(共36张PPT)
15.1.2 线段的垂直平分线
知识点1 段垂直平分线的性质
1．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段
两个端点的距离_____．
2．符号语言：如图1所示，
∵PC垂直平分AB(AC＝BC，PC⊥AB)，
∴___＝___．
相等
PA
PB
知识点2 线段垂直平分线的判定
1．线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点，在
这条线段的___________上．
2．符号语言：如图2所示，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线l上．
垂直平分线
知识点3 互逆命题与互逆定理
1．两个命题的题设、结论_________的命题叫作互逆命题．如
果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
2．原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
3．如果一个定理的逆命题经过证明是_______，那么它也是一个
定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理
的逆定理．
正好相反
真命题
知识点4 尺规作垂直平分线和对称轴
1．用尺规作线段的垂直平分线
已知：如图3，线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：(1)分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧相交于点C，D；
(2)过点C，D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂
直平分线．(如图4)
2．对称轴是任意一对对应点所连线段的_________
___．
垂直平分
线
3．画对称轴的步骤：
(1)找：找到任意一对_______；
(2)连：连接这对_______；
(3)画：画出对应点所连线段的___________．
对应点
对应点
垂直平分线
考点1 线段的垂直平分线的性质
典例1 [2024·西山区期末]如图，在△ABC中，线段AC的垂直平分线分别交AC，AB于点E，D，连接CD，若AB＝12，BC＝9，则△BCD的周长为( )
A．19 B．20
C．21 D．22
思路导析 根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等得到AD＝CD，进而求解即可．
变式 [2024·宁乡期末]如图，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，若∠PAQ＝40°，则∠BAC的度数是( )
A．140° B．110°
C．100° D．70°
考点2 线段的垂直平分线的判定
典例2 [2023·竹山县模拟]下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的依据是( )
A．垂直平分线的性质
B．角平分线的判定
C．角平分线的性质
D．垂直平分线的判定
思路导析 根据线段垂直平分线的判定可得结论．
变式 下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是( )
A．CA＝CB，DA＝DB
B．CA＝CB，CD⊥AB
C．CA＝DA，CB＝DB
D．CA＝CB，CD平分AB
考点3 线段的垂直平分线尺规作图的应用
典例3 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l和l外一点P.
求作：直线l的垂线，使它经过点P.
作法：如图2：
(1)在直线l上任取两点A，B；
(2)分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，
两弧相交于点Q；
(3)作直线PQ.
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是___________________________________
_____________________________________________.
到线段两个端点的距离相等的点在线段
的垂直平分线上(A，B都在线段PQ的垂直平分线上)
思路导析 只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．
变式 尺规作图：已知∠AOB和C，D两点，请在∠AOB内部用尺规作图找出一点E，使得点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等．(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，点E即为所求作．
考点4 互逆命题与互逆定理
典例4 下列说法错误的是( )
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题
D．定理的逆定理一定是真命题
思路导析 本题考查命题、定理、逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等概念，解题的关键是掌握基本概念，对各选项分析判断后利用排除法求解．
变式 命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是( )
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2
B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y|
D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
考点5 作图形的对称轴
典例5 画出下面图形的对称轴．
思路导析 第一幅图有1条对称轴，即过两圆圆心的直线；第二幅图有1条对称轴，即过顶端角平分线的直线；第三幅图有2条对称轴，即过相对角顶点的直线；第四幅图有1条对称轴，即过箭头角平分线的直线．
解：
变式 如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
(1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
(2)如果每一个小正方形的边长为1，请
直接写出△ABC的面积为______；
(3)顶点在格点，找出以BC为一边且与
△ABC全等(不与△ABC重合)的三角形，
这样的三角形在网格内共能画出______个.
解：(1)如图，直线l为所求作；
(2)3； (3)1.
