(共18张PPT)
第十三章 三角形
13．1 三角形的概念
1．[2024·和静县期中]如图所示，其中三角形的个数是( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．[2025·宁波期末]如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
3．[2024·扶沟县期中]如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是( )
A．①对，②不对
B．①不对，②对
C．①，②都不对
D．①，②都对
4．如图是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是( )
5．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点
C在射线BD上向右移动，则( )
A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角
三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
6．如图，以FC为边的三角形有__个．
2
7．[2024·营口期中]如果依次用a1，a2，a3，a4分别表示图1、
图2、图3、图4内三角形的个数，那么a1＝3，a2＝8，a3＝15，
a4＝___．
24
8．(1)图中共有6个三角形，它们分别是______________________
____________________；
(2)以AE为边的三角形有____________________；
(3)∠C分别是△AEC，△ADC，△ABC中___，___，___边的对角；
(4)∠B是______，______，______的内角；
∠AED是______，______的内角．
△ABD, △ABE，△ABC，
△ADE，△ADC，△AEC
△ABE，△ADE，△AEC
AE
AD
AB
△ABD
△ABE
△ABC
△ADE
△ABE
9．[2024·浙江期末]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°.动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是( )
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
10．[2023·北仑区期末]我们把由三根长度为1的火柴棒围成的
三角形称为单位三角形(如图①)，现按如图所示的方式拼搭图形，
则第④个图中共有___个单位三角形；若要拼出64个单位三角形，
则需要____根火柴棒．
16
108
11．[2024·姑苏区期中]如图，图①中有1个三角形，在图①中
的三角形内部(不含边界)取一点，连接该点与三角形的3个顶点
得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形
内部(不含边界)取一点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到
图③.在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．(写
出所有可能的值)
解：如图所示，共有两种情况：
①两点不在同一直线上，分别连接三个顶点，共有7个三角形；
②两点在同一直线上，分别连接三个顶点，共有9个三角形．
故答案为：7或9.
12．如图，在△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形……
(1)完成表格：
(2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
(3)若一直连接到An，则图中共有 ____ 个三角形.13.2 与三角形有关的线段
连接个数 ____ ____ ____ ____ ____ ____
出现三角
形个数 ____ ____ ____ ____ ____ ____
解：(1)
连接个数 1 2 3 4 5 6
出现三角
形个数 3 6 10 15 21 28(共29张PPT)
13.3 三角形的内角与外角
13．3.1 三角形的内角
1．[2024·长沙]如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
2．根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A．∠B＝50° ，∠C＝40°
B．∠B＝∠C＝45°
C．∠A，∠B，∠C的度数比为5∶3∶2
D．∠A－∠B＝90°
3．[2024·坪山区期末]如图，在△ABC中，∠B＝56°，∠C＝37°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，则∠DAE的度数
为( )
A．7.5° B．8.5°
C．9.5° D．10.5°
4．[2023·德宏州期末]如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1＋∠2＝230°，则∠A等于( )
A．35° B．50°
C．65° D．70°
5．[2023·衢州]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是( )
A．∠BEA B．∠DEB
C．∠ECA D．∠ADO
6.[双角平分线模型][2024·恩平市期末]如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠BOC＝120°，则∠A＝( )
A．30° B．40°
C．55° D．60°
7．[2024·兰州期末]如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE是∠ACB的平分线，BD，CE交于点F.若∠AEC＝80°，∠BFC＝128°，则∠ABC的度数是( )
A．28° B．38°
C．42° D．62°
8．[2024·张家港市期中]如果一个三角形的两个内角α与β满足α－β＝90°，那么我们称这样的三角形为“差余三角形”．已知△ABC是“差余三角形”，且∠A＝110°，则∠B的度数为( )
A．20°或60°
B．50°或60°
C．20°或50°
D．30°或40°
9．[2024·罗湖区期末]如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A＝50°，
∠C＝70°，则∠ADE的度数是_____．
60°
22.5
11．[2024·凉山州]如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数
是______．
100°
12．如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分
别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC是___________．
直角三角形
13.[双角平分线模型][2024·李沧区期末]如图，点M，N分别在
OA，OB上，MC平分∠AMN，NC平分∠BNM.若∠AOB＝68°，则∠MCN
的度数为____°.
