(共16张PPT)
16.1.2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
知识点 幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数_____，指数_____，即(am)n＝amn(m，n都是正
整数)．
【注意】
1．幂的乘方可以推广，即[(am)n]p＝amnp(m，n，p为正整数)．
2．幂的乘方的运算法则在运算中也常逆用，即amn＝(am)n＝
(an)m(m，n为正整数)．
不变
相乘
考点1 幂的乘方运算法则
典例1 [2024·朝阳区期中]下列计算中，结果等于a8的是( )
A．a2·a4 B．(a3)5
C．a4＋a4 D．(a4)2
思路导析 根据同底数幂的乘法法则判断A；根据幂的乘方法则判断B和D；根据合并同类项的法则判断C.
变式1 [2023·汉滨区期末]下列运算中，正确的是( )
A．(－a2)2＝－a4 B．(－a3)2＝－a6
C．(－x2)3＝－x5 D．x3·x2＝x5
变式2 若(a3)m＝a4·am，则m＝__．
2
考点2 幂的乘方运算的逆运用
典例2 [2024·永川期末]已知3x＝m，3y＝n，则32x＋3y＝( )
A．m2n3 B．m3n2
C．m3＋n2 D．m2＋n3
思路导析 根据同底数幂的乘法法则的逆运算和幂的乘方法则的逆运算得到32x＋3y＝32x·33y＝(3x)2·(3y)3，由此即可得到答案．
变式 [2024·原阳县期中]已知a＝166，b＝89，c＝413，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
C．a1．计算(a2)5的结果是( )
A．a3 B．a7
C．a10 D．a25
2．[2024·惠安县期中]下列运算正确的是( )
A．4a2－2a2＝2 B．(a2)3＝a6
C．a2·a3＝a6 D．a3＋a2＝a5
3．已知am＝2，an＝3，则am＋2n的值是( )
A．6 B．18
C．36 D．72
4．已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a，b，c的大小关系
是( )
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
5．[2024·历城区期末]如果2m＝5，那么23m＝____．
6．[2024·常德期末]已知m＋2n－3＝0，则2m·4n的值为__．
7．[2024·平桥区期中]若3m＝a，27n＝b，m，n为正整数，
则32m＋6n的值为____．
125
8
a2b2
8．[2024·嘉定区期中]化简：
[(3x－2y)2]3·[(2y－3x)3]5.
解：(2y－3x)21(过程略)．
9．[2024·内江期中](1)若am＝3，an＝4，求a2m＋n的值；
(2)若16m＝4×22n－2，27n＝9×3m＋3，求(m－n)2 025的值．
解：(1)∵am＝3，an＝4，
∴a2m＋n＝a2m×an
＝(am)2×an
＝32×4
＝36；
(2)根据题意得16m＝4×22n－2，16m＝24m，4×22n－2＝22×22n－2
＝22n－2＋2＝22n，
∴4m＝2n，∴n＝2m，
又∵27n＝9×3m＋3，27n＝33n，9×3m＋3＝＝32×3m＋3＝3m＋3＋2
＝3m＋5，
∴3n＝m＋5，
∴6m＝m＋5，
∴m＝1，∴n＝2，
∴(m－n)2 025＝(1－2)2 025＝－1.(共17张PPT)
第2课时 积的乘方
知识点 积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂___
___，即(ab)n＝____ (n为正整数)．
乘方
相
乘
anbn
【注意】
1．积的乘方的结果是积的每一个因式都要乘方，不要忽略常数
与指数为1或－1的因式．
2．可以推广到三个或三个以上的积的乘方，即(abc)m＝ambmcm
(m为正整数)．
3．积的乘方在运算中也常逆用，即ambm＝(ab)m(m为正整数)．
思路导析 利用积的乘方法则计算即可．
变式 [2024·沈阳期中]下列运算中，计算结果正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．(2a2)3＝6a5
C．(a2b)2＝a4b2 D．a3＋a3＝2a6
思路导析 根据积的乘方法则的逆运用进行解题即可．
变式1 如果ab＝－1，n＝2 024，那么an·bn的值为( )
A．－2 024 B．2 024
C．1 D．－1
变式2 若x＝78，y＝87，用含x，y的代数式表示5656.
