(共26张PPT)
第5课时 “斜边、直角边”
1．[2024·大连期末]如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是( )
A．AAS B．SAS
C．HL D．ASA
2．[2024·东川区期中]下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( )
A．两个锐角对应相等的两个直角三角形
B．两条直角边对应相等的两个直角三角形
C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
D．有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等
3．[2024·武冈市期末]如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，AC＝BE.证明Rt△ACD≌Rt△BEF，不是利用“HL”的条件是( )
A．AC∥BE B．AD＝BF
C．CD＝EF D．AF＝BD
4. [对称模型][2024·临渭区期末]如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O.如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．[2024·舞阳县期中]如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据
“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的直接条件是_______．
AB＝CD
6．[2024·西安区模拟]如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝
∠D＝90°，请添加一个条件：___________________，使Rt△ABC
≌Rt△DFE.
DE＝AC(答案不唯一)
7．[2023·衡阳期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，
BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射
线AO上运动，当AP＝______时，△ABC和△PQA全等．
5或10
8．[2024·袁州区期中]如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD
＝150°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的
点，且∠EAF＝75°，EF＝3，下列结论：①△ADF≌△ABE ②EA
平分∠FEB ③EF平分∠AEC ④若四边形ABCD的周长是15，且
△EAF的面积为3，则四边形ABCD的面积等于11.
其中一定正确的有_____．
②④
9.[2025·呼和浩特期中]如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD，求证：CE＝DE.
10．[2024·安康期末]如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆
CD与某栋楼之间选定一点O，连接AO，CO.若AO＝OC，OB＝CD＝
15 m，DB＝36 m，且D，O，B在同一水平线上，求楼的高度(AB)．
11．[2024·长兴县期中]如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，且AD＝A′D′.
求证：(1)Rt△ACD≌Rt△A′C′D′；
(2)Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
12．[2024·庐阳区期末]如图，在△ABC和△EDC中，∠B＝∠D＝90°，AB＝DE，EC＝AC.
(1)求证：∠BCE＝∠DCA；
(2)求证：HA＝HE.
13. [一线三等角模型]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足分别为E，F.
(1)如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE＋CF；
(2)如图2，过A的直线与斜边BC相
交时，其他条件不变，若BE＝10，
CF＝3，求FE的长．
解：(1)证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB＋∠CAF＝90°，
∠EBA＋∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
在△AEB和△CFA中，
(2)∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB＋∠CAF＝90°，
∠ABE＋∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，(共31张PPT)
第2课时 “角边角”和“角角边”
1．[2024·南充期末]下列各图中，a，b，c分别是三角形的边长，由甲、乙、丙三个三角形中标注的信息，能确定与△ABC全等的是( )
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．只有丙
2．[2024·莱西市期末]如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝6，CF＝4，则BD的长是( )
A．1.5 B．3
C．2.5 D．2
3．[2024·南阳期末]如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是( )
A．只带①去
B．带②③去
C．带①③去
D．只带④去
4．[2025·赤峰期末]如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝DE，便能得到△ABC≌△AED，这所依据的是( )
A．SSS B．AAS
C．ASA D．SAS
5．[2024·晋江市期末]如图，在△ABC和△A′B′C′中，
AB＝A′B′，∠A＝∠A′，则添加一个条件不能证明△ABC≌
△A′B′C′的是( )
A．AC＝A′C′
B．BC＝B′C′
C．∠B＝∠B′
D．∠C＝∠C′
6．[2023·陵城区期末]如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝45°，
AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与
边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角
形 ②AE＝CF ③△BDE≌△ADF ④BE＋CF＝EF，其中正确结
论是( )
A．①②④ B．②③④
C．①②③ D．①②③④
7．[2024·裕华区期末]在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是( )
8．[2025·呼和浩特期中]如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于点F，且垂足为点E，则下列结论：
①AD＝BF ②∠BAE＝∠FBC③S△ADB＝S△ADC ④AD＝2BE.其中正
确的结论有_______．(填写序号)
①②④
解析：∵∠ACB＝90°，BF⊥AE，
∴∠BCF＝∠ACD＝∠BEA＝∠AEF＝90°.