56
14．[2022·北京]下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助
线的方法，选择其中一种，完成证明．
证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°.
15．在△ABC中，∠C>∠B.
(1)如图1，AD，AE分别是△ABC的高、角平分线，若∠C＝83°，∠B＝37°，求∠EAD的度数；
(2)如图2，AE是△ABC的角平分线，若F为AE上一点，过点F作FM⊥BC于点M，请探究∠EFM与∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，AE是△ABC的角平分线，若F为AE的延长线上一点，过点F作FM⊥BC于点M，请问(2)中∠EFM与∠B，∠C之间的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
16.[模型观念]AD是△ABC的高，若∠BAD＝60°，∠CAD＝40°，
则∠BAC的度数是____________．
20°或100°
17．[2025·包头期末]已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，
过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G.
解：(1)如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°，
∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°，
∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°，
∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝45°，
∴∠CFD＝45°，∴∠G＝∠CFD－∠CBG＝45°－20°＝25°；
(2)如图2，∠A＝2∠G，理由：
由(1)知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，
设∠ABG＝x，∠CDF＝y，(共17张PPT)
13.2 与三角形有关的线段
13．2.1 三角形的边
1．如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理
是( )
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．两直线平行，内错角相等
2．[2023·宿迁]以下列每组数为长度(单位：cm)的三根小木棒，其中能搭成三角形的是( )
A．2，2，4 B．1，2，3
C．3，4，5 D．3，4，8
3．[2024·廊坊模拟]一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
4．[2024·浏阳市期末]如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝12 cm，则折叠凳的宽AB可能为( )
A．20 cm
B．24 cm
C．30 cm
D．36 cm
5．[2024·永吉县期末]如图，小明将△ABC沿虚线剪去一个角得到四边形BCDE，设△ABC与四边形BCDE的周长分别为x和y，则x与y的大小关系是( )
A．无法比较 B．x＝y
C．x>y D．x6．[2024·白云区期末]如图，用AB，BC，CD，AD四条钢条固定成一个方框，相邻钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小、重叠部分．若AB＝5，BC＝9，CD＝7，AD＝6，则所固定成的方框中，两个顶点的距离最大值是( )
A．14 B．16
C．13 D．11
7．[2024·永吉县期末]如图，我国某部队战士在射击训练时，
手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有_______．
8．我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，
有一个五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉__根木条．
稳定性
2
9．[2025·呼和浩特期末]用两根长度分别为3 cm和5 cm的细木
条做一个三角形的框架，需要将其中一根木条分为两段，如果不
考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是___________．
10．[2024·宁明县期中]已知a，b，c分别是△ABC的三边长，a，
b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为___．
5 cm的木条
15
11．[2025·乌兰察布期末]为方便劳动技术小组实践教学，需用
篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这
三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转
动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的
长度可以为______________m．(写一个即可)
4(答案不唯一)
12．[2024·江津区期中]已知a，b，c是△ABC的三条边长，化
简|a＋b－c|＋|a－b－c|的结果为___．
13．已知一个三角形的三边长分别为3，2a－1，10，则|a－7|
－|a－4|＝_______．
2b
11－2a
14．[2024·双辽市期末]在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12 cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框．
(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，
第二段的长比第一段的3倍少2 cm.试判断第
一段的长能否为3 cm，并说明理由；
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4 cm和CD＝8 cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度．
解：(1)第一段的长不能为3 cm.
理由如下：
根据题意，第一段长a cm，第二段的长(3a－2) cm，第三段的长为[12－a－(3a－2)]＝(14－4a) cm，
当a＝3 cm时，3a－2＝7 cm，14－4a＝2 cm，
∵3＋2<7，
∴三根木棒不能制作一个三角形木框，
∴第一段的长不能为3 cm；
(2)设CP＝x cm，则PD＝(8－x) cm，
∵AB，CP，PD能组成三角形，
∴x＋4>8－x且4＋8－x>x，
解得2∴整数x为3或4或5，
即符合条件的CP的整数长度为3 cm或4 cm或5 cm.