1．判断下列命题：①对顶角相等 ②两条直线平行，同位角相等 ③全等三角形的各边对应相等 ④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是( )
A．①② B．①④
C．②④ D．②③
2．在△ABC的BC边上找一点P，使得PA＋PC＝BC.下面找法正确的是( )
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别是22 cm和14 cm，则BD的长为( )
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
4．[2024·拱墅区期末]如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线
交AC于点E，交BC于点D，若AB＝6，△ABD的周长为18，则BC的
长为___．
12
(1)你认为正确的结论有____________；(填序号)
(2)请你任选一个你认为正确的结论进行证明．
解：(1)①③⑤⑥；
(2)证明：对于①：∵AD＝CD，AB＝CB，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，
∴对角线BD平分一组对角∠ABC和∠ADC；
对于③：∵AD＝CD，AB＝CB，
∴点B，D在线段AC的垂直平分线上，(共31张PPT)
15.2 画轴对称的图形
知识点1 画成轴对称图形
1．关于某直线成轴对称的两个图形之间的关系：
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，
这个图形与原图形的_____、_____完全相同；
(2)新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的___
___点；
(3)连接任意一对对应点所连的线段被_______垂直平分．
大小
形状
对
称
对称轴
2．作成轴对称图形的方法：几何图形都可以看作由点组成，对
于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的___
___点，连接这些对称点，就可以得到原图形的成轴对称图形．
对
称
知识点2 用坐标表示轴对称
1．点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)，横坐标互为
相反数，纵坐标_____．
2．点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，横坐标不变，
纵坐标互为_______．
不变
相反数
考点1 画轴对称图形
典例1 如图，求作△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′.
思路导析 作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，可以把作对称图形的问题转化为作点的对称点的问题．
解：如图即为所求作．
变式 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了格点△ABC(顶点为网格线的交点)，l为过网格线的一条直线．
(1)作△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)如图，△A1B1C1为所求作；
(2)4(过程略)．
考点2 关于坐标轴对称的点的坐标
典例2 [2024·钱塘区期末]四盏灯笼的位置如图，已知A，B，C，D的坐标分别是(－4，4)，(－2，4)，(－1，4)，(4，4)，平移其中一盏灯，使得y轴两边的灯笼对称，下列说法正确的是( )
A．平移点A到(3，4)
B．平移点C到(2，4)
C．平移点C到(3，4)
D．平移点B到(2，4)
思路导析 观察各个点的坐标，根据关于y轴对称点的坐标特征判断A，D两点关于y轴对称，从而判断点A，D不动，点B或点C向右平移，根据选项及关于y轴对称点的坐标特征求出点C平移后的坐标即可．
变式1 [2024·济南期末]如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有四个格点A，B，C，D，建立平面直角坐标系，使点A点B关于x轴对称，且点A与点D的横坐标互为相反数，则点C的坐标是( )
A．(0，2) B．(2，0)
C．(0，1) D．(1，0)
变式2 若点P(a＋1，2－2a)关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为( )
变式3 [2024·市南区期末]点A(－2，1)关于x轴的对称点为B，
点B关于y轴的对称点为C，则点C的坐标为_________．
(2，－1)
考点3 关于坐标轴对称的图形
典例3 [2024·中牟县期末]如图，每个小方格都是边长为1的
正方形，四边形ABCD的顶点都在格点上，已知点C的坐标为
(－1，1)，点D的坐标为(－2，4)．
(1)建立平面直角坐标系，并写出点A，
B的坐标；
(2)若四边形ABCD各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘－1，请在同一平面直角坐标系中描出对应的点A1，B1，C1，D1，并依次连接这四个点，则所得的四边形A1B1C1D1与四边形ABCD有怎样的位置关系？
(3)计算四边形A1B1C1D1的面积．
思路导析 (1)根据C点坐标确定原点位置，再利用坐标系写出点的坐标即可；(2)利用坐标系确定点A1，B1，C1，D1的坐标，进而解答即可；(3)利用面积公式计算即可．
解：(1)如图所示：
A(－4，5)，B(－6，1)；
(2)所得的四边形A1B1C1D1与四
边形ABCD关于x轴对称；
(3)12.5(过程略)．
变式 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－5，2)，
B(－4，5)，C(－3，3)．
(1)画出△ABC；
(2)若△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，则点A1的坐标是____；
画出△A1B1C1；
(3)△A1B1C1的面积为________．
解：(1)如图，△ABC即为所求作；
(2)如图，点A1的坐标是(－5，－2)，
△A1B1C1即为所求作．
故答案为：(－5，－2)；
(3)2.5.
