(共26张PPT)
13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
知识点1 三角形的内角和定理
三角形的内角和等于______．
180°
知识点2 直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角_____．直角三角形可以用符号“_____”
表示，直角三角形ABC可以写成________．
知识点3 直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是_____三角形．
互余
Rt△ABC
直角
Rt△
考点1 三角形的内角和定理
典例1 某数学兴趣小组在证明定理“三角形的内角和等于180°”
的过程中，小张给出如下思路．请你将小张的证明过程补充完整．
证明：如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB.
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠__，∠B＋∠____＝180°，
∵∠BCD＝∠____＋∠____，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
A
BCD
BCA
ACD
思路导析 根据平行线的性质即可完成填空．
变式1 一个三角形三个内角之比为1∶3∶5，则最小的角的度数为( )
A．20° B．30°
C．40° D．60°
变式2 如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E，
∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE的度数为_____．
16°
考点2 直角三角形的性质
典例2 [2024·兴宁市期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD是高．若∠B＝58°，则∠ACD的度数是_____．
58°
思路导析 根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得出∠B＋∠A＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，求出∠ACD＝∠B，再求出答案即可．
变式1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B－∠A＝10°，则∠A的度数为( )
A．50° B．40°
C．35° D．30°
变式2 [2024·合肥期中]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E.
(1)若∠CEF＝50°，求∠A的度数；
(2)∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由．
变式2 [2024·合肥期中]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E.
(1)若∠CEF＝50°，求∠A的度数；
(2)∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由．
解：(1)∵∠ACB＝90°，∠CEF＝50°，
∴∠CBE＝40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝80°，
∴∠A＝90°－∠ABC＝10°；
(2)相等，∵∠ACB＝90°，
∴∠CBE＋∠CEB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE＋∠BFD＝90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠CEB＝∠BFD，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠CEB＝∠CFE，
即∠CFE＝∠CEF.
考点3 直角三角形的判定
典例3 △ABC三个内角的度数之比是1∶1∶2，那么△ABC是___
_______三角形．
思路导析 根据比例设三角形的三个内角的度数分别为k，k，2k，然后根据三角形的内角和等于180°列出方程求出k，再求出三个内角的度数，即可得解．
等
腰直角
变式1 [2024·沙依巴克区期中]有下列条件：①∠A＋∠B＝∠C
②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 ③∠A＝90°－∠B ④∠A＝∠B
＝∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有__个．
4
变式2 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB.
(1)求∠ACE的度数；
(2)若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，
证明：△CFD是直角三角形．
(2)证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠B＝28°，
∴∠FCD＝∠ECB－∠BCD＝16°.
∵∠CDF＝74°，
∴∠CFD＝180°－∠FCD－∠CDF＝90°，
∴△CFD是直角三角形．
2．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为( )
A．56° B．64°
C．66° D．54°
3．[2024·普兰店区期末]将一副三角板按如图位置放置，则∠COD的度数是( )
A．105° B．120°
C．135° D．150°
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B＝55°，
∠C＝35°，则∠ADE＝( )
A．50° B．55°
C．60° D．62.5°
6．[2024·长宁区期末]如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的平
分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，
那么∠BAD＝____°.
58
7．[2024·祁阳市期末]如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，
AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝
60°，则∠EAD＋∠ACD＝____°.
75(共21张PPT)
13.2 与三角形有关的线段
13.2.1 三角形的边
知识点1 三角形的三边关系
1．三角形两边的和_____第三边．
2．三角形两边的差_____第三边．
大于
小于
知识点2 三角形的稳定性
如果三角形的三条边长确定，这个三角形的形状和大小就不会
改变，这就是三角形的_______．稳定性是三角形特有的，在生
产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都
被制成三角形的形状，比如起重机、钢架桥等．为保证图形的
稳定性，常在图形中构造三角形．
稳定性
考点1 三角形的三边关系
典例1 [2024·长寿区期末]已知三角形的两边长度分别是3和8，第三条边的长度是一个偶数，则第三边长度不可能是( )
A．6 B．8
C．10 D．12
思路导析 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设第三边长度是x，得到5
变式1 [2024·花都区期末]用9根同样长的木棒摆成一个三角形，最长的边最多可以由________根木棒组成．( )
A．3根 B．4根
C．5根 D．6根
变式2 已知a，b，c是三角形的三边长．
(1)化简：|a－b－c|＋3|a＋c－b|；
(2)a，b满足|a－7|＋(b－2)2＝0，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
考点2 三角形的稳定性
典例2 [2024·莱西市期末]下列图形中，具有稳定性的是( )
思路导析 直接根据三角形的稳定性解答即可．
变式 [2024·通榆县期末]如图，双人漫步机是一种有氧运动
器材，它的三角形支架设计应用的几何原理是_______________
___．
三角形具有稳定
性
1．[2024·汕尾期末]下列三组长度的线段，能组成三角形的是( )
A．11，5，6 B．5，6，12
C．5，4，8 D．1，4，5
2．[2024·湛江期末]下列实例中没用到三角形稳定性的是( )
3．[2024·西宁]若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个
三角形，则整数a的值可以是______________．(写出一个即可)
4(答案不唯一)
4．[2024·花垣县期中]已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a－2|－|a－1|＋|a－8|.
