(共17张PPT)
第2课时 积的乘方
2．[2024·石家庄模拟]下列各图中，能直观解释“(3a)2＝9a2”
的是( )
4．[2024·东湖区期末]下列运算正确的是( )
A．2a2＋3a2＝5a4 B．b3·b3＝2b3
C．(a2)5＝a10 D．(a3b)2＝a6b
5．[2024·盘龙区期末]下列计算正确的是( )
A．a5＋a5＝2a10
B．a3·a5＝a15
C．(－a2)4＝a8
D．(－4a2b)3＝－12a6b3
10．已知2m＝a，3m＝b，24m＝c，那么a，b，c之间满足的等量
关系是______．
c＝a3b
11．计算：
(1)a3·a5＋(a2)4＋(2a4)2；
(2)(－2x2)3＋x2·x4－(－3x3)2.
解：(1)6a8(过程略)；
(2)－16x6(过程略)．
12．幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如ambm＝(ab)m，则(ab)m＝ambm.(a，b为非负数，m为非负整数)请运用所学知识解答下列问题：
(1)已知2x＋3·3x＋3＝36x－2，求x的值；
(2)已知：3×2x＋3×4x＋3＝192，求x的值；
(3)已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535.
解：(1)∵2x＋3·3x＋3＝36x－2，
∴(2×3)x＋3＝(62)x－2，即6x＋3＝62(x－2)，
∴x＋3＝2(x－2)，
解得x＝7；
(2)∵3×2x＋3×4x＋3＝192，
∴2x＋3×22(x＋3)＝64，
∴23(x＋3)＝26，
∴3(x＋3)＝6，
解得x＝－1；
(3)∵p＝57，q＝75，
∴3535＝(357)5＝[(5×7)7]5＝(57)5×(77)5
＝(57)5×(75)7＝p5q7.
解：(1)a＝255＝(25)11＝3211；
b＝344＝(34)11＝8111；
c＝433＝(43)11＝6411；
∴3211＜6411＜8111，
即a＜c＜b；
(2)当xa＝2，xb＝5时，
x3a＋2b
＝x3a·x2b
＝(xa)3·(xb)2
＝23×52
＝8×25
＝200；(共24张PPT)
16.2 整式的乘法
第1课时 整式的乘法
1．[2024·通许县期中]下列计算正确的是( )
A．6x2·3xy＝9x3y3
B．2ab2·(－3ab)＝－6a2b3
C．m2n·(－m2n)＝－m3n3
D．－3x3y·(－3xy)＝9x3y2
2．(4×105)×(25×103)的计算结果是( )
A．100×108 B．1×1017
C．1010 D．100×1015
3．如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为2x＋5，x，2x，则这个木制的长方体的体积为( )
A．4x3＋10x2
B．4x3＋10x
C．4x2＋10x
D．4x2＋10x3
4．[2024·高坪区三模]已知m－2n＝1，则2n(m＋1)－m(1＋2n)＋3的值为( )
A．4 B．2
C．－4 D．－2
6．[2025·呼伦贝尔期中]如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7，那么m和n的值分别是( )
A．3，5 B．2，1
C．3，4 D．4，5
7．[2024·思明区期末]如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，
在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部
分折起，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的
有( )
A．纸盒的容积等于x(a－2x)(b－2x)
B．纸盒的外表面积为ab－4x2
C．纸盒的底面积为ab－2(a＋b)x－4x2
D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足a＝b＝3x
8．[2024·南宫期中]如图，下列整式中不能正确表示图中阴影部分面积的是( )
A．x2＋3(x＋2)
B．x(x＋3)＋2x
C．x(x＋3)＋6
D．(x＋3)(x＋2)－2x
9．[2024·呼兰区期末]图1是长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分(即两个长方形)的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1－S2的值是( )
A．8 B．16
C．12 D．32
10．[2024·东山县期中]利用多项式相乘的知识我们易得公式(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，我们直接套用公式可求得(3x－2)(5x＋3)＝15x2＋(－10＋9)x－6＝15x2－x－6，我们可以逆向运用这个公式，如果2x2－13x＋6＝(x－6)( )，那么括号里应该填( )
A．x＋1 B．2x－1
C．2x＋1 D．x－1
11．[2024·南昌期末]计算：(－5a4)·(－6ab3)＝______．
12．[2024·九台区期中]观察如图两个多项式相乘的运算过程，
若(x＋a)(x＋b)＝x2－9x＋14，根据你发现的规律，则a，b的
值可能分别是_____________________．
30a5b3
－2，－7(或－7，－2)
13．[2024·兴安盟期末]如图，长方形ABCD，则阴影部分面积
的表达式为____________．
解析：由图形得BC＝a＋2b，CD＝a＋b，
∴S阴影＝S大长方形ABCD－7×S小长方形＝(a＋2b)(a＋b)－7ab
＝a2＋ab＋2ab＋2b2－7ab＝a2－4ab＋2b2.