解：x7y8(过程略)．
4．计算(－5x3y)2的结果是______．
5．计算：(－5x2yz2)3＝___________．
6．计算：(－0.125)2 025×22 024×42 024＝________.
25x6y2
－125x6y3z6
－0.125
7．[2024·徐汇区期中]计算：[3(x＋y)3]2－[2(x＋y)2]3(结果
用幂的形式表示)．
解：(x＋y)6.
8．[2024·万州区期中]解决下列有关幂的问题：
(1)若26＝a3＝4b，求a＋b值；
(2)若n为正整数，且x2n＝2，求(3x3n)2－10(x2)2n的值．
解：(1)∵26＝a3，∴(22)3＝a3，
∴43＝a3，∴a＝4，
∵26＝4b，∴26＝(22)b，
∴26＝22b，∴2b＝6，∴b＝3，
∴a＋b＝4＋3＝7；
(2)∵x2n＝2，
∴(3x3n)2－10(x2)2n
＝9x6n－10x4n
＝9(x2n)3－10(x2n)2
＝9×23－10×22
＝9×8－10×4
＝72－40
＝32.(共24张PPT)
16.2 整式的乘法
第1课时 整式的乘法
知识点1 单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别_____作为
积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指
数作为积的一个因式．
相乘
【注意】
1．单项式与单项式相乘的结果仍是单项式；
2．只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏；
3．单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用．
知识点2 单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再
把所得的积_____．
相加
【注意】
1．单项式与多项式相乘，实质是利用乘法分配律将其转化为单
项式与单项式相乘；
2．单项式与多项式相乘时要把单项式和多项式里的每一项都乘，
不要漏乘、多乘．
知识点3 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项
式的_______，再把所得的积_____．
每一项
相加
【注意】
1．多项式与多项式相乘法则的实质是将多项式与多项式相乘
转化为几个单项式相乘的和的形式；
2．多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，计算结果中一定
要注意合并同类项．
考点1 单项式与单项式相乘
典例1 计算3x2y·(－4xy4)的结果是( )
A．7x2y4 B．－7x3y5
C．12x2y4 D．－12x3y5
思路导析 利用单项式乘单项式法则计算即可．
5x6y5
考点2 单项式与多项式相乘
典例2 计算：(－2a2)·(3ab2－5ab3)＝______________．
思路导析 根据单项式乘多项式的运算法则即可求出答案．
－6a3b2＋10a3b3
变式 [2024·商水县期中]要使(－x)(x2－mx＋2x)的展开式中不含x2的项，则m的值是( )
A．－2 B．0
C．2 D．3
考点3 多项式与多项式相乘
典例3 计算(2x－1)(x＋2)的结果是( )
A．2x2＋x－2 B．2x2－2
C．2x2－3x－2 D．2x2＋3x－2
思路导析 利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
变式 [2023·金平区期末]计算(x－3)(x＋m)的结果中一次项为3x，则常数m的值为( )
A．6 B．3
C．－3 D．－1
思路导析 根据合并同类项法则得出a，b的值，进而利用单项式乘以单项式运算法则求出即可．
变式 根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算(2a＋2b)(a＋b)
＝2a2＋4ab＋2b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运
算是___________________________．
(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2
1．下列运算中，计算结果正确的是( )
A．(－a2)·(2a＋1)＝－a3－2a2
B．3x2·2x3＝5x5
C．3x2(3x2＋xy－y2)＝9x4＋3x3y－3x2y2
D．－2b(a3b－3a2＋2b)＝－2a3b2－6a2b＋4b2
2．已知A＝x2＋3x－a，B＝－x，C＝x3＋3x2＋5，若A·B＋C的值与x的取值无关，当x＝－4时，A的值为( )
A．0 B．4
C．－4 D．2
3．[2024·南阳期末]在展开多项式(x2＋x－3)(x2－2x＋2a)中，常数项为－30，则a等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．[2024·江津区期末]已知等式(x＋m)(x－n)＝x2＋kx－36
(m，n为正整数)，则k的值不可能是( )
A．－9 B．－5
C．15 D．16
5．计算：(_____)·3a2＝12a5c2.
