(共23张PPT)
第2课时 “角边角”和“角角边”
知识点1 三角形全等的判定(二)
1．两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，简写成“角
边角”或“ASA”．
2．符号语言：
夹边
【注意】
利用“ASA”判定两个三角形全等时，对应边须是两角的夹边.
知识点2 三角形全等的判定角边角的推论
1．两角分别相等且其中一组等角的_____相等的两个三角形全
等，简写为“角角边”或“AAS”．
2．符号语言：
对边
考点1 利用“ ASA”证明三角形全等
典例1 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，最省事的方法是带( )
A．① B．②
C．③ D．①③
思路导析 由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的方法是带③去．
变式1 如图，已知在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，
CB＝5 cm，BD＝3 cm，则ED的长为_____．
2 cm
变式2 [2024·宜宾期末]小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制成如图所示的示意图，点B，F，C，E在直线l上(点F，C之间的距离为池塘的长度)，点A，D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BE＝120 m，BF＝38 m，
求池塘FC的长度．
(2)由(1)可知△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC－FC＝EF－FC，
∴BF＝CE，
又∵BF＝38 m，
∴BF＝CE＝38 m，
又∵BE＝120 m，
∴FC＝BE－BF－CE＝44(m)，
∴池塘FC的长为44 m.
考点2 利用“ AAS”证明三角形全等
典例2 [2024·巫山县期末]如图，点C，F，A，D在同一条直线
上，∠C＝∠EFD，BC＝EF，添加一个条件，不能判定△ABC≌
△DEF的是( )
A．CF＝AD B．∠B＝∠E
C．AB＝DE D．AB∥DE
思路导析 本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键，结合图形和全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
变式 [一线三直角模型] [2024·东莞市期中]方特海盗船是一种
模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴B
到地面的距离BD＝15 m．当海盗船的船头在A处时，AC⊥BD，此
时测得点A到地面的距离AE＝9 m．当船头从A处摆动到A′处时，
A′B⊥AB，则点A′到BD的距
离为____．
6 m
1．[2023·建昌县期末]我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，∠AGE＝∠AGF，∠EAG＝∠FAG，则△AEG≌△AFG的依据是( )
A．SAS B．ASA
C．AAS D．SSS
2．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列一个条件后，不能使△ABC≌△BAD的是( )
A．BC＝AD
B．∠CAB＝∠DBA
C．∠C＝∠D
D．AC＝BD
3．[2023·潼关县期末]如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝
90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在一条直线上，添加一个条件
___________________，使△ABC≌△EDF.
AB＝ED(答案不唯一)
4．[2024·宿迁期末]如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC和AB
边上的高，AD与CE相交于H，若AE＝CE＝10，CH＝4，则BE＝__．
6
5. [一线三直角模型][2024·仙游县期中]如图，在△ACB中，
∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标
为(－6，3)，则B点的坐标是_______．
(1，4)
6．[2024·长寿区期末]如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE，CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是点F，G，EF＝3.
(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)求EG的长．
(2)由(1)知△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∵∠AEB＋∠FED＝∠CEB＋∠GED＝180°，
∴∠FED＝∠GED，
∵DF⊥AE，DG⊥CE，
∴∠EFD＝∠EGD＝90°，(共15张PPT)
第5课时 “斜边、直角边”
知识点 斜边、直角边定理
1．_____和_________分别相等的两个直角三角形全等，简写成
“斜边、直角边”或“HL”．
2．符号语言：
斜边
一直角边
【注意】
1．“HL”定理只适合判定两个直角三角形全等．用“HL”证明两个直角三角形全等时要明确标注“Rt△”．
2．一般三角形的其他四种方法在直角三角形判定中同样适用．
考点 利用“ HL”证明三角形全等
典例 [2024·太谷区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用
“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是( )
A．∠ABD＝∠CDB
B．∠ADB＝∠CBD
C．AB＝CD
D．AD＝CB
思路导析 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
变式1 [2024·连州市期中]下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．斜边和一直角边分别对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
D．两条直角边分别对应相等
变式2 [2024·齐齐哈尔期末]如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5 cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12 cm，求AE的长．
解：AE＝7 cm(过程略)．
1．如图，AB⊥CD，垂足为O.添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是( )
A．AC＝BD，OA＝OB
B．OA＝OD，∠A＝∠B
C．AC＝BD，OC＝OD
D．AC＝BD，AC∥BD
2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝( )
A．28° B．59°
C．60° D．62°
3．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，若要
用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需
补充条件：_____________.