a2－4ab＋2b2
14．[2024·静宁县期末]计算：x(x＋2y)－(y－3x)(x＋y)．
解：4x2＋4xy－y2(过程略)．
15．[2024·乌海期末]【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：(a+b)2＝a2＋2ab＋b2(如图1)．利用“数形结合”的思想方
法，可以从代数角度解决图形问
题，也可以用图形关系解决代数
问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，回答下列问题：
(1)由图2可得等式： ___；
(2)由图3可得等式： ___；
(3)利用图3得到的结论，解决问题：已知a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝24，求a2＋b2＋c2的值．
解：(1)由图2知，大长方形的面积＝(2a＋b)(a＋b)，大长方形的面积＝2个边长为a小正方形的面积＋3个小长方形的面积＋1个边长为b的正方形面积＝a2＋a2＋b2＋3ab＝2a2＋b2＋3ab，
∴(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋b2＋3ab；
故答案为：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋b2＋3ab；
(2)由图3知，大正方形的面积＝(a＋b＋c)2，
大正方形的面积＝3个边长分别为a，b，c的正方形的面积＋2个长和宽分别为a，b小长方形的面积＋2个长和宽分别为a，c小长方形的面积＋2个长和宽分别为b，c小长方形的面积＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
故答案为：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
(3)由(2)知：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，
∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2ac＋2bc)，
＝(a＋b＋c)2－2(ab＋ac＋bc)，
把a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝24代入得：
a2＋b2＋c2＝102－2×24＝100－48＝52.
16. [推理能力][2024·思明区期中]阅读以下内容：
(x－1)(x＋1)＝x2－1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1，
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1……
根据这一规律，计算：1＋2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 024－22 025
＝____．
－1
17. [推理能力] [2024·广陵区期末]18世纪欧拉引进了求和符
号 （其中i≤n，且i和n表示正整数），对这个符号我们进
行如下定义： k表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，
＝i＋（i＋1）＋（i＋2）＋（i＋3）＋…＋n.例如：当i
＝1时， ＝1＋2＋3＋4＋…＋n.若 (x－k)(x－k＋1)＝3x2
＋px＋m，则m＝___．
20
解析：∵ （x－k）（x－k＋1）＝3x2＋px＋m，且3x2＋px＋m
中二次项系数为3，
∴n＝4，
∴ （x－k）（x－k＋1）＝（x－2）（x－1）＋（x－3）
（x－2）＋（x－4）（x－3）
＝x2－3x＋2＋x2－5x＋6＋x2－7x＋12
＝3x2－15x＋20,
∴ (x－k)(x－k＋1)＝3x2＋px＋m，
∴3x2－15x＋20＝3x2＋px＋m，
∴p＝－15，m＝20.(共19张PPT)
第十六章 整式的乘法
16．1 幂的运算
16．1.1 同底数幂的乘法
1．[2024·怀柔区期末]下列计算正确的是( )
A．a4·a3＝a B．a4·a3＝a7
C．a4·a3＝a12 D．a4·a3＝a64