6．[2024·洛宁县期末]计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝______．
7．[2024·礼县期末]多项式(x－m)(3－x)展开后不含x的一次
项，则m的值为____．
4a3c2
a3－b3
－3
8．在计算(2x＋a)(x＋b)时，甲错把b看成了6，得到结果是2x2＋8x－24；乙错把a看成了－a，得到结果是2x2＋14x＋20.
(1)求出a，b的值；
(2)在(1)的条件下，计算(2x＋a)(x＋b)的结果．
解：(1)甲错把b看成了6，
(2x＋a)(x＋6)
＝2x2＋12x＋ax＋6a
＝2x2＋(12＋a)x＋6a
＝2x2＋8x－24，
∴12＋a＝8，
解得a＝－4；
乙错把a看成了－a，
(2x－a)(x＋b)
＝2x2＋2bx－ax－ab
＝2x2＋(－a＋2b)x－ab
＝2x2＋14x＋20，
∴2b－a＝14，
把a＝－4代入，得b＝5；
(2)当a＝－4，b＝5时，
(2x＋a)(x＋b)
＝(2x－4)(x＋5)
＝2x2＋10x－4x－20
＝2x2＋6x－20.(共15张PPT)
16.3.2 完全平方公式
知识点1 完全平方公式
1．完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方
___，加上(或减去)它们的积的__倍．
2．用字母表示：(a＋b)2＝___________，(a－b)2＝_______
____．
和
2
a2＋2ab＋b2
a2－2ab
＋b2
知识点2 添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都_____符
号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号．
不变
改变
考点1 完全平方公式
典例1 [2024·常德模拟]观察下列图形，可以推出公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2的是图( )
思路导析 根据长方形的面积逐一分析即可得解．
变式 化简：(x＋2y)2－(x＋y)(3x－y)＝_______________．
－2x2＋2xy＋5y2
考点2 完全平方公式的应用
典例2 [2024·中门区期末]已知a＋b＝5，ab＝3，则a2＋b2的值为( )
A．10 B．13
C．19 D．25
变式 已知(x－2 020)2＋(x－2 024)2＝100，则(x－2 022)2的值是( )
A．26 B．46
C．50 D．54
考点3 添括号法则
典例3 下列添括号正确的是( )
A．a＋b－c＝a－(b－c)
B．a＋b－c＝a＋(b－c)
C．a－b－c＝a－(b－c)
D．a－b＋c＝a＋(b－c)
变式 添括号：－a＋b－c＝－__________．
(a－b＋c)
1．[2024·西青区期末]已知a－b＝2，ab＝1，则a2＋b2的
值为( )
A．6 B．4
C．3 D．1
2．△ABC的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．腰底不等的等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
3．计算：(a－b＋2c)2＝__________________________.
a2－2ab＋b2＋4ac－4bc＋4c2(共18张PPT)
第2课时 整式的除法
知识点1 同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数_____，用式子表示为am÷an
＝____(a≠0，m，n都是正整数且m＞n)．
相减
am－n
【注意】
1．指数是1的情况下，往往省略1.
2．当三个或三个以上的同底数幂相除时，法则同样适用，即am÷an÷ap＝am－n－p(a≠0，m，n，p都是正整数，且m>n＋p)．
3．同底数幂除法法则可以逆用，即am－n＝am÷an(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)．
知识点2 零指数幂
一般地，我们规定a0＝__(a≠0)．这就是说，任何________的
数的0次幂等于1.