1．[2024·无锡期末]点P(m，1)与点Q(3，－1)关于x轴对称，则m的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
2．[2024·玄武区期末]在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－2，1)．将点A向右平移3个单位长度，得到点A1，再作点A1关于x轴的对称点，得到点A2，则点A2的坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，－1) D．(－1，－1)
3．[2024·兴宁期中]已知点P1(a－1，－5)和P2(－2，b－1)关于y轴对称，则(a＋b)2 025的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．(－3)2 025
4．[2024·中原区期末]如图，春节是中华民族的传统节日，人
们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美
好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，B两处灯笼的位置关于
y轴对称，若点B的坐标为(1，3)，则点A的坐标为_________．
(－1，3)
5．已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的
取值范围是 ．
6．在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的
坐标是_________．
(－2，2)
7．[2024·法库县期末]剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，
其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪
纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，
点A，B，C的坐标分别为(2，0)，(4，0)，(1，4)，则点D的坐
标为_______．
(5，4)
8．[2024·巫山县期末]如图，△ABC三个顶点坐标分别为
A(3，4)，B(1，2)，C(3，1)．
(1)A(3，4)关于y轴的对称点的坐标为________；
(2)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(3)已知P为x轴上一点，若△POC的面积与△ABC的面积相等，
求点P的坐标．
解：(1)(－3，4)；
(2)如图，△A1B1C1即为所求作；(共16张PPT)
第2课时 含30°角的直角三角形
知识点 含30 °角的直角三角形
1．性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所
对的直角边等于斜边的_____．
一半
【注意】
1．该性质适用于含有30°角的直角三角形，其他直角三角形不具备这一性质；
2．利用这个性质，主要可以进行有关线段的倍分的计算或证明；
3．该性质的证明源于等边三角形， 这个性质的使用往往与等边三角形联系密切；
4．遇到一般三角形中含有30°的角时，可以考虑添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
考点 含30 °角的直角三角形
典例 [2024·玉环期末]如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，则BE的长为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
思路导析 根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，再由等边三角形ABC的边长为8，得出BE的长．
A．6 B．5
C．4 D．3
1．[2024·河北区期末]如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC于点D，若∠B＝30°，BC＝8 cm，则BD的长为( )
A．7 cm B．6 cm
C．5.5 cm D．5 cm
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝2，则BC的长是( )
A．12 B．10
C．8 D．6
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BE＝3，则CE的长为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，直线DE是AB的垂直平分线，
AD恰好平分∠BAC.若DE＝2，则BC的长为__．
6
5．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，边AC的垂直平分线分别
交AC，BC于点E，D，若DE＝2，则BC＝___．
12
6．如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝15°，且AB＝6，则
△ABC的面积为__．
9
7．[2024·滨州期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线．
(1)求∠B的大小；
(2)求证：BC＝3DC.
解：(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠B＝∠BAD＝∠DAC，
∵∠B＋∠BAD＋∠DAC＝90°，
即3∠B＝90°，∴∠B＝30°；
(2)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC.
又∵在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，
∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2DC.