又∵∠BDE＝∠ADC，∴∠CAD＝∠CBF，
又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCF(ASA)，∴AD＝BF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.
∵∠CBF＝∠FAE，∴∠BAE＝∠FBC，故②正确；
如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，
则∠ACD＝∠AHD＝90°，
又∵AD＝AD，∠CAD＝∠HAD，
∴△ADH≌△ADC(AAS)，∴DH＝DC，
∵BD>DH＝DC，∴S△ABD>S△ACD，故③错误；
∵∠AEF＝∠AEB＝90°，AE＝AE，∠EAB＝∠EAF，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴BE＝FE，∴AD＝BF＝2BE，故④正确；
∴正确的有①②④.
9．[2024·北京期末]如图，点C是线段AB的中点，∠DCA＝∠EBC.
请你添加一个条件，使△DAC≌△ECB.你添加的条件是__________
__________．(只需填一个答案即可)
DC＝EB(答
案不唯一)
10．[2023·集美区期末]几何学起源于土地测量，据史料记载，古希腊数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法，具体操作步骤如下：
①如图，人垂直站立在河岸边上，视线与河岸边保持垂直；
②调整帽子，使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上；
③人保持姿势，转过一个角度，这时视线通过帽
檐落在了自己所在岸的某一点上；
④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度．
请用你学过的一个数学定理解释通过以上步骤能测得河流宽度
的道理：_____________________．
全等三角形对应边相等
11. [一线三等角模型][2024·江津区期末]如图，在平面直角坐
标系中，点B的坐标为(1，4)，点A的坐标为(3，0)，△ABC是等
腰直角三角形，∠BAC＝90°，则点C的坐标是_______．
(7，2)
12．[2024·辛集市期末]如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，
AP⊥CP于点P，已知△ABC的面积为5，则阴影部分的面积为____．
2.5
13．[2024·凉州区期末]如图所示，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.
(1)求证：AE＝AD；
(2)若BD＝8，DC＝5，求ED的长．
14．[2024·高州市期末]如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.
(1)求证：MN＝AM＋BN；
(2)如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N(AM＞BN)，(1)中的结
论是否仍然成立？若不成立，请写
出正确的结论，并说明理由．
解：(1)证明：∵AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC＋∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM＋∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
(2)(1)中的结论不成立，MN与AM，BN之间的数量关系为MN＝
AM－BN.理由如下：
∵AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC＋∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM＋∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
15．[2024·怀化期末]如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变____
(填“大”或“小” )；
(2)当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否
全等？请说明理由．
解：(1)25，115，小；
(2)当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
16. [一线三等角模型][2025·通辽期末]综合与探究
问题发现：如图①，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，CE⊥l于点E，BD⊥l于点D，请直接写出BD，CE，DE的数量关系 ____；
类比探究：
(1)如图②，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点在直线l上．且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，猜想BD，CE，DE的数量关系并证明；
(2)如图③，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，直线l与BC交于点F，∠1＝∠2＝∠BAC，则线段BD，CE，DE又有怎样的数量关系？写出结论并证明．
问题发现：∵CE⊥l于点E，BD⊥l于点D，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD＝AE，CE＝AD，
∴BD＋CE＝AE＋AD＝DE，故答案为BD＋CE＝DE；
类比探究：(1)DE＝CE＋BD，证明如下：
∵∠BDA＋∠DAB＋∠ABD＝180°，∠BAC＋∠DAB＋∠CAE＝180°，∠BDA＝∠BAC，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠BDA＝∠AEC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD＝AE，CE＝AD，∴BD＋CE＝AE＋AD＝DE；
(2)CE＝BD＋DE，证明如下：
∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠ABD＋∠BAD，∠2＝∠EAC＋∠ACE，∠BAC＝∠BAD＋∠CAE，
∴∠BAE＝∠ACE，∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(ASA)，
∴BD＝AE，CE＝AD，∴CE＝AD＝AE＋DE＝BD＋DE.(共17张PPT)
第4课时 尺规作图
1．[2025·辽阳期末]如图，用尺规作图作出∠BCP＝∠ABC，则作图痕迹弧GH是( )
A．以点C为圆心，以BE长为半径的弧
B．以点C为圆心，以DE长为半径的弧
C．以点F为圆心，以DE长为半径的弧
D．以点F为圆心，以BE长为半径的弧
2．用直尺和圆规作∠GAB等于已知∠MON的过程如图，则图中△OCD与△AFE全等的依据是( )
A．SAS B．SSS
C．ASA D．AAS
4．[2025·石家庄期中]如图1所示，已知线段a，∠1，求作△ABC，使BC＝a，∠ABC＝∠BCA＝∠1，小明的作法如图2所示，下列说法一定正确的是( )
A．作△ABC的依据为ASA
B．弧EF是以DK长为半径画的
C．弧MN是以A为圆心，a为半径画的
D．弧GH是以OD长为半径画的
5．[2025·深圳期末]如图，在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，使∠BOC＝41°，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边OB，OC于点D，E，再以点E为圆心，DE的长为半径画弧，交前弧于点F，再画射线OF，则∠AOF的度数为( )
A．41° B．82°
C．98° D．139°
6．综合实践课上，嘉嘉画出了△ABC，利用尺规作图画出了△ADE，使△ADE≌△ABC.图1～图3
是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定
△ADE≌△ABC的依据是( )
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
7．[2025·呼和浩特期末]用直尺和圆规作一个角等于已知角的
示意图如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB，是因为图中的两
个三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定这两个三角形全等的依
据是____.
SSS
8．图中的黑色球___(填“能”或“不能”)被击入右下角的袋
中．(先估测，再用直尺和圆规作出反射角加以检验)
能
解：图中的黑色球能被击入右下角的袋中，如图所示，作∠BOC＝∠AOB即可，
9．如图，已知△ABC，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作△DEF，使AB＝DE，∠A＝∠E，∠B＝∠D.
解：如图，△DEF即为所求作的三角形．
10．如图，在△ABC中，以点C为圆心，以BC长为半径画圆弧，交BC的延长线于点D.分别以点C，D为圆心，以线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点E，连接CE，DE.根据以上作图过程，求证：CE∥AB.
证明：根据作图知AB＝EC, BC＝CD，AC＝ED，
∴△ABC≌△ECD(SSS)，
∴∠B＝∠ECD，
∴CE∥AB.
11．[2024·永州期中]教科书告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC.
求作：△A′B′C′，
使得△A′B′C′≌△ABC.
作法：如图.
(1)画A′B′＝AB；
(2)在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，
A′D，B′E相交于C′；
(3)△A′B′C′即为所求作的三角形.(共22张PPT)
第3课时 “边边边”
1．[2024·防城区期中]如图，AB＝CB，若要判定△ABD≌△CBD，则需要补充的一个条件是( )
A．AD＝CD
B．AB＝DB
C．BD＝BD
D．CB＝DB
2．[2024·长沙县期末]如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，△ABC的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点” D(点D与点A不重合)，使得以点D，B，C为顶点的三角形与△ABC
全等，则这样的“好点”D的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．[2024·赣州期中]如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC.以上作图原理主要是通过 判定三角形全等．( )
A．SAS B．ASA
C．SSS D．AAS
4．[2024·秦都区期末]如图，在△ABC和△DCB中，AC，BD相交于点E，AB＝DC，若利用“SSS”来判定△ABC≌△DCB，则需添加的条件是( )
A．AE＝DE B．CE＝CD
C．AC＝DB D．BE＝CE
5．[2023·芜湖县期中]如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，则下列结论错误的是( )
A．△ABE≌△ACD
B．△ABD≌△ACE
C．∠ACE＝30°
D．∠1＝70°
6．如图，已知△ADC，分别以A，C为圆心，以AD，CD长为半径
画弧，两弧交于点B，连接AB，CB.下列结论一定正确的有( )
①△ADC≌△ABC
②判定全等的依据是SSS
③∠ABC＝∠DCA
④AC平分∠BAD
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．[2024·牡丹江期中]如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”
来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB
②AB＝FE ③AE＝BE ④BF＝BE，可利用的是_______．
①或②
8．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AC，BC上的点，且AD＝DE，
AB＝BE，∠A＝70°，则∠CED＝_____°.