3．下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是( )
A．(x－y)2(x＋y)3
B．(－x－y)(x＋y)2
C．(x＋y)2＋(x＋y)2
D．－(x－y)2(－x－y)3
4．下列幂的运算中，正确的是( )
A．(－a2)·(－a)2＝－a4
B．(－a)2·(－a)2＝－a4
C．(－a)·(－a)3＝－a4
D．(－a)·(－a2)＝－a4
5．[2023·镇江]如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2x＋2y)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x＋y的值等于( )
A．128 B．64
C．32 D．16
6．[2024·邢台期末]若2n·2n＝2n＋2n＋2n＋2n，则n的值
为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
7.[新定义][2024·平湖期末]我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an＝am＋n(其中a≠0，m，n为正整数)．类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f(m＋n)＝f(m)·f(n)．若f(4)＝k(k≠0)，那么f(2 024)的结果是( )
A．2 024k B．k2 024
C．506k D．k506
8．[2024·苏州]计算：x3·x2＝__．
9．[2024·呼和浩特期中]若xm＝2，xn＝3，则xm＋n＝__．
10．[2024·赤峰期末]已知x＋y－3＝0，则3x·3y的值为___．
11．[2024·奉贤区期中]计算：(a－b)5·(b－a)4＝_______．
(结果用幂的形式表示)
x5
6
27
(a－b)9
a＋c＝b
2
14．计算：
(1)(－x2)·x4＋x·x5；
(2)(a－b)2·(b－a)3·(a－b)．
解：(1)0(过程略)；
(2)－(a－b)6(过程略)．
15．[2024·莱西期中]将如图所示的长为1.5×102 cm，宽为1.2×102 cm，高为0.8×102 cm的大理石运往某地用以建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．(结果用科学记数法表示)
解：1.5×102×1.2×102×0.8×102
＝(1.5×1.2×0.8)×(102×102×102)
＝1.44×106(cm3)
所以每块大理石的体积为1.44×106 cm3.
16.[新定义][2024·西岗区期末]规定两数a，b之间的一种运算，
记作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c.例如：因为24＝16，所
以[2，16]＝4.
(1)[3，27]＝ ，[ ，－8]＝3；
(2)令1＝[－2，－2]，2＝[－2，4]，3＝[－2，－8]，
4＝[－2，16]，5＝[－2，－32]……则9＝[－2，______]，
n＝[－2，______]；
(3)令n＝[－2，b1]，n＋1＝[－2，b2]，n＋2＝[－2，b3]，
若b1＋b2＋b3＝3 072，求n的值．
解：(1)3，－2；
(2)－512，(－2)n；
(3)∵n＝[－2，b1]，n＋1＝[－2，b2]，
n＋2＝[－2，b3]，
∴b1＝(－2)n，b2＝(－2)n＋1，b3＝(－2)n＋2，
∵b1＋b2＋b3＝3 072，
∴(－2)n＋(－2)n＋1＋(－2)n＋2＝3 072，
(－2)n[1＋(－2)＋(－2)2]＝3 072，
3×(－2)n＝3 072，
(－2)n＝1 024，
∴n＝10.
17. [推理能力][2024·泉州期中]一般地，n个相同的因数a相乘a·a·…·a，记为an，其中a称为底数，n称为指数；若已知2x＝32，易知x＝5，若2x＝33，则该如何表示x？一般地，如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．如34＝81，则4叫作以3为底81的对数，记为log381＝4；故2x＝33中，x＝log233.
