(共21张PPT)
第2课时 含30°角的直角三角形
1．[2024·呼和浩特期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，CD的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，若EF＝2，则AB长为( )
A．10 B．8
C．6 D．4
3．[2024·五华区期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为( )
A．1.5 B．2
C．3 D．4
4．[2023·石泉县期末]如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥AB于点F，已知BC＝16，则BF的长为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
5．[2024·忻州期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
6．[2024·忠县期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠B＝30°，作BC的垂直平分线EF交BC于点F，交AB于点E，
连接CE.若EF＝1，则△ACE的周长为__．
6
7．[2024·北京期末]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC的垂
直平分线DE分别交AB，AC于点D和E，CD平分∠ACB，AD＝5，
BD＝ ．
8．[2024·蜀山区期末]如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC
上，点E在AB延长线上，若ED⊥AC交BC于P，且AD＝4，BP＝2，
则PC＝__．
4
9. [分类讨论][2024·公安县期中]如图，在△ABC中，AB＝
12 cm，AC＝10 cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2 cm的
速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1 cm的速度向点C
运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运
动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为
_______．
3或4.8
①②③④
11. [应用意识][2024·安定区期中]如图，一条船上午8时从海岛A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向
航行，还要经过多长时间，船与灯塔C之间的距离最
短？
解：根据题意，得AB＝15×(10－8)＝30(海里)．
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝60°－30°＝30°，
∴∠ACB＝∠NAC，
∴BC＝AB＝30海里．
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
根据垂线段最短，线段CD的长
为船与灯塔C之间的最短距离，
∠BDC＝90°.
又∵∠NBC＝60°，
∴∠DCB＝180°－∠BDC－∠CBD＝180°－90°－60°＝30°，
12．[2024·交城县期中]如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为点M.
(1)求证：M是BE的中点；
(2)若CM＝2，求BE的长度．
∴BD＝ED.
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点；
(2)由(1)得∠ACB＝60°，M是BE的中点，
∵DM⊥BE，
∴∠DME＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM.
∵CM＝2，
∴CD＝4.
∵CD＝CE，
∴CE＝4，
∴ME＝CM＋CE＝6.
∵M是BE的中点，
∴BE＝2ME＝12.
13．[2024·宣恩县期中]如图，已知∠ABC＝60°，点P在边AB上，BP＝a，点E，F在边BC上，PE＝PF，若FE＝b，则BE的长用a，b可表示为( )
14．[2024·海安期中]如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝
90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，
若CD＝5，BE＝8，则AB的长为___．
14(共21张PPT)
第十五章 轴对称
15.1 图形的轴对称
15．1.1 轴对称及其性质
1. [民族传统文化][2025·呼和浩特期末]作为少数民族图案的一支，蒙古族图案成为一种鉴别民族属性的视觉符号，无处不散发着浓郁的民族气息，让我们感受到美的存在．下列蒙古族图案中，不是轴对称图形的是( )
2．下列说法中，正确的是( )
A．直角三角形是轴对称图形
B．经过线段中点的直线是这条线段的对称轴
C．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
D．如果两个三角形全等，则它们关于某直线成轴对称
3．[2024·河北]如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D.下列不一定正确的是( )
A．AD⊥BC
B．AC⊥PQ
C．△ABO≌△CDO
D．AC∥BD
4．[2023·郓城县期末]如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论中：
①△ABC≌△AB′C′ ②∠BAC′＝∠B′AC
③l垂直平分CC′ ④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．
正确的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
5．[2025·呼和浩特期中]如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，
∠C＝70°，将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，
则∠B＝_____．
95°
6．[2024·澄海区期中]如图，直线AD为△ABC的对称轴，BC＝6，
AD＝4，则图中阴影部分的面积为__．
6
7．如图，△ABD和△FEC关于直线l对称，点A，B，D的对应点分
别为点F，E，C，点B，C，D，E在同一条直线上，则图中有__对
全等三角形．
2
8．[2024·甘肃]围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两
位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子
于点_____的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．(填写A，B，
C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上)
A或C
9．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，
点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落
在MN的延长线上．若PM＝4 cm，PN＝5 cm，MN＝6.5 cm，则线段
QR的长为____cm.