110
9．如图所示，AD＝BC，AC＝BD，用判定三角形全等的基本事实“SSS”可证明△ADC≌______．
△BCD
10．[2024·门头沟区期末]如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE＝DF，AC＝DB，BE＝CF.求证：∠E＝∠F.
11．[2024·番禺区期末]在△ABC与△A′B′C′中，边BC与边B′C′上的中线分别为AD与A′D′.若AB＝A′B′，BC＝B′C′，
AD＝A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.
12．如图，M为比赛出发点，P，Q两点为标志物，且到M点的距离相等，选手小明从M点出发，计划沿∠PMQ的平分线骑摩托车行驶，若小明沿射线MN行驶，在N点处经红外线设备测得他到标志物P，Q两点的距离相等，判断小明的行驶路线是否偏离预定路线，并说明理由．
解：小明的行驶路线没有偏离预定路线，
理由：如图，连接PN，QN，
由题意得PN＝QN，PM＝QM，
又∵MN＝MN，
∴△PMN≌△QMN(SSS)，
∴∠PMN＝∠QMN，
∴MN是∠PMQ的平分线，
∴小明的行驶路线没有偏离预定路线．
13．小明用如下两种方法画出了互相垂直的两条直线，你能证明这两种画法的正确性吗？
画法一：
①画∠AOB；
②以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
③再分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧相交于∠AOB内部一点P；
④分别画射线OP，线段CD.
则CD与OP互相垂直．
画法二：
①画线段AB，再分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
②分别连接AC，BC，延长AC到点D，使CD＝CA；
③连接DB.
则DB与AB互相垂直．
②如图2，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A.
又∵CD＝CA，CA＝CB，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD，
∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝90°，
∴DB⊥AB.(共26张PPT)
14.3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
1．[2024·兰州期末]如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在( )
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
3．[2025·巴彦淖尔期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝10，BD∶CD＝3∶2，AB＝15，则△ABD的面积为( )
A．20 B．25
C．30 D．45
4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
5．[2024·甘州区期中]如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2.5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，连接DP，则DP长的最小值为( )
A．2 B．4
C．2.5 D．5
7．[2024·集美区期末]把两个同样大小的含30°角的直角三角
尺(记作△ABC，△BCD)按如图所示的方式进行摆放，其中M是AB
与CD的交点，则可以得到结论：MA的长度等于点M到BC的距离．
请用一个你学过的数学定理解释这个结论：_________________
_________________．
角平分线上的点到
角两边的距离相等
8．[2024·南昌期末]如图，已知△ABC的角平分线AD交BC于D，
若AC＝4，BD∶DC＝3∶2，则AB＝__．
6
9．[2024·武汉期末]如图，已知△ABC的周长是18，∠ABC和
∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的
面积是___．
27
10. [燕尾模型][2024·西宁期中]如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN.
∴∠ADP＝∠CDP.
即DP平分∠ADC.
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
11．[2024·宜兴市期末]如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB，交AB于点F，EG⊥AC，交AC的延长线于点G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
解：相等．
证明如下：连接EB，EC，
∵AE是∠BAC的平分线，
且EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴EF＝EG.
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB＝EC.
12．[2024·宝丰县期末]图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE.
(1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P.AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由；
(2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．
13. [推理能力]感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：如图2，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝135°，试说明：DB与DC的数量关系，并说明理由．
应用：如图3，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，DB与DC的上述关系还成立吗？说明理由．
解：探究：DC＝DB，理由如下：
在图2中，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠DCA＝135°，
∴∠DCF＝180°－∠DCA＝45°＝∠B.
在△DCF和△DBE中，
∴△DCF≌△DBE(AAS)，
∴DC＝DB.
应用：结论仍成立，理由如下：
在图3中，作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，
∵DA平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN.
