______________．
(a－b)(2m－3n)
6．[2024·浦东新区期中]因式分解：2(x－2y)2(x＋2y)＋
3(2y－x)(x＋2y)2.
解：原式＝2(2y－x)2(x＋2y)＋3(2y－x)(x＋2y)2
＝(2y－x)(x＋2y)[2(2y－x)＋3(x＋2y)]
＝(2y－x)(x＋2y)(4y－2x＋3x＋6y)
＝(2y－x)(x＋2y)(10y＋x)．
7．[2025·上海期中]因式分解： 2a(a－3)2－6a2(3－a)－
10a(a－3)．
解：2a(a－3)2－ 6a2(3－a)－10a(a－3)
＝2a(a－3)(a－3)＋2a·3a(a－3)－5·2a(a－3)
＝2a(a－3)[(a－3)＋3a－5]
＝2a(a－3)(4a－8)
＝8a(a－3)(a－2)．