∴BC＝BD＋DC＝2DC＋DC＝3DC.(共28张PPT)
第十五章 轴对称
15.1 图形的轴对称
15.1.1 轴对称及其性质
知识点1 轴对称图形
如果一个平面图形沿一条_____折叠，直线两旁的部分能够___
_______，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的___
_____，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
直线
互
相重合
对
称轴
知识点2 两个图形成轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重
合，那么就说这两个图形_____________________，这条直线叫
作_______，折叠后重合的点是对应点，叫作_______．
关于这条直线成轴对称
对称轴
对称点
【注意】
1．轴对称图形和两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形，它反映了这个图形的特征；成轴对称是指两个图形成轴对称，它反映了两个图形的位置关系．
2．轴对称图形和两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形．
知识点3 线段垂直平分线的定义
经过线段_____并且_____于这条线段的直线，叫作这条线段的
垂直平分线．
中点
垂直
知识点4 轴对称的性质
1．成轴对称的两个图形_____．
2．成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴_____
_____．
3．无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴是
任何一对对称点所连线段的___________．
全等
垂直
平分
垂直平分线
【注意】
轴对称图形(成轴对称的两个图形)的对应边相等，对应角相等，两组对应点的连线平行或在一条直线上．
考点1 轴对称图形
典例1 [跨学科][2025·江北区模拟]下列四种实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
思路导析 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，由此即可判断．
变式1 如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂灰，使得3个涂灰的正方形组成一个轴对称图形，则选择的方法有( )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
变式2 [2024·济南期末]有一个英语单词，其四个字母都关于
直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的
单词所指的物品___．
书
考点2 两个图形成轴对称
典例2 下列每组图形中，左右两个图形成轴对称的是( )
思路导析 根据两个图形成轴对称的概念对各选项分析判断即可．
变式 下列各组图：
其中，左右两个图形成轴对称的是___．(填序号)
④
考点3 轴对称的性质
典例3 [2024·交城县期中]如图，△ABC与△A′B′C′关于直
线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是( )
A．∠ACB＝∠A′C′B′
B．BO＝B′O
C．AC⊥B′C′
D．AA′∥BB′
思路导析 根据轴对称的性质逐一判断即可．
变式1 数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为( )
A．60° B．30°
C．45° D．50°
变式2 [2024·茌平区期中]如图，∠AOB内有一点P，点P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5，则△PMN的周长是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
1．下列图形中，是轴对称图形的是( )
2．下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )
3．如图，点D与点D′关于AE对称，∠CED′＝56°，则∠AED的度数为( )
A．57° B．60°
C．62° D．67°
4．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球袋．若一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反弹)，则该球最后将落入的球袋是( )
A．1号袋 B．2号袋
C．3号袋 D．4号袋
5．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，连接BE，CD，CE，下列结论：
①l垂直平分CE
②∠BAE＝∠DAC
③△BCE≌△DEC
④直线BC，DE的交点一定在l上．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．[2024·高要区期末]将一张长方形纸片按如下步骤折叠：
(1)如图1，将纸片对折，点C落在点B处，得到折痕AP后展开纸
片；(2)如图2，将∠BPA对折，点B落在折痕AP上的点B′处，得
到折痕PM；(3)如图3，将∠CPM对折，点C落在折痕PM上的点C′
处，得到折痕PN，则∠MPN＝______°.
67.5
7．[2024·晋江期末]如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F.
(1)连接PE，PF，若MN＝12 cm，求△PEF的周长；
(2)若∠C＋∠D＝134°，求∠HPG的度数．
解：(1)C△PEF＝12cm(过程略)；
(2)∵∠C＋∠D＝134°，
∴∠A＋∠B＝360°－134°＝226°.
又∵PG⊥AD，PH⊥BC，
∴∠PGA＝∠PHB＝90°，
∴∠HPG＝540°－90°－90°－226°＝134°.
8．[2023·邯郸期末]如图，已知点P在∠AOB的内部，且点P与
点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB
于点R，MN分别交OA，OB于点E，F.
(1)连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF的周长；
(2)若PM＝PN，求证：OP平分∠AOB.
解：(1)∵点P与点M关于OA对称，
∴ME＝PE.
同理FN＝PF.