∵∠B＋∠ACD＝180°，
∠ACD＋∠NCD＝180°，
∴∠B＝∠NCD.(共26张PPT)
第2课时 角的平分线的判定
1．如图，点M，N分别是OA，OB边上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是( )
A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN
B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON
C．PM＝PN，OM＝ON
D．PM＝PN，∠PMO＝∠PNO
2．[2024·常州]如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( )
A．d1与d2一定相等
B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等
D．l1与l2一定不相等
3．[2023·关岭县期末]如图，点P在∠AOB内部的一条射线上，PQ⊥OA于点Q，且PQ＝4.已知点P到射线OB的最小距离为4，且∠OPQ＝65°，则∠AOB的度数为( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
4．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝100°，则∠MAB的度数是( )
A．50° B．40°
C．45° D．55°
5．[2024·辛集市期末]如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论正确的个数为( )
①CP平分∠ACF ②∠ABC＋2∠APC＝180°
③∠ACB＝2∠APB ④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．[2024·洛阳期末]如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相
等，若∠BOC＝3∠A，则∠A＝_____．
36°
7．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠BPC的度
数为_____．
90°
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝15 cm，
AC＝17 cm，P是到△ABC三边距离相等的点，则点P到△ABC三
边的距离为_____．
3 cm
9．[2024·阜平县期中]如图，在△ABC中，∠CAB＝50°，点D
在△ABC的外部，且AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，交AC的延
长线于点E，DF⊥BC，交BC于点F，连接BD.若∠BCE＝104°，
DE＝DF，则∠DBC的度数为_____．
63°
10．[2025·呼和浩特期末]如图，已知△ABC和△ADE都是等腰
三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，下
列结论：①BD＝CE ②BD⊥EF ③AF平分∠CAD ④∠AFB＝45°.
其中正确结论是_______．(填序号)
①②④
若③AF平分∠CAD成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
由题意知，AB不一定等于AD，
∴AF不一定平分∠CAD，故③错误，
即正确的有3个，①②④.
11．[2025·乌兰察布期末]如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ADC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接BE.
(1)求∠DAE的度数；
(2)求证：BE平分∠ABC；
(3)若AD＝6，CD＝10，△ACD面积是16，求EF的长．
解：(1)∵EF⊥AB，
∴∠F＝90°，
∵∠AEF＝50°，
∴∠BAE＝∠F＋∠AEF＝90°＋50°＝140°，
∵∠BAE＝∠BAD＋∠CAD，∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝∠BAE－∠BAD＝140°－100°＝40°，即∠DAE＝40°；
(2)证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H，
∵∠F＝90°，∠AEF＝50°，
∴∠EAF＝90°－50°＝40°，
由(1)可知，∠CAD＝40°，
∴∠EAF＝∠CAD＝40°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵DE平分∠ADC，EG⊥AD，EH⊥BC，
∴EG＝EH，
∴EF＝EH
∵EF⊥BF，EH⊥BC，
∴BE平分∠ABC；
12. [推理能力][2024·镜湖区期中]如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A是射线OP上一点，OA＝2，以OA为边在OP右侧作∠AOF＝24°，且满足OF＝4，若点B是射线ON上的一个动点(不与点O重合)，连接AB，作△AOB的两个外角平分线交
于点C，在点B在运动过程中，当线段CF取最小
值时，∠OFC的度数为( )
A．90° B．69°
C．24° D．66°
解析：如图，作CE⊥PQ于点E，CG⊥MN于点G，CH⊥AB于点H，连接OC，
∵AC平分∠PAB，CE⊥PQ，CH⊥AB，
∴CE＝CH，
同理可得CG＝CH，
∴CE＝CG，
∴OC平分∠AOB，即点C在∠AOB的平分线上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠AOF＝24°，
∴∠FOC＝45°－24°＝21°，
如图，作FC′⊥OC于C′，则C′F≤CF，
即CF的最小值为C′F，此时点C与C′重合，
∴∠FC′O＝90°，
∴∠OFC′＝90°－21°＝69°，
∴当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为69°.
13. [推理能力][2024·路南区期中]如图，在△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°.