(1)熟悉下列表示法，并填空：
∵21＝2，
∴log22＝1，
∵22＝4，
∴log24＝2，
∵23＝8，
∴log28＝3，
∵24＝16，
∴log216＝ ，
计算：log232＝ ；
(2)观察(1)中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24＋log28＝ ；(用对数表示结果)
(3)于是我们猜想：logaM＋logaN＝ (a≠1，M>0，N>0)．请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论．
解：(1)4，5；
(2)由(1)可得，log24＋log28＝2＋3＝5＝log232，
故答案为：log232；
(3)logaM＋logaN＝logaMN，
证明：设x＝logaM，y＝logaN，则ax＝M，ay＝N，
∴ax·ay＝MN，
即ax＋y＝MN，
∴x＋y＝logaMN，
∴logaM＋logaN＝logaMN.(共30张PPT)
16．3.2 完全平方公式
1．[2024·呼和浩特]下列运算正确的是( )
A．(3x)3＝9x3
B．(x－2)2＝x2－4
C．(－2ab2)2＝4a2b4
D．3a＋4b＝7ab
2．下列多项式中可以用完全平方公式计算的是( )
A．(a－2b)(2a－b)
B．(a－2b)(－2b－a)
C．(－a－2b)(－2b＋a)
D．(a－2b)(2b－a)
4．[2023·攀枝花]我们可以利用图形中的面积关系来解释很多
代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图
形的面积关系能正确解释相应的代
数恒等式的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．[2024·鼓楼区期中]小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“4x2●＋25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是( )
A．＋10xy B．＋10xy或－10xy
C．＋20xy D．＋20xy或－20xy
6．[2024·海伦期末]若a＋b＝8，a2＋b2＝74，则ab的值
为( )
A．－10 B．－5
C．5 D．10
7．[2024·庐江县期末]如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为a米，b米，其面积之和比剩余面积(阴影部分)多1平方米．则主卧与客卧的周长差为( )
A．1米 B．2米
C．4米 D．8米
8.[新定义][2024·立山区期中]定义a※b＝a(b－1)，例如2※3
＝2×(3－1)＝2×2＝4，则(x－1)※x的结果为( )
A．x2＋2x＋1 B．x2－x
C．x2－1 D．x2－2x＋1
9. [数学传统文化][2024·黔江区期末](a＋b)n(n为非负整数)
当n＝0，1，2，
3……时的展开情况如下所示：
(a＋b)0＝1
(a＋b)1＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”(如图)，他揭示了(a＋b)n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为(a＋b)8展开式中所有项系数的和应该是( )
A．128 B．256
C．512 D．1 024
10．[2024·巴南区期末]已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝13，则x2
＋y2的值为___．
11．[2024·静安区期末]计算(a－b＋c)2＝__________________
_______．
12．[2024·南开区期末]若a2＋2(m－3)a＋16是完全平方式，则
m的值为_______．
19
a2－2ab＋b2＋2ac－
2bc＋c2
7或－1
13．[2024·白云区期末]如图，以长方形ABCD的四条边为边向
外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长
之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为__．
6
14．[2024·兴安盟期末]现有若干张如图1所示的三种卡片，A种
卡片是边长为a的正方形，B种卡片是边长为b的正方形，C种卡片
是长为b、宽为a的长方形．
(1)若要拼出一个面积为(a＋2b)(3a＋b)的长方形，则需要A种卡片 张，B种卡片 张，C种卡片 张；
(2)①利用4张C种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于(b＋a)2，(b－a)2，ab的等量关系式： ___；
②如图3，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为m，n(m>n)，若m＋n＝8，mn＝5，E是AB的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和．
解：(1)∵(a＋2b)(3a＋b)＝3a2＋7ab＋2b2，
∴需要A种卡片3张，B种卡片2张，C种卡片7张．
故答案为：3；2；7；
(2)①小正方形可以是(b－a)2，也可以是(b＋a)2－4ab，
∴(b＋a)2－4ab＝(b－a)2.
故答案为：(b＋a)2－4ab＝(b－a)2；
15．[2024·河北区期末]先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3.