(示例)BC＝FE
4．如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，
AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝_____．
40°
5．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A
点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动
到AP＝______时，△ABC与△APQ全等．
5或10
6．[2024·义乌市期中]数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，请补充一个条件，使得△ABC≌△DEF.三位同学展示了自己补充的条件：
甲补充条件AC＝DF，全等的判定依据是SAS；
乙补充条件∠B＝∠E，全等的判定依据是________；
丙补充条件____________，全等的判定依据是HL.
(1)请补全乙、丙同学展示的答案；
(2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程．
解：(1)ASA；AB＝DE；
(2)甲：∵AC＝DF，∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)；
乙：∵∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF(ASA)；
丙：∵∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．(共18张PPT)
第3课时 “边边边”
知识点 三角形全等的判定(三)
1．三边_________的两个三角形全等，简写为“边边边”或
“SSS”．
2．符号语言：
分别相等
【注意】
利用“SSS”判定两个三角形全等时，对应边必须对应相等．
3．已知三角形的三边，可以利用尺规作一个三角形．
如图，已知三条线段a, b, c (其中任意两条线段的和大于第三
条线段)，求作△ABC，使其三边分别为a，b，c.
作法：如图
(1) 作线段AB＝c；
(2)分别以点A，B为圆心，线
段b，a为半径作弧，两弧相交于点C；
(3)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形．
考点1 利用“ SSS”证明三角形全等
典例1 如图，AB＝AC，BD＝CD，则下列结论不正确的是( )
A．∠B＝∠C
B．∠ADB＝90°
C．∠B＝2∠BAD
D．AD平分∠BAC
思路导析 由条件根据“SSS”易证，得△ABD≌△ACD，可得两个三角形对应角和边的关系，再判断各选项正误即可．
变式1 如图，AB＝CD，BC＝AD，则下列结论不一定正确的
是( )
A．AB∥DC B．∠B＝∠D
C．∠A＝∠C D．AB＝BC
变式2 如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A，D，B，F在一条直线
上，要使△ABC≌△FDE由“SSS”判定，还需添加一个条件，这
个条件可以是_____________．
(示例)AD＝BF
考点2 已知三角形三边，用尺规作三角形
典例2 [2023·竞秀区期末]如图，用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1，使得△O1A1B1≌△OAB，依据________定理可以判定两个三角形全等．( )
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
思路导析 由作图可知，OA＝O1A1，OB＝O1B1，AB＝A1B1，根据“SSS”可以判定两个三角形全等．
变式 [2024·裕华区期中]用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是( )
A．已知三边
B．已知两角及夹边
C．已知两边及夹角
D．已知两边及其中一边的对角
1．如图，在纸板上先任意画一个△ABC，再画一个△DEF，使AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，将△DEF剪下来，放到△ABC上，它们完全重合吗？( )
A．重合
B．不重合
C．不一定重合
D．无法判断
2．如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是( )
A．120° B．125°
C．127° D．104°
3．如图，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这
样的三角形叫格点三角形，该图中与△ABC全等的不同的格点三
角形共有___个．(△ABC除外)
15
4．如图，已知AC＝AD，BC＝BD，CE＝DE，则全等三角形共
有______对，说明全等的理由．(共15张PPT)
14.2 三角形全等的判定
第1课时 “边角边”
知识点 三角形全等的判定(一)
1．两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，简写成“边
角边”或“SAS”．
2．符号语言：
夹角
【注意】
若有两边和其中一边的对角分别相等，则两个三角形不一定全
等．
考点 利用“ SAS”证明三角形全等
典例 [2024·海安市期末]如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需( )
A．AB＝DC B．OB＝OC
C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
思路导析 由题意可知，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，若用“SAS”证明三角形全等，寻找符合条件的边即可．
变式1 [2024·新华区期末]要测量A，B间的距离(无法直接测出)，两位同学提供了测量方案：
方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接BO，并延长到点D，使OD＝OB；③连接DC，测量DC的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；③连接EF，测量EF的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是( )
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行
D．Ⅰ、Ⅱ都可行
变式2 [2024·鄞州区期末]如图，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD，点C在DE上．
(1)求证：△BAC≌△EAD；
(2)若AE平分∠BAC，∠EAC＝42°，
求∠BCE的度数．
解：(1)证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，
∴∠BAC＝∠EAD.