∴△PEF的周长＝EP＋FP＋EF＝ME＋EF＋FN＝MN＝15；(共23张PPT)
15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
知识点1 等边三角形的性质
性质：等边三角形的三个角都_____，
并且每一个内角都等于_____．
符号语言：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∠A＝____＝____＝_____．
相等
60°
∠B
∠C
60°
【注意】
等边三角形具有等腰三角形的所有性质，如“三线合一和轴对
称”等．
知识点2 等边三角形的判定
1．___条边相等的三角形是等边三角形．(定义)
符号语言：∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
2．___个角相等的三角形是等边三角形．
符号语言：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
三
三
3．有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，
∴△ABC是等边三角形．
60°
考点1 等边三角形的性质
典例1 [2024·贵州期末]如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为( )
A．30° B．20°
C．25° D．15°
变式1 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为( )
A．32 B．64
C．128 D．256
变式2 如图，在等边三角形ABC中，在BC边所在的直线上分别截
取BA＝BD，CA＝CE，连接AD，AE，则∠DAE的度数是______．
120°
考点2 等边三角形的判定
典例2 [2024·五华区期末]下列条件不能判断△ABC是等边三角形的是( )
A．∠A＝∠B＝∠C
B．AB＝BC，AC＝BC
C．AB＝BC，∠B＝60°
D．AB＝BC，∠A＝∠C
思路导析 利用等边三角形的判定方法一一判断即可．
变式1 若a，b，c是△ABC的边，且(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，则△ABC是( )
A．无法确定 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
变式2 [2024·和平区期末]如图，工人在某施工现场作业，有
一个长为1.6米的梯子(图中CM)斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角
为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子
(图中CN)的倾斜角为45°，那么MN的长是____米．
1.6
1．[2024·泗洪县期中]下列对△ABC的判断，错误的是( )
A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B．若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶7，则△ABC是直角三角形
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
2．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距( )
A．100海里 B．80海里
C．60海里 D．40海里
3．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是( )
A．10° B．15°
C．20° D．25°
4．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，点E为AD上一点，
∠CED＝65°，则∠ABE的度数是_____．
35°
5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，
AD＝5，则AB＝___．
10
①②③
7．[2023·东辽县期末]如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD.
(1)求证：△DEC是等腰三角形；
(2)当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
解：(证明：1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E＋∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD＋∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
(2)设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠EDC＝6α，∠E＝∠DCE＝60°－α，
∴6α＋60°－α＋60°－α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，(共19张PPT)
第2课时 等腰三角形的判定
知识点 等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是___________．(简写成“等角对等边”)
符号语言：如图所示，∵∠B ＝ ∠C，
∴___＝___．(等角对等边)
等腰三角形
AB
AC
【注意】
“等角对等边”并不是证明等腰三角形唯一的方法．等腰三角
形的定义也是判定一个三角形是等腰三角形的常用方法．
考点1 等腰三角形的判定
典例1 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，
则图中等腰三角形共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
变式 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
考点2 用尺规作等腰三角形
典例2 如图，在△ABC中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使PA＋PB＝BC，下列作法正确的是( )
思路导析 利用PA＋PB＝BC，则可判断PA＝PC，△APC为等腰三角形，然后利用基本作图对各选项进行判断．
解：(1)作图如图所示；
(2)通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的___________，
△AFH是_____三角形；
(3)若BC＝4，则△AFH的周长为__．
垂直平分线
等腰
8
1．[2024·富阳期末]如图，已知等腰三角形ABC，∠A是顶角，且∠A等于∠C的一半，BD是△ABC的角平分线，则该图中共有等腰三角形的个数是( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
2．下列能确定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝80°
B．∠A＝42°，∠B＝48°
C．∠A＝2∠B＝70°
D．AB＝4，BC＝5，周长为15
3．[2024·莒南县期末]如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧，交步骤1中的弧于点D；
步骤3：连接BD，交AC的延长线于点E.