问题：(1)若x2＋2y2－2xy－4y＋4＝0，求xy的值；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
解：(1)x2＋2y2－2xy－4y＋4
＝x2－2xy＋y2＋y2－4y＋4
＝(x－y)2＋(y－2)2
＝0，
∴x－y＝0，y－2＝0，
解得x＝2，y＝2，
∴xy＝22＝4；
(2)∵a2＋b2＝10a＋8b－41，
∴a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0，
即(a－5)2＋(b－4)2＝0，
a－5＝0，b－4＝0，
解得a＝5，b＝4，∴1＜c＜9，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9.
16.[数学文化]《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．(下列各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)
公式①：(a＋b＋c)d＝ad＋bd＋cd；
公式②：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；
公式③：(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
公式④：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
图1对应公式___，图2对应公式___，图3对应公式___，图4对应
公式___．
①
②
④
③
17.[数学结合][2024·宁乡期末]【阅读理解】
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，利用了如图1的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为a2－b2，也可转化成一个一边长为(a＋b)，另一边长为(a－b)的长方形，其阴影部分面积为(a＋b)(a－b)，由于阴影部分面积相同，因此有(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
【类比探究】
如图2是一个长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分
成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．
(如图3)
(1)观察图3请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关
系： ___；(共27张PPT)
第2课时 整式的除法
1．[2024·烟台]下列计算结果为a6的是( )
A．a2·a3 B．a12÷a2
C．a3＋a3 D．(a2)3
2．[2024·广东]下列计算正确的是( )
A．a2·a5＝a10 B．a8÷a2＝a4
C．－2a＋5a＝7a D．(a2)5＝a10
3．[2024·雅安]计算(1－3)0的结果是( )
A．－2 B．0
C．1 D．4
5．[2023·乌兰察布期末]小亮在计算(6x3y－3x2y2)÷3xy时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是( )
A．2x2－xy B．2x2＋xy
C．4x4－x2y2 D．无法计算
①②③⑤
7．[2024·徐汇区期中]计算(4×102)3÷(－2×103)的结果
是__________．
8．[2024·万州区期末]若一个多项式M与单项式2x2的积是
10x4－8x5，则这个多项式M是________．
9．[2024·红河县期末]已知长方形面积为6y4－3x2y3＋x2y2，
它的一边长为3y2，则这个长方形另外一边长为 ．
－3.2×104
5x2－4x3
8m3＋9m－10
11．[2024·东阳期末]在求多项式除以多项式时，可类似于正整
数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可
求得(x2－3x＋11)÷(x＋2)的商式为x－5，余式为21，如图所示．
运用此方法，那么(3x3＋2x2＋x＋5)÷(x＋1)的
商式为_________，余式为__．
3x2－x＋2
3
解：原式＝－8x2y＋6xy＋xy4.
13．[2024·江安县期中]化简求值：[(x－y)2－x(3x－2y)＋
(x＋y)(x－y)]÷2x，其中x＝1，y＝－2.
14．已知A，B均为整式，A＝(xy＋1)(xy－2)－2x2y2＋2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“－”，这样他计算的正确结果为－x2y2.
(1)将整式A化为最简形式；
(2)求整式B；
(3)求A÷B的正确结果．
解：(1)A＝(xy＋1)(xy－2)－2x2y2＋2，
＝x2y2－2xy＋xy－2－2x2y2＋2，
＝－x2y2－xy；
(2)由题意，得A－B＝－x2y2.
由(1)知A＝－x2y2－xy，
∴－x2y2－xy－B＝－x2y2，
∴B＝－xy；
(3)由(1)知A＝－x2y2－xy，
由(2)知B＝－xy，
∴A÷B＝(－x2y2－xy)÷(－xy)＝xy＋1.
故A÷B的正确结果xy＋1.