(1)求∠ACE的度数；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC＋CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD
＝21，求△ABE的面积．
解：(1)∵∠ACB＝110°，
∴∠ACD＝180°－110°＝70°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝55°，
∴∠ECH＝90°－55°＝35°，
∴∠ACE＝70°－35°＝35°；
(2)证明：过E点分别作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝35°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；(共27张PPT)
14.2 三角形全等的判定
14.2 第1课时 “边角边”
1．[2024·温州期末]如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，若求AB的长，只需测量下列线段中的( )
A．A′B′ B．OA′
C．OB′ D．OA
2．[2024·越秀区期末]根据下列条件，能画出唯一一个△ABC的是( )
A．AB＝1，BC＝2，AC＝3
B．AB＝4，BC＝6，∠A＝120°
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
3．[2024·呼伦贝尔期末]如图，已知∠1＝∠2，若用“SAS”证明△BDA≌△ACB，还需加上条件( )
A．AD＝BC
B．∠D＝∠C
C．BD＝AC
D．OA＝OB
4．如图，已知BC＝EF，AF＝DC，点A，F，C，D四点在同一直线上．要利用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D ②∠ACB＝∠DFE ③AB∥DE ④BC∥EF.可以利用的是( )
A．①② B．②④
C．②③ D．①④
5．[2024·河西区期末]如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌
△DBC，则可增加的条件是( )
A．∠ABE＝∠DBE
B．∠A＝∠D
C．∠1＝∠2
D．∠E＝∠C
6．[2024·辛集市期末]如图，给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是( )
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
7.[旋转变换·手拉手模型][2024·海伦市期末]已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD＝CE ②∠ACE＋∠DBC＝45° ③BD⊥CE ④∠BAE＋∠DAC＝180°.其中结论正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
8．教室里有几盆花，如图①，要想测量这几盆花两旁的A，B两点间的距离不方便，因此，选点A，B都能到达的一点O，如图②，连接BO并延长BO到点C，使CO＝BO，连接AO并延长AO到点D，使DO＝AO，那么C，D两点间的距离就是A，B两点间的距离．
SAS
BA
9．[2025·鄂尔多斯期中]如图，把两个45°角的直角三角板放
在一起，点B在CE上，A，C，D三点在一条直线上，连接AE，DB
延长线交AE于点F.若AE＝8，DF＝11，则△ABE的面积为___．
12
10.[一线三等角模型][2024·北京期末]如图，在△ABC中，
∠B＝∠C，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，
BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是___________．(用含α的
代数式表示)
180°－2α
11. [手拉手模型][2024·东湖区期末]如图所示，AB＝AC，AD
＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．
55°
12．如图，AB＝4 cm，AC＝BD＝3 cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线
段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BD上
由点B向点D运动，设运动时间为t(s)，则当△ACP与△BPQ全等
时，点Q的运动速度为_______________．
1 cm/s或 cm/s
13. [燕尾模型][2025·兴安盟期中]在数学实践课上，珍珍将如图1所示的燕尾风筝抽象成如图2所示的图形，已知AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAD＝100°，∠EAC＝50°，求∠BAE的度数．
14.[几何直观][2024·房山区期末]如图1，小涵在解决该问题时想到这样的测量方法：在陆地上选一点C，使得从点C能够直接走到点A和点B.延长AC到D，使得CD＝CA，再延长BC到E，使CE＝CB.量出ED的长，那么ED的长
便是鱼塘的宽AB的长．请根据小
涵的方法，在图2中画出图形，并
说明理由(证明)．
15.[推理能力·倍长中线模型][2024·滕州市期末]为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM.
【探究发现】(1)图1中AC与BM的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】(2)如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．(提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x<6，则x<2.)
【探究提升】(3)如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB，AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
(2)如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，
由(1)可知，△MDB≌△ADC(SAS)，
∴BM＝AC＝8，
在△ABM中，AB－BM
∴12－8即4<2AD<20，
∴2即BC边上的中线AD的取值范围为2(3)EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下：
如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由(1)可知，△BDM≌△CDA(SAS)，
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由(1)可知，AC∥BM，
∴∠BAC＋∠ABM＝180°，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC＋∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
∴AM＝2AD，
∴EF＝2AD，
∵∠EAM＝∠BAM＋∠BAE＝∠E＋∠APE，
∴∠APE＝∠BAE＝90°，
∴EF⊥AD.(共23张PPT)
第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
1．[2024·呼和浩特期末]下列四组图形中，是全等图形的一组是( )
2．[20－21八年级上·内蒙古赤峰·期中]下列说法中正确的为( )
①全等三角形的面积相等
②周长相等的两个三角形全等
③全等三角形的形状相同、大小相等
④全等三角形的对应边相等、对应角相等
A．②③④ B．①②③
C．①②④ D．①③④
3．[2024·东莞市期末]已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )
A．70°
B．68°
C．58°
D．52°
4．[2024·广州期末]如图，△ABE≌△ACD，点D，E分别在边AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE的长度为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．[2024·江城区期末]如图，△DBC≌△ECB，且BE与CD相交于点A，下列结论错误的是( )
A．BE＝CD B．∠ABD＝∠ACE
C．BD＝AE D．∠D＝∠E
6．[2025·呼和浩特期中]如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE，CD交于点F，若∠BAC＝35°，则∠BFC的大小是( )
A．110° B．115°
C．120° D．130°
解析：设∠C′＝α，∠B′＝β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD＝∠C′＝α，∠ABE＝∠B′
＝β，∠BAE＝∠B′AE＝∠C′AB＝35°，
∴∠C′DB＝∠BAC′＋∠C′＝35°＋α，∠CEB′＝35°＋β.