【注意】
0的0次幂没有意义．a0＝1(a≠0)中，a可以是代数式．
1
不等于0
知识点3 整式的除法
1．单项式除以单项式：单项式相除，把_______________分别
相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则_______
_______作为商的一个因式．
2．多项式除以单项式：一般地，多项式除以单项式，先把这个
多项式的_______除以这个单项式，再把_________相加．
系数与同底数幂
连同它
的指数
每一项
所得的商
考点1 同底数幂的除法
典例1 [2024·静安区期末]计算：(－a)4·a3÷(－a2)＝____．
思路导析 据同底数幂的乘除法法则进行解题即可．
－a5
变式1 [2024·思明区期末]下列计算正确的是( )
A．a3·a4＝a12 B．(a2)3＝a6
C．(2a)3＝6a3 D．a4÷a4＝a
变式2 已知xm＝16，xn＝3，则xm－2n的值为 ．
考点2 零指数幂
典例2 计算：(－1)2 025＋(－ )2－(3.14－π)0＝____．
思路导析 先算乘方、负数的平方和零指数幂，再算加减即可得到结果．
变式2 已知(x＋3)2－x＝1，则x的值可能是____________．
－2或－4或2
考点3 整式的除法
典例3 [2024·台州区期末]已知长方形的面积为ab2－a2b，一边长为ab，则该长方形的另一边长为( )
A．a－b B．b－a
C．b－a2 D．b2－a
思路导析 根据长方形的面积公式可知，一边的长等于面积除以另一边，即求(ab2－a2b)÷ab即可求解．
1．[2024·唐山三模]在推导过程：对于非零实数a，∵am□am
＝○，∴a0＝1，要使推导过程成立，则□和○中分别应
填( )
A．＋，1 B．－，0
C．÷，0 D．÷，1
2．[2023·四平期末]有下列式子：
①x6÷x3＝x2
②(xy)6＝xy6
③(－4x3－8x4y)÷(－4x3)＝2xy
④(3a4－6a3)÷3a2＝a2－2a.
其中计算正确的有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
x≠4
－3
－2b2
－9m3＋5m2－2
x2y－x＋2(共14张PPT)
第十六章 整式的乘法
16．1 幂的运算
16.1.1 同底数幂的乘法
知识点 同底数幂的乘法法则
同底数幂相乘，底数_____，指数_____，即am·an＝____(m，n
都是正整数)．
不变
相加
am＋n
【注意】
1．同底数幂的乘法运算性质推广到三个或三个以上，即am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．
2．同底数幂的乘法运算性质可以逆用，即am＋n＝am·an(m，n都是正整数)，也就是说，一个幂可以写成若干个同底数幂的积的形式．
考点1 同底数幂的乘法法则
典例1 [2024·苏州]计算：x3·x2＝__．
思路导析 根据同底数幂的乘法法则计算即可．
x5
变式1 [2024·内江期末]下列计算中，结果正确的是( )
A．x3·x3＝x6 B．x2·x4＝x8
C．3x·5x＝15x D．x2＋2x2＝3x4
变式2 计算：(a－b)3·(b－a)2＝_______．
(a－b)5
考点2 同底数幂的乘法法则的逆运用与拓展
典例2 已知8x＝m，8y＝n，则8x＋y等于( )
A．2m＋3n B．m2＋n3
C．mn D．m2n3
思路导析 利用同底数幂的乘法法则的逆运用对所求的式子进行整理，再代入相应的值即可．
变式 已知a2＝m，a3＝n，试用含m，n的式子表示2a5＋a7.
解：∵a2＝m，a3＝n，
∴2a5＋a7＝2a2＋3＋a2＋2＋3＝2a2·a3＋a2·a2·a3＝2mn＋m2n.