7.5
10．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其
中∠1叫作入射角，∠2叫作反射角，如果每次的入射角总是等于
反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的______．
C号袋
11．[2024·新野县期末]如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上．
(1)若ED＝15，BF＝9，求EF的长；
(2)若∠ABC＝35°，∠AED＝65°，
∠BAE＝16°，求∠BFN的度数；
(3)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由．
解：(1)EF＝6(过程略)；
(2)∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，∠ABC＝35°，∠AED＝65°，∠BAE＝16°，
∴∠AED＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－35°－65°＝80°，
∵∠BAE＝16°，
∴∠EAC＝∠BAC－∠BAE＝80°－16°＝64°，
∵线段AE与AC关于直线MN对称，
12.[推理能力]定义：如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关
于OM对称．
理解题意
(1)如图1，射线OB，OA关于OM对称
且∠AOB＝45°，则∠AOM＝ °；
应用实际
(2)如图2，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB内部，OP，OP1关于OB对
称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
(3)如图3，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
拓展提升
(4)如图4，若∠AOB＝45°，OP，OP1
关于∠AOB的OB边对称，∠AOP1＝4∠BOP1，求∠AOP(直接写出答案)．
解：(1)22.5；
(2)如图2，∵OP和OP1关于OB对称，
∴∠POP1＝2∠BOP，
又∵OP和OP2关于OA对称，
∴∠POP2＝2∠AOP，
∴∠P1OP2＝∠POP1＋∠POP2＝2∠BOP＋2∠AOP＝2∠AOB＝90°；
(3)如图3，∵OP和OP1关于OB对称，
∴∠POP1＝2∠BOP，
又∵OP和OP2关于OA对称，
∴∠POP2＝2∠AOP，
∴∠P1OP2＝∠POP1－∠POP2＝2∠BOP－2∠AOP＝2∠AOB＝90°；
(4)①OP在∠AOB内部，如图4，
∵OP，OP1关于OB对称，
∴∠BOP＝∠BOP1，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴∠AOB＝3∠BOP1＝45°，
∴∠BOP1＝15°，
∴∠BOP1＝∠BOP＝15°，
∴∠AOP＝30°；
②当OP在∠AOB外部，如图5，
∵OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，
∴∠BOP＝∠BOP1，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴∠AOB＝∠BOP1＋∠AOP1＝5∠BOP1＝45°，
∴∠BOP1＝9°，
∴∠BOP1＝∠BOP＝9°，
∴∠AOP＝45°＋9°＝54°.
综上所述，∠AOP＝30°或54°.(共39张PPT)
15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
1．[2024·巴彦淖尔期中]下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有( )．
A．①②④ B．③④
C．①②③④ D．①④
2．[2024·天津期中]在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是( )
A．∠A＝60°
B．AC＝BC
C．∠B与∠C互余
D．AB边上的高也是AB边上的中线
3．[2024·饶平县期末]如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是( )
A．10° B．15°
C．20° D．25°
4．[2024·昆明期末]如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为( )
A．120° B．110°
C．100° D．90°
5．[2024·龙湖区期末]如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为( )
6．[2024·花都区期末]如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点H为BC边上的垂足．小花放入一张等边三角形纸片BDE，E在BC上，F为AH与DE的交点，小都又放一张等边三角形纸片EFG，G在BC上．小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形纸片的底边BC长应为( )
A．8 B．10
C．11 D．13
7．[2024·兴安盟二模]在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”，图1是老师画出的第一步，图2，图3分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是( )
A．甲对乙不对
B．乙对甲不对
C．甲和乙
D．都不正确
8．[2024·海州区期中]如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动(不与B，C重合)，点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF.点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为( )
A．不变
B．一直变小
C．先变大后变小
D．先变小后变大
9．[2024·海口期末]如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F
分别在AB，BC，AC上，若∠1＝∠2，∠DFE＝80°，则∠EDF
＝_____．
40°
10. [手拉手模型][2023·杨浦区期末]如图，已知O是等边三
角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，
∠AOB＝120°，那么∠BDC＝_____．
60°
11.[手拉手模型][2024·玉林期末]在△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°，BC＝8，且E为边BC的中点，连接AE，以AE为边
向上作等边三角形ADE，连接BD，则BD的长为___．
12
解析：如图， 延长BC到点T，使得CT＝CB，连接AT，
∵AC⊥BT，CB＝CT，
∴AB＝AT，
∴∠BAC＝∠TAC＝30°，
∴∠BAT＝60°，
∴△ABT是等边三角形，
∵∠EAD＝∠BAT＝60°，
∴∠BAD＝∠EAT.