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC＝∠C′DB＝35°＋α，∠ACB＝∠CEB′＝35°＋β，
∴∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即105°＋α＋β＝180°.
则α＋β＝75°.
∵∠BFC＝∠BDC＋∠DBE，
∠BDC＝∠BAC＋∠ACD＝35°＋α，
∴∠BFC＝35°＋α＋β＝35°＋75°＝110°.
7．[2024·泉港区期末]如图，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，
CD＝6，AD＝3.若四边形OPCE≌四边形ABCD，则PD＝__．
4
8．[2023·绿园区期末]如图所示，四边形ABCD≌四边形
A′B′C′D′，则∠A的度数是_____.
95°
9．[2024·永春县期末]如图，△ABC≌△DEF，且A，B，D，E四
点共线，线段AD＝6，DE＝4，则BD＝__．
2
10．[2024·达日县期末]如图，在平面直角坐标系中，已知
A(0，5)，B(－3，0)，若△AOB≌△OCD，那么点D的坐标是
_________．
(5，－3)
11．[2024·梁平区期末]已知△ABC的三边长为x，3，6，△DEF
的三边长为5，6，y.若△ABC与△DEF全等，则x＋y的值为__．
8
12．[2024·广州期末]如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，
则∠AOB＝____°.
80
13．[2024·新泰市期中]如图，△ABC的两条高AD，CE相交于点
F，若△ABD≌△CFD，DC＝6，DF＝2，则△ABC的面积为___．
24
14．[2025·鄂尔多斯期中]三个全等三角形按图的形式摆放，
则∠1＋∠2＋∠3的度数等于______．
180°
解析：如图所示：
由图形可得：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋
∠8＋∠9＝540°，
∵三个三角形全等，∴∠7＋∠8＋∠9＝180°，
又∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋180°＋180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3的度数是180°.
15．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F.
(1)若AB＝6，BC＝3，求AE的长；
(2)若∠A＝25°，∠C＝55°，求∠AED的度数．
解：(1)∵△ABC≌△DEB，BC＝3，
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB－BE＝6－3＝3；
(2)∵△ABC≌△DEB，
∴∠ABC＝∠DEB.
∵∠A＝25°，∠C＝55°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－25°－55°＝100°，
∴∠DEB＝100°，
∴∠AED＝180°－∠DEB＝180°－100°＝80°.
16.[分类讨论][2024·柘城县期中]已知△ABC的三边长为3，5，
7，△DEF的三边长为5，2x－3，3x－2，若△ABC与△DEF全等，
则x等于__．
3
17.[模型观念]如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在AD上，延长BE交AC于点F，且△ACD≌△BED.
(1)若BC＝11，AD＝8，求CD的长度；
(2)求证：∠AFE＝90°；
(3)若S△BCF＝20，S四边形CFED＝8，则S△AEF＝ ．
解：(1)∵△ACD≌△BED，
∴BD＝AD＝8，
∴CD＝BC－BD＝11－8＝3；
(2)证明：∵△ACD≌△BED，
∴∠ADC＝∠BDE，∠CAD＝∠DBE，
∵∠ADC＋∠BDE＝180°，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°，
∵∠AEF＋∠AFE＋∠EAF＝∠BED＋∠BDE＋∠DBE，
而∠AEF＝∠BED，
∴∠AFE＝∠BDE＝90°；
(3)4.