解：∵△ABC的三边长分别为3，5，a，
∴5－3解得2故|a－2|－|a－1|＋|a－8|
＝a－2－(a－1)＋8－a
＝7－a.
5．[2023·平果市期中]已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．
解：(1)∵(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
(2)∵a＝5，b＝2，且c为整数，
∴5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7，
∴c＝4，5，6，
∴当c＝4时，△ABC周长的最小值为5＋2＋4＝11；
当c＝6时，△ABC周长的最大值为5＋2＋6＝13.
6．[2023·南关区期末]某工艺店打算制作一批有两边长分别是7分米、3分米，第三边长为奇数(单位：分米)的不同规格的三角形木框．
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有________种；
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元/分米，问至少需要多少钱购买材料？(忽略接头)
解：(1)3；
(2)制作这种木框的木条的长为3＋5＋7＋3＋7＋7＋3＋7＋9＝51(分米)，
∴51×8＝408(元)．
答：至少需要408元购买材料．
7．一个三角形的两边长为3和5.
(1)求它的第三边a的取值范围；
(2)求它的周长L的取值范围；
(3)若周长为偶数，求三角形的第三边长．
解：(1)根据三角形的三边关系可得5－3＜a＜5＋3，
即2＜a＜8；
(2)∵第三边a的取值范围为2＜a＜8，
∴它的周长L的取值范围2＋3＋5＜L＜5＋3＋8，
即10＜L＜16；
(3)∵第三边a的取值范围为2＜a＜8，
周长为偶数，
∴第三边的长为4或6.(共18张PPT)
13.3.2 三角形的外角
知识点1 三角形的外角的概念
三角形的一边与另一边的_______组成的角，叫作三角形的外角．
【注意】
在三角形的每个顶点处都有两个外角，这两个外角是对顶角．
延长线
知识点2 三角形的外角的性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的___．
【注意】
三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角．
和
考点1 角形的外角的概念
典例1 如图，下列关于外角的说法正确的是( )
A．∠FBA是△ABC的外角
B．∠FBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角
D．∠GBA是△ABC的外角
思路导析 三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角．根据三角形的外角定义进行判断即可得出结果．
变式 顺次延长△ABC的三条边AB，BC，CA，所得的三个外角中，钝角最少有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无法确定
考点2 三角形的外角的性质
典例2 [2024·东城区期末]将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于( )
A．50° B．60°
C．75° D．85°
思路导析 利用三角形的外角的性质即可求出∠CAF的度数．
变式 如图，∠1＝140°，∠2＝120°，则∠3的度数为( )
A．100° B．120°
C．140° D．160°
1．如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，连接CE，下列结论不一定正确的是( )
A．∠BCD＞∠A
B．∠BCD＞∠1
C．∠2＞∠3
D．∠BCD＝∠A＋∠B
2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝28°，则∠ACD的度数为( )
A．100° B．110°
C．126° D．130°
3．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为( )
A．30° B．40°
C．60° D．80°
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝( )
A．40° B．36°
C．20° D．18°
5．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于______．
105°
6．如图，在△ABC中，延长AB至点D，延长BC至点E，如果∠1＋
∠2＝230°，则∠A＝_____．
50°
7．[2024·辛集市期末]如图，D是△ABC的边AC上一点，连接BD，
CM平分∠ACB交BD于点H，交AB于点M.△ABC的外角∠ACE的平分线
CF所在直线与AB的延长线交于点G.当∠CBD＝∠A时，有下列四个
结论：
①∠CHD与∠G互余
②∠CBD＝∠BCG
③∠MHD－∠G＝90°
④∠MHD＝90°＋∠A.
其中正确的结论是_____.(填序号)
①③
8．[2023·裕安区期末]如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E.
(1)求∠E的度数；
(2)请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由．
解：(1)∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE，
由三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠CBE，
∴∠A＋∠ABC＝2(∠E＋∠CBE)，
∴∠A＝2∠E，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝20°；
(2)∠A＝2∠E.