下列叙述正确的是( )
A．BC平分∠ABD B．AB＝BD
C．AE＝BD D．BE＝DE
4．如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝
∠B.如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝__．
2
5．如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交
BC于点D，OE∥AC 交BC于点E，若△ODE的周长为10 cm，那么BC
的长为______．
10 cm
6．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝
∠D＝90°，AB＝10 m，CD＝5 m，则这块土地的面积为_______．
37.5 m2
7．如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺DEMN按如图摆放，
使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P.
(1)猜想△DOP是________三角形；
(2)证明你的猜想，写出解答过程．
解：(1)等腰；
(2)证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠BOP.
∵DN∥EM，∴∠DPO＝∠BOP，
∴∠DOP＝∠DPO，
∴△DOP是等腰三角形．(共23张PPT)
15.3 等腰三角形
15.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
知识点 等腰三角形的性质
1．等腰三角形的两个底角_____．(简写成“等边对等角”)
符号语言：如图1所示，∵AB＝AC，
∴____＝____．(等边对等角)
相等
∠B
∠C
2．等腰三角形的_____________________________重合．(简
写成“三线合一”)
符号语言：如图2所示，
(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴____＝____，DB＝DC；
(2)∵AB＝AC，DB＝DC，
∴∠1 ＝ ∠2，___⊥BC；
(3)∵AB＝AC，∠1 ＝ ∠2，
∴___＝___，___⊥___．
底边上的中线、高及顶角平分线
∠1
∠2
AD
BD
DC
AD
BC
3．等腰三角形是_______图形，它的对称轴是底边上的中线(顶
角平分线、底边上的高)所在的_____．
轴对称
直线
考点1 等腰三角形的性质1(“ 等边对等角”)
典例1 [2024·西湖区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为( )
A．30° B．35°
C．40° D．45°
思路导析 根据等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可．
变式 [分类讨论] [2024·鄞州区期末]等腰三角形的一个内角
是80°，则它顶角的度数是___________．
80°或20°
考点2 等腰三角形的性质2(“ 三线合一”)
典例2 [2024·南宁期末]如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，
立柱AD⊥BC，若∠BAD＝55°，则∠CAD＝____°.
思路导析 根据等腰三角形的性质即可得到∠CAD的度数．
55
变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在
边AB上，且BD＝BE.若∠BAC＝120°，则∠ADE的大小为____°.
15
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为( )
A．50° B．27°
C．64°或27° D．63°或27°
2．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等
于( )
A．60° B．65°
C．70° D．75°
3．[2024·南通期末]如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD
＝40°，则∠C＝____°.
35
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB
于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE＋PF＝__．
1
5．如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.
求证：BD＝CE.
证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB＝AC，
∴BP＝PC.
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP－DP＝PC－PE，
∴BD＝CE.
6．[2024·黔江区期末]在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD.
(1)如图1，求∠BAC的度数；
(2)如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：AF＝AB＋BC.
解：(1)设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝AD，
∴∠A＝x°，
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
∴∠BAC的度数为36°；
(2)∵E是AB的中点，BD＝AD，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠FAB＝72°，
∴∠AFB＝∠FAC＝36°，
∴CA＝CF，
∴AB＝AC＝CF，
∴AF＝BF＝BC＋CF＝AB＋BC.
7．[2023·德惠期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M.
(1)若∠B＝70°，则∠NMA的度数是________ ；
(2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
(3)连接MB，若AB＝8 cm，△MBC的周长是14 cm，
求BC的长．
解：(1)50°；
(2)∠NMA＝2∠B－90°.
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°－2∠B.
∵MN⊥AB，
∴∠NMA＝90°－∠A＝90°－180°＋2∠B＝2∠B－90°；
(3)∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴BM＋CM＝AC.
∵AB＝AC，AB＝8 cm，△MBC的周长是14 cm，
∴BC＝14－8＝6(cm)．