∵AB＝AE，AC＝AD，
∴△BAC≌△EAD(SAS)；
(2)∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝42°.
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAE＝∠CAE＝42°.
∵△BAC≌△EAD，
∴AC＝AD，∠ACB＝∠D，
∴∠ACB＝∠D＝∠ACD.
∵∠ACD＋∠D＋∠CAD＝180°，∠ACD＋∠ACB＋∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠CAD＝42°.
1．[2024·瓦房店市期末]如图，∠ABD＝∠CDB，AB＝2，AD＝4，要使△ABD≌△CDB，添加下列条件正确的是( )
A．BC＝2 B．BC＝4
C．CD＝2 D．CD＝4
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AE＝AF，则可直接用“SAS”判断的是( )
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDF
C．△ADE≌△ADF
D．△ABD≌△ABC
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝50°，则∠B的度数是( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
4．[2023·石狮市期末]如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AC＝BD，AE∥DF，AE＝DF.求证：∠E＝∠F.
证明：∵点A，B，C，D在同一条直线上，AC＝BD，
∴AC＝AB＋BC，BD＝CD＋BC，
∴AB＝CD，
又∵AE∥DF，
∴∠A＝∠ADF，(共22张PPT)
第4课时 尺规作图
知识点1 用尺规作一个角等于已知角
作法：如图
(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交
O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于
点D′；
(4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
知识点2 用尺规作平行线
如图，已知直线AB及直线AB外一点C.利用直尺和圆规过点C作
直线AB的平行线CD.
作法：如图
(1)过点C作一条直线，与直线AB相交于点E；
(2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD＝∠CEB；
(3)反向延长CD，得直线CD，则直线CD∥AB.
【拓展】
也可以用内错角相等，两直线平行作图．
知识点3 用尺规作三角形
如图，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，
∠A＝∠α.
作法：如图
(1)作∠DAE＝∠α；
(2)在射线AD上作AB＝a，在射线AE上作AC＝b；
(3)连接BC，则△ABC就是所求作的三角形．
【拓展】
应用三角形全等的判定定理都可以作出唯一的三角形．
考点1 用尺规作一个角等于已知角
典例1 [2023·临高县期末]如图，是尺规作图中“画一个角等
于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相
等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是____．
SSS
思路导析 如图，由作图可知，两个三角形的三边对应相等．
变式 [2025·宝鸡期末]如图，已知∠α，作∠MON，使∠MON＝2∠α.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，∠MON即为所求．
考点2 用尺规作平行线
典例2 如图，用尺规作图作出OA∥BF，则作图痕迹弧MN是( )
A．以点B为圆心，OD长为半径作的弧
B．以点B为圆心，DC长为半径作的弧
C．以点E为圆心，OD长为半径作的弧
D．以点E为圆心，DC长为半径作的弧
思路导析 根据作一个角等于已知角作图解答即可．
变式 [2025·榆林期末]如图，在∠ABC中，点D在边AB上，请用尺规作图法，过点D作直线DE∥BC.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，直线DE即为所求．
考点3 用尺规作三角形
典例3 已知：如图，等腰三角形的一个底角为锐角α，腰为a，求作这个等腰三角形．
思路导析 本题考查作尺规作等腰三角形，根据题意底角为锐角α，腰为a，即可得到等腰三角形．
解：如图，△ABC即为所求，
变式 [2024·唐山期中]如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是( )
A．已知三角形的三边
B．已知三角形的两边及夹角
C．已知三角形的两角及夹边
D．已知三角形的两角及一角的对边
1．如图，过直线l1外一点P作它的平行线l2, 其作图依据是( )
A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
2．[2025·南昌期中]如图，若∠α＝37°，根据尺规作图的痕
迹，则∠AOB的度数为_____．
74°
3．如图，已知△ABC，求作△A′B′C′，使△A′B′C′≌
△ABC.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，△A′B′C′即为所求．(共18张PPT)
14.3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
知识点1 用直尺和圆规作角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线．
作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2)分别以点M，N为圆心，以 为半径画弧，两弧
在∠AOB内部相交于点C；
(3)画射线OC，则射线OC即为所求．
知识点2 角的平分线的性质
1．角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到角两边的距离_____．
相等
2．符号语言：
如图2所示，
∵点P在∠AOB的角平分线OC上，
且PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E.