15.[类比思想][2023·梁子湖区期中]如图1，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得AB＋AD>_ ，PD＋CD> ．将不等式左边、右边分别相加，得AB＋AD＋PD＋CD> ，即AB＋AC> ．
(1)补全上面步骤；
(2)仿照图1的方法，请你利用图2，
过P作直线交AB，AC于点M，N，证明：AB＋AC>PB＋PC.
解：(1)由三角形的两边之和大于第三边，得AB＋AD>BD，PD＋CD>PC，
将不等式两边相加得AB＋AD＋PD＋CD>BD＋PC，
即AB＋AC>BP＋PC；
故答案为：BD；PC；BD＋PC；BP＋PC；
(2)在△AMN中，AM＋AN>MN，
在△MPB中，MP＋MB>BP，
在△NPC中，NP＋NC>PC，
将三个不等式相加得AM＋AN＋MB＋MP＋PN＋NC>MP＋NP＋PB＋PC，
即AB＋AC>BP＋PC.(共32张PPT)
13．3.2 三角形的外角
1．[2024·盘龙区期末]将一副直角三角尺按如图放置，则∠α的大小为( )
A．95° B．100°
C．105° D．110°
2.[8字模型][2024·五华区期中]如图，∠α的度数为( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
3．[2024·潮阳区期末]如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为( )
A．增大10° B．减小10°
C．增大30° D．减小30°
4.[双角平分线模型][2024·武汉期中]如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，给出下列结论，其中错误的是( )
A．∠1＝2∠2
B．∠BOC＝3∠2
C．∠BOC＝90°＋ ∠1
D．∠BOC＝90°＋∠2
5. [双角平分线模型][2024·天镇县期中]如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2 025，则∠A2 025的度数是( )
6．问题“如图，∠BDC＝110°，∠A＝∠C＝40°，求∠B的度数”的解法有如下两种方法，下列说法正确的是( )
方法Ⅰ
①如图，延长CD交AB于点E；
②计算∠C＋∠A得∠CEB的值；
③计算∠BDC－
∠CEB即可．
方法Ⅱ
①如图，连接BC；
②计算180°－∠A得∠ABC＋∠ACB的值；
③计算180°－∠BDC得∠1＋
∠2的值；
④计算(∠ABC＋∠ACB)－
(∠1＋∠2)－∠3即可．
A.只有Ⅰ对 B．只有Ⅱ对
C．Ⅰ，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对
7．[2024·成华区期末]如图，点E是△ABC的外角∠CBD内部一
点，满足∠CAB＝3∠EAB，∠CBD＝3∠EBD.若∠C＝42°，则
∠E的度数是_____．
14°
8．体育课上的侧压腿动作(图1)可以抽象为几何图形(图2)，如
果∠1＝118°，则∠2等于_____．
28°
9．[2024·东昌府区期末]把一副三角尺按如图所示放置，如果
不计三角尺的厚度，图中∠α的度数是_____．
75°
10．[2024·忻州期中]如图，△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后，
得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．
260°
11．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC
边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝36°，则∠CDE＝_____．
18°
12．[2024·砀山县期末]如图，五角星的顶点分别是A，B，C，
D，E，那么∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝______．
180°
13. [双角平分线模型]在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的
平分线相交于点P，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线
相交于点Q.若∠Q＝55°，则∠BPC＝_____°.
125
14．[2024·鹿邑县期中]如图，∠ACE是△ABC的一个外角，CD平分∠ACE，交BA的延长线于点D.
(1)若∠ACB＝∠B＝20°，求∠D的度数；
(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠D.
(2)证明：∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
又∵∠BAC＝∠D＋∠ACD，
∴∠BAC＝∠D＋∠DCE，
又∵∠DCE＝∠B＋∠D，
∴∠BAC＝∠D＋∠B＋∠D＝∠B＋2∠D.