1．[2024·池州二模]计算：(－a)2·a4的结果是( )
A．a8 B．a6
C．－a8 D．－a6
2．若a·2·23＝26，则a等于( )
A．4 B．8
C．16 D．32
3．[2024·朝阳区期中]计算(4×106)×(5×103)的结果
是( )
A．2×109 B．9×109
C．2×1010 D．9×1010
4．若3x＝2，3y＝10，3n＝20，则下列等式成立的是( )
A．n＝5x＋y B．n＝xy
C．n＝x＋y D．n＝x－y
5．把3×27×81×3m写成an的形式是____．
6．[2024·奉贤区期中]计算：(x－y)3·(y－x)4＝_______．
(结果用幂的形式表示)
7．已知2x＝3，2y＝5，则2x＋y＋3＝____．
3m＋8
(x－y)7
120
8.[新定义]如果xn＝y，那么我们规定(x，y]＝n.例如：因为32
＝9，所以(3，9]＝2.已知(4，12]＝a，(4，5]＝b，(4，y]＝c，
若a＋b＝c，y的值为___.
60(共16张PPT)
16.3 乘法公式
16.3.1 平方差公式
知识点 平方差公式
1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个
数的_______．
2．用式子表示为：(a＋b)(a－b)＝______，如(x＋2)(x－2)＝
_____．
平方差
a2－b2
x2－4
【注意】
1．平方差公式的结构特征为(□＋△)(□－△)＝□2－△2；
2．公式中的字母可以表示具体数，也可以表示单项式或多项
式等代数式．
【拓展】
平方差公式的几种变形
(1)(－a－b)(a－b)＝－(a＋b)(a－b)＝－(a2－b2)；
(2)(ma＋nb)(ma－nb)＝(ma)2－(nb)2＝m2a2－n2b2；
(3)(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4；
(4)(a＋b＋c)(a＋b－c)＝(a＋b)2－c2.
考点1 平方差公式
典例1 [2024·汉阳区期末]下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是( )
A．(2a＋b)(a－2b) B．(a＋2b)(2b－a)
C．(－a＋b)(b－a) D．(－a－b)(a＋b)
思路导析 根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
变式1 [2024·江安县期中]下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是( )
A．(x＋1)(x－1) B．(x＋1)(－x＋1)
C．(－x＋1)(－x－1) D．(x＋1)(－x－1)
变式2 计算：(－2＋y)(y＋2)－(y－1)(y＋5)．
解：－4y＋1(过程略)．
考点2 平方差公式的应用
典例2 我们学方差公式不但可以使运算简便，也可以解
决一些复杂的数学问题．尝试计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)…
(232＋1)－1的个位数字是多少．
思路导析 将原式利用平方差公式化简为264－2，2n末尾是2，4，8，6四个一组循环，由此求解即可．
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)－1
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)－1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)－1
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)－1
＝264－2.
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，末尾是2，4，8，6四个一组循环，∴264的个位数是6，
∴(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)－1的个位数字是6－2＝4.
变式1 [2024·渝北区期末]已知x＋y＝6，x2－y2＝－18，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．6 D．－9
变式2 2 0242－2 023×2 025＝__．
1
1．下列运算中正确的是( )
A．(5－m)(5＋m)＝m2－25
B．(a－b)(－a－b)＝a2－b2
C．(1－3m)(1＋3m)＝1－3m2
D．(－4＋3n)(－4－3n)＝－9n2＋16
2．[2024·南宁期末]如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是( )
A．(a＋1)(a－1)＝a2－1
B．(a－1)2＝a2－2a＋1
C．(a＋1)2＝a2＋2a＋1
D．a(a＋1)＝a2＋a
3．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，则a2＋b2＝( )
A．3 B．6
C．±3 D．±6
4．运用整式乘法公式计算：103×97＝______．
5．若(x＋y2)(x－y2)(x2＋y4)＝xm－yn，则m＝__，n＝__．
9 991
4
8
6．[2024·平武县期末]计算：2(a－3)(a＋2)－(4＋a)(4－a)．
解：3a2－2a－28(过程略)．