∴PD＝___．
PE
考点1 角的平分线的作法
典例1 课本中用尺规作图作已知角∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是( )
A．SAS B．ASA
C．SSS D．AAS
思路导析 根据作图得出符合全等三角形的判定．
考点2 角的平分线的性质定理
典例2 [2024·北京期末]如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.△ABC的面积为28，AB＝14，BC＝6，DE的长为( )
A．2 B．2.8
C．7 D．14
思路导析 本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DE＝DF，再根据三角形面积公式计算，得到答案．
变式 [2024·浦东新区期末]如图，BE是∠ABC的平分线，点D是BE上一点，点F为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为30，AB＝12，则线段DF的长不可能是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为( )
A．80 B．40
C．20 D．10
3．[2023·邯郸期中]嘉嘉要找到不等边三角形到三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是( )
4．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，
使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有( )
A．一处 B．二处
C．三处 D．四处
5．如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC
的距离为3，则点P到AB的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB
＝5，DC＝6，则△ABD的面积为___．
15
7．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD＋∠ABD＝180°，
CD＝2，则BD＝__．
2(共13张PPT)
第2课时 角的平分线的判定
知识点 角的平分线的判定定理
1．角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点
在角的_______上．
2．符号语言：如图所示，
∵PE⊥OA，PD⊥OB，___＝___，
∴点P在______________上(或∠____＝ ∠____ )．
平分线
PD
PE
∠AOB的平分线
AOC
BOC
考点 角的平分线的判定定理
典例 有下列四种说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离
相等 ②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ③角
的平分线上任意一点到角的两边的距离相等 ④△ABC中的∠BAC
的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等．其中正确的
有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路导析 根据角的平分线的性质和判定判断即可．
变式1 如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件：①∠AOC＝∠BOC ②PD＝PE ③OD＝OE ④∠DPO＝∠EPO.其中能判定OC是∠AOB的平分线的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
变式2 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，三角形的两个外角
∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝_____．
25°
1．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )
A．中线 B．垂直平分线
C．高 D．角平分线
2．如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC＝126°，则∠A的度数为( )
A．72° B．27°
C．54° D．108°
3．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD且
∠BAD＝60°，下列结论：①∠BAE＝30°②AE⊥DE ③BE＝CE
④AB＋CD＝AD.其中成立的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
4．[2024·牡丹江期末]如图，△ABC的外角∠ACN，∠MAC的平分线CP，AP交于点P，PE⊥AM于点E，PF⊥BN于点F，下列结论：①BP平分∠ABC ②∠ABC＋2∠APC＝180° ③∠CBA＝2∠CPB ④S△PAC＝S△EAP＋S△FCP.其中结论正确的为( )
A．①②④ B．①②③
C．①②③④ D．①③④
5．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，点D在BC上，
DE⊥AB，点E为垂足，且DC＝DE，连接AD，则∠ADB的大小为
________．
112.5°
6．如图，已知P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，
G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG.
求证：OC是∠AOB的平分线．(共27张PPT)
第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
知识点1 全等形与全等三角形
能够_________的两个图形叫作全等形．能够_________的两个
三角形叫作全等三角形．“全等”用符号“___”表示，读作
“_______”．
完全重合
完全重合
全等于
≌
知识点2 全等三角形的相关概念
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作_________，
重合的边叫作_______，重合的角叫作_______．
如图1所示，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A
和点__，点B和点__，点C和点__是对应顶点．
对应顶点
对应边
对应角
D
E
F
【注意】
用“≌”表示两个三角形全等，表示顶点的字母需一一对应．
知识点3 全等三角形的性质
1．全等三角形的_______相等．
符号语言：如图2所示，∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF，
AC＝DF.
2．全等三角形的_______相等．
符号语言：如图2所示，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F.