15.[飞镖模型][2024·潮州期中]自主学习，综合运用
材料阅读：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫作“规形图”．
解决问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，求∠ABD＋∠ACD的度数；
②如图3，BD平分∠ABP，CD平分
∠ACP，∠BPC＝130°，∠A＝40°，
求∠BDC的度数．
解：(1)∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C，理由如下：
连接AD并延长到点F，如图所示：
∵∠FDC＝∠DAC＋∠C，∠BDF＝∠B＋∠BAD，
∴∠FDC＋∠BDF＝∠DAC＋∠C＋∠B＋∠BAD，
即∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C；
(2)①∵∠BDC＝90°，
由(1)知∠A＋∠ABD＋∠ACD＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABD＋∠ACD＝90°－40°＝50°；
16. [双角平分线模型·推理能力][2024·江都区期中]小聪对内外角平分线夹角问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】
如图1，若∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动(不与点O重合)，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D，则∠D＝ _°；
(2)【问题推广】
①如图2，若∠MON＝α(0°<α<180°)，(1)中的其余条件不变，则∠D＝______(用含α的代数式表示)；(共20张PPT)
13．2.2 三角形的中线、角平分线、高
1．[2024·延庆区期末]如图，在△ABC中，AB边上的高线
是( )
A．线段AD B．线段AF
C．线段BG D．线段CE
2．[2024·苍溪县期中]下列说法错误的是( )
A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部
C．直角三角形只有一条高线
D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
3．[2024·安徽期末]如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法错误的是( )
A．BF＝CF
B．∠B＋∠BAD＝90°
C．S△ABE∶S△ACE＝BE∶CE
D．∠BAF＝∠CAF
4．[2024·林州市期中]如图，AD是△ABC的中线，AB比AC长
3 cm，若△ABD的周长为25 cm，则△ACD的周长为( )
A．28 cm B．25 cm
C．22 cm D．19 cm
5．[2024·鞍山期中]如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是( )
6．[2025·赤峰期中]如图，在△ABC中，D是边AC的中点，连接
BD，E是BD的中点，连接AE，CE，且△ABC的面积为24 cm2，则
S阴影＝___cm2.
12
7．[2024·政和县期中]如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，
BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是48，则△ABE的面
积是___．
12
8．[2024·聊城期末]如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中
线，EF⊥BC于点F.若S△ABC＝24，BD＝5，则EF的长为____．
2.4
9．[2025·乌兰察布期末]如图，AE为△ABC的角平分线，D为AE
上一点(不与A，E重合)，DF⊥BC于点F.若∠B＝60°，∠FDE＝
14°，∠C的度数为_____．
32°
10．如图，△ABC的面积为1，分别倍长(延长一倍)AB，BC，CA
得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2，…，
按此规律，倍长2 025次后得到的△A2 025B2 025C2 025的面积
为_____．
72 025
11．[2024·五华区期中]如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线，若AC＝3，AB＝5，BC＝4，∠ACB＝90°.
(1)求CD的长；
(2)求△EBC与△ACE的周长之差．
12.[模型观念][2023·龙岗区期末]综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
已知：如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD.求证：S△ABD＝S△ACD.
证明：过点A作AE⊥BC于点E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
【拓展探究】
(1)如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S△ABC＝6，S△ABD＝ ；
(2)如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点且CD＝2BD，S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程；
【问题解决】
(3)现在有一块四边形土地ABCD(如图4)，和都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．
要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．
(3)如图4，连接BD，取BD的中点Q，连接AQ，CQ，
折线AQ－QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
证明：∵Q是BD的中点，
∴AQ是△ABD的中线，CQ是△CBD的中线，
∴S△ABQ＝S△ADQ，S△CBQ＝S△CDQ，
∴S△ABQ＋S△CBQ＝S△ADQ＋S△CDQ，
∴折线AQ－QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分．(方法不唯一，也可连接AC，取AC的中点M，连接BM，DM)