15．[2025·吕梁期末]在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．
若某种加密规则如图所示，当发送方发
出a＝－4，b＝3，求解密后m，n的值．
16.[推理能力][2024·永吉县期末]阅读材料．
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(1550—1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(1707—1783年)才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N(a>0，a≠1)，那么x叫作a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式4＝log381可以转化为指数式34＝81.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)．理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M·N＝am·an＝am＋n，
由对数的定义，得m＋n＝loga(M·N)，
又∵m＋n＝logaM＋logaN，
∴loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(1)用含a，b的代数式表示：
①甲走到点C时，用时 秒；
②当甲走到点C时，乙走了 ___米；
③当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是 平方米；
④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时 秒；
(2)它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间；如果没有，简要说明理由．(共16张PPT)
16．1.2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
1．[2024·河西区期末]计算(x2)4的结果是( )
A．x6 B．x8
C．x10 D．x16
2．[2024·肃南县期末]已知(2□)2＝26，则“□”内填( )
A．6 B．5
C．4 D．3
3．[2024·河北模拟]下列计算正确的是( )
A．4a－2a＝2 B．a2·a4＝a8
C．(a3)2＝a6 D．－(a－b)＝－a－b
4．[2024·滨海新区期末]已知am＝2，则a2m＋a3m＝( )
A．10 B．12
C．13 D．32
5．[2024·衡阳县期中]已知10x＝2，10y＝3，则102x＋3y等
于( )
A．36 B．72
C．108 D．24
6．[2024·康县期末]已知m，n均为正整数，且2m＋3n＝5，则4m·8n＝( )
A．16 B．25
C．32 D．64
7．若3m·3n＝35，(xm)2＝x4，则mn的值是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
8．[2024·琼中县期末]已知a＝313，b＝96，c＝275，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
9．[2024·青浦区期末]计算：－x2·(－x2)3＝__．
10．[2024·包头期中]已知2x＝3，4y＝5，则2x＋2y的值为___．
11．[2024·天河区期末]若3x＋y－8＝0，则8x·2y的结果是____．
12．[2025·包头期中]已知a＝166，b＝89，c＝413，则a，b，c
的大小关系为________．
13．[2024·伊通县期末]已知2x＝4y＋1，27y＝3x－1，则x－y的值
为__．
x8
15
256
a＜c＜b
3
解：(1)－a26(过程略)；
(2)－5x14(过程略)．
15．[2023·金乡县期末]在幂的运算中规定：若ax＝ay(a＞0且a≠1，x，y是正整数)，则x＝y.利用上面结论解答下列问题：
(1)若9x＝36，求x的值；
(2)若3x＋2－3x＋1＝18，求x的值．
解：(1)∵9x＝36，
∴32x＝36，
∴2x＝6，
解得x＝3；
(2)∵3x＋2－3x＋1＝18，
∴3x＋1×3－3x＋1＝18，2×3x＋1＝2×32，
∴x＋1＝2，
解得x＝1.
32
17. [新定义+推理能力][2024·渠县期中]规定两数a，b之间
的一种运算，记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.例如：
因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，填空：(4，64)＝ ，( ，－27)
＝3，(42，48)＝ _；
(2)若(5，3)＝a，(5，8)＝b，(5，24)＝c，请你尝试运用上述
运算证明：a＋b＝c.