理由如下：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE，
由三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠CBE，
∴∠A＋∠ABC＝2(∠E＋∠CBE)，
∴∠A＝2∠E.(共20张PPT)
13.2.2 三角形的中线、
角平分线、高
知识点1 三角形的中线
如图1，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的______，所得线段
AD叫作△ABC的边BC上的中线．三角形的三条中线相交于一点，
这个点叫作三角形的_____．
中点D
重心
知识点2 三角形的角平分线
如图2，画∠BAC的_________，交∠BAC所对的边BC于点D，所得
线段___叫作△ABC的角平分线．
平分线AD
AD
知识点3 三角形的高
如图3，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画_____，垂
足为D，所得_______叫作△ABC的边BC上的高线，简称三角形
的高．
垂线
线段AD
【注意】
1．三角形的高、中线与角平分线均是线段．
2．任意一个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线．三角形的三条中线、三条角平分线分别交于三角形内一点．三角形三条高所在的直线交于一点．这点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，直角三角形的三条高交于直角顶点．
考点1 三角形的中线
典例1 [2024·青羊区期中]如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝32 cm2，则△DEF的面积等于( )
A．2 cm2 B．4 cm2
C．6 cm2 D．8 cm2
思路导析 此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道等底同高的三角形面积相等．
变式 [2023·海珠区期末]如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，
若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为( )
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
考点2 三角形的角平分线
典例2 如图，AD是△ABC的角平分线，下列各式正确的是( )
思路导析 根据角平分线的定义即可判断．
变式 [2024·巫山县期中]如图，∠BAC＝90°，且AD，AE，BF
分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是( )
A．∠BAD＝∠C
B．∠ABF＝∠CBF
C．S△ABE＝S△AEC
D．AF＝CF
考点3 三角形的高
典例3 [2024·思明区期末]如图，在△ABC中，点D，E是AC边上两点，BE⊥AB，BD⊥BC，则BD是下列哪个三角形的高( )
A．△BCD B．△ABC
C．△ABE D．△BDE
思路导析 三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段判断即可．
变式 如图，在△ABC中，AD与CE是△ABC的高．
(1)若AB＝7 cm，BC＝10 cm，CE＝8 cm，求AD的长；
(2)若AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少．
1．[2024·长沙期末]如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列各式错误的是( )
2．[2024·陵川县期中]将三角形纸片ABC按照下面四种方式折叠，得到AD，则AD是△ABC的高的是( )
3．[2024·酒泉期末]如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD
是AC边上的中线，若△ABD的周长为32，则△BCD的周长是( )
A．20 B．24
C．26 D．28
4．[2023·武都区期末]如图，BD是△ABC的中线，G是BD上的一
点，且BG＝2GD，连接AG，若△ABC的面积为6，则图中阴影部分
的面积是__．
2
5．[2024·公主岭市期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD
是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给
出以下结论：①BF＝AF ②∠AFG＝∠AGF ③∠FAG＝2∠ACF
④S△ABE＝S△BCE.上述结论中，所有正确结论的序号是_______．
②③④(共15张PPT)
第十三章 三角形
13.1 三角形的概念
知识点1 三角形及有关概念
由不在同一条直线上的三条线段_____________组成的图形叫作
三角形．组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共
端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，
简称三角形的角．如图所示，这个三角形可记
作______，其中三角形的边是___________，
顶点是点________，三个内角是___________
____．
首尾顺次相接
△ABC
AB，AC，BC
A，B，C
∠A，∠B，
∠C
三角形的分类
1．按边分：
等腰
底边和腰不相等
等边
2．按角分：
直角
钝角
考点1 三角形及其元素
典例1 如图，在△BCE中，边BE所对的角是______，∠CBE所对
的边是___；在△AEC中，边AE所对的角是______，∠AEC所对的
边是___；以∠A为内角的三角形有____________________．
∠BCE
CE
∠ACE
AC
△ABD，△ABC，△ACE
思路导析 根据三角形的相关概念解答即可．
变式 [2024·庆阳期中]如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，除△ABC外，图中还有几个三角形？并说出CD是哪些三角形的边．
解：图中还有4个三角形，
其中，CD是△ACD和△CDE的边．
考点2 三角形的分类
典例2 如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是( )
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，
P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，
P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
思路导析 根据三角形的分类判断．
变式 [2024·重庆期中]在△ABC中，如果∠A＝91°＋∠B，那么△ABC是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
1．图中三角形的数量是( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
2．下列说法：①等边三角形是等腰三角形
②三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形
③三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．如图，点D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对
的边是___；在△ACD中，∠C所对的边是___．
AB
AD
4．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角
形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有___
个三角形．
21
5．如图所示，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB上，AD交CE于点F.
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来；
(2)写出含有∠ADC的三角形；
(3)在△ACF中，写出∠ACF的对边；
(4)以线段BC为边的三角形有哪些？
解：(1)图中有8个三角形，分别是△AEF，△ABD，△AEC，△ABC，△AFC，△ACD，△CDF，△BCE；
(2)含有∠ADC的三角形有△ACD，△CDF；
(3)在△ACF中，∠ACF的对边是AF；
(4)以线段BC为边的三角形有△ABC，△BCE.