对应边
对应角
【拓展】
1．全等三角形不仅对应角相等、对应边相等，而且对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，全等三角形的周长相等，面积也相等，但周长或面积相等的两个三角形不一定全等．
2．利用全等三角形的性质可以解决求线段的长度、角的度数及线段间的大小、位置关系等问题．
考点1 全等形与全等三角形
典例1 [2024·重庆期中]下列各个选项中的两个图形属于全等形的是( )
思路导析 本题考查的是全等形的识别．根据能够完全重合的两个图形是全等形对各选项分析即可得解．
变式1 [2024·江阴市期末]下列说法正确的是( )
A．形状相同的两个图形一定全等
B．周长相等的两个图形是全等图形
C．两个正方形一定是全等图形
D．两个全等图形的面积一定相等
变式2 [2024·武汉期中]如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，点P为AC上的点(不与A，C重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…，按此规律，第5个图中有多少对全等三角形( )
A．15对 B．16对
C．18对 D．21对
考点2 全等三角形的相关概念
典例2 如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，则BC的对应边
是( )
A．CD B．CA
C．DA D．AB
思路导析 根据全等三角形中对应角所对的边是对应边，可知BC的对应边是DA.
变式 如图，△ABC≌△DBC，且∠A和∠D，∠ABC和∠DBC是对
应角，请写出三组对应边：
(1)_______；
(2)_______；
(3)_______；
另一组对应角：
(4)_____________．
AB和DB
AC和DC
BC和BC
∠ACB和∠DCB
考点3 全等三角形的性质
典例3 [2024·沙坪坝区期末]如图，若△ABE≌△CDF，BE＝5，DE＝3，则EF的长是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
思路导析 本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的对应边相等，得到BE＝DF＝5，而DE＝3，即可求出EF的长．
变式1 [2024·澄海区期末]如图，已知△ABC≌△DEC，点B和点E是对应顶点，若∠BCD＝140°，∠ACE＝20°，则∠ACD的度数为( )
A．60° B．55°
C．45° D．40°
变式2 [2024·长春期末]如图，已知△ACD≌△BCE，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在AC上，连接BE并延长交AD于点F.
(1)求证：BF⊥AD;
(2)若点F为线段AD的中点，△ABF的面积为10，
△ACD的面积为6，求四边形CEFD的面积．
解：(1)证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＋∠ADC＝90°，
∴∠CBE＋∠ADC＝90°，
∴∠BFD＝90°，即BF⊥AD；
(2)∵点F为线段AD的中点，BF⊥AD，
∴S△DBF＝S△ABF＝10，
∵△ACD≌△BCE，
∴S△ACD＝S△BCE＝6，
∴四边形CEFD的面积＝S△DBF－S△BCE＝10－6＝4.
1．[2023·惠州期末]下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是( )
2．[2024·集美区期末]如图，△ABE≌△BCD，点E在边BC上，AE与BD交于点F，∠BAE＝∠CBD，BD＝AE.下列角中，与∠BDC互补的是( )
A．∠C B．∠ABC
C．∠DFE D．∠AEC
3．[2024·潍坊期末]如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(2，0)，(0，3)，若△AOB≌△DCA，则点D的坐标是( )
A．(5，3) B．(2，5)
C．(5，2) D．(3，5)
4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠C＝95°，则∠EAD等
于_____．
55°
5．如图，△ABC≌△DEF，BF＝16，EC＝10，则EF＝___．
13
6．如图，已知∠A＝∠B＝90°，AB＝6，E，F分别是线段AB和
射线BD上的动点，且BF＝2BE，点G在射线AC上，连接EG，若
△AEG与△BEF全等，则线段AG的长为_____．
2或6
7．[2024·临淄区期中]如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，∠BAE＝46°，且△ABE≌△EDA.
(1)求∠ADE的度数；
(2)若△EDA≌△DEC，试判断AE与CD之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
解：(1)∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∵∠BAE＝46°，
∴∠B＝44°，
∵△ABE≌△EDA，
∴∠ADE的度数为44°；
(2)AE＝CD且AE∥CD；
理由：∵△EDA≌△DEC，
∴AE＝CD，∠AED＝∠CDE，
∴AE∥CD.