解：(1)3，－3，4；
(2)证明：∵(5，3)＝a，(5，8)＝b，(5，24)＝c，
∴由新定义可得5a＝3，5b＝8，5c＝24，
∵3×8＝24，
∴5a·5b＝5c，
∴a＋b＝c.(共22张PPT)
16.3 乘法公式
16．3.1 平方差公式
1．[2024·云岩区期末]已知a＋b＝3，a－b＝2，则a2－b2
等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．[2024·庐江县期末]下列各式能用平方差公式计算的
是( )
A．(a＋b)(－a－b) B．(a＋b)(b＋a)
C．(a－b)(b－a) D．(b－a)(－a－b)
3．[2024·武汉期末]在运用乘法公式计算(2x－y＋3)(2x＋y－3)
时，下列变形正确的是( )
A．[(2x－y)＋3][(2x＋y)－3]
B．[(2x－y)＋3][(2x－y)－3]
C．[2x－(y＋3)][2x＋(y－3)]
D．[2x－(y－3)][2x＋(y－3)]
4．[2024·通许县期中]如果x2－y2＝4，则(x－y)2(x＋y)2的值为( )
A．4 B．16
C．24 D．32
5．[2024·阎良区期末]为了美化校园，学校把一个边长为a米(a>4)的正方形跳远沙池的一边增加1米，相邻的一边减少1米改造成长为(a＋1)米，宽为(a－1)米的长方形跳远沙池．如果这样，则沙池的面积会( )
A．变小 B．变大a平方米
C．没有变化 D．变大1平方米
6．若(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)＝45，则x2＋y2＝( )
A．9 B．7
C．±7 D．±9
8．[2025·鄂尔多斯期末]在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是( )
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②④
9．[2024·南开区期末]计算(3y＋2)(3y－2)的结果为______．
10.[整体思想][2024·长宁县期中]已知a2＋a＝2，则代数式
(a＋2)(a－2)＋a(a＋2)值为__．
9y2－4
0
11．[2024·赤峰期末]下列式子：①(x－y)(x＋y) ②(－x－y)
(x＋y) ③(x－y)(y－x) ④(x＋y)(－y＋x) ⑤(y＋x)(－y－x)
⑥(－x＋y)(－x－y)中．符合平方差公式特征的有_______．
(填序号)
①④⑥
12．[2024·苏州期末]图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践
基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n
的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八
(1)(2)两个班级的基地面积．若m＋n＝8，m－n＝2，则S1－S2
＝___．
16
13．[2024·武都区期末]计算：(3x＋y)(y－3x)－x(3y－9x)．
解：y2－3xy(过程略)．
14．[2024·邢台期末]黄老师在黑板上布置了一道题目，针对这道题目嘉嘉和淇淇展开下面的讨论：
根据上述情景，解答下列问题：
(1)你认为谁的说法正确？并说明理由；
(2)当x＝－1，y＝0时，求代数式的值．
解：(1)原式＝4x2－y2＋2xy－8x2－y2＋4xy＋2y2－6xy＝－4x2，
淇淇正确，因为化简结果与y的值无关；
(2)将x＝－1，y＝0代入，
原式＝－4×(－1)2＝－4.
15.[新定义][2024·汕尾期末]定义一种新运算“☆”，规定有理数a☆b＝(a＋b)(a－b)，例如4☆3＝(4＋3)(4－3)＝7×1＝7.
(1)计算：3☆(－5)；
(2)计算：(－5)☆3；
(3)求a☆b与b☆a之间的关系．
解：(1)3☆(－5)
＝(3－5)×[3－(－5)]
＝－2×8
＝－16；
(2)(－5)☆3
＝(－5＋3)×(－5－3)
＝－2×(－8)
＝16；
(3)a☆b＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
b☆a＝(b＋a)(b－a)＝b2－a2，
故a☆b与b☆a互为相反数．
16. [新定义][2024·南关区期末]若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是( )
A．205 B．250
C．502 D．520
17．[2023·湛江期末]【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2的长方形．
(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 ， ____；
(2)比较两图的阴影部分面积，可
以得到乘法公式： (用字母a，
b表示)；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
(3)已知2m－n＝3，2m＋n＝4，则4m2－n2的值为 ；
(4)计算：(x－3)(x＋3)(x2＋9)；
【拓展】(5)计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)的结果为 ___；
(6)计算：1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.
解：【探究】(1)a2－b2，(a＋b)(a－b)；
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
【应用】(3)12；
(4)(x－3)(x＋3)(x2＋9)＝(x2－9)(x2＋9)＝x4－81；
【拓展】(5)264－1；
(6)∵1002－992＝(100＋99)(100－99)＝100＋99，
982－972＝(98＋97)(98－97)＝98＋97，
…，
22－12＝(2＋1)(2－1)＝2＋1，
∴原式＝100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝5 050.