12．[2024·鄂尔多斯期末]小明同学复习几种三角形的关系时
发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，
通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内△处填上一个适
当的条件___________________．(只需填上一个即可)
BC＝AB(答案不唯一)
13．[2024·天河区期末]如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB.
(1)若△ABD为等边三角形，请判断△DEF的形状，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若AD＝12，CE＝9，求CF的长．
解：(1)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ADB＝60°，∠ABD＝60°，∠A＝60°
∵CE∥AB，
∴∠DEF＝∠A＝60°，∠EFD＝∠ABD＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
(2)连接AC交BD于点O，如图，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴AO⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°.
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAO＝∠DAO，
∴AE＝CE＝9，
∴DE＝AD－AE＝12－9＝3.
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝3，
∴CF＝CE－EF＝6.
14. [分类讨论][2024·惠城区期中]在边长为10的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒2个单位长度的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
(1)如图1，若Q是BC上一定点，CQ＝6，t为何值时PQ∥AC；
(2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒3个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为
何值时，△APQ为等边三角形？
解：(1)∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，∠B＝60°，AB＝BC，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
∴AP＝CQ.
由题意，得AP＝2t，
则2t＝6，
∴t＝3.
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
(2)①当点Q在边BC上时，如图1，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，如图2，
若△APQ为等边三角形，
则AP＝AQ.
由题意，得AP＝2t，BC＋CQ＝3t，
∴AQ＝BC＋AC－(BC＋CQ)＝10＋10－3t＝20－3t，
即20－3t＝2t，
解得t＝4，
∴当t＝4时，△APQ为等边三角形．
15.[手拉手模型][2024·齐齐哈尔期中]已知点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，
(1)如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝ ___；
如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝ ___；
如图3，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝ ___；
(2)如图4，若∠ACD＝α，则∠AFB＝ ；(用含α的式子表示)
(3)将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD，AE中的一条线段上)，变成如图5所示的情形，且∠ACD＝∠BCE＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
解：(1)如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∵CB＝CE，∠BCE＝60°，
∴△ECB是等边三角形．
∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∠BCD＝∠BCE＋∠DCE，∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD.
∵AC＝DC，CE＝BC，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
∴∠EAC＝∠BDC.
∴∠DFA＝∠DCA＝60°，
∴∠AFB＝120°，
如图2，同理得△ACE≌△DCB.
∴∠AEC＝∠DBC.
又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，
∴∠EFD＝90°.
∴∠AFB＝90°.
如图3，∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD－∠DCE＝∠BCE－∠DCE.
即∠ACE＝∠DCB.
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
∴∠EAC＝∠BDC.
∵∠BDC＋∠FBA＝∠ACD＝120°，
∴∠FAB＋∠FBA＝120°.
∴∠AFB＝60°.
故答案为：120°，90°，60°；
(2)∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE.
∴∠ACE＝∠DCB.
又∵AC＝DC，BC＝EC，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
∴∠CAE＝∠CDB.
∴∠DFA＝∠ACD＝α.
∴∠AFB＝180°－∠DFA＝180°－∠ACD＝180°－α.
故答案为：180°－α.
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
∴∠CBD＝∠CEA，
∴∠EFB＝∠ECB＝α.
∴∠AFB＝180°－∠EFB＝180°－α.
16. [半角模型][2024·福田区期末]在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究：当M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．(提示：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半)
解：(1)∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
∵DM＝DN，BD＝CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL)，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
MN＝2BM＝2CN＝BM＋CN，
AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形．
∵AB＝AM＋BM，
∴AM∶AB＝2∶3，
(3)NC－BM＝MN.
证明：如图3，在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，
可证△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N，
∴NC－M1C＝NC－BM＝NM1＝MN.(共26张PPT)
15．1.2 线段的垂直平分线
1．下列说法正确的个数是( )
①每个命题都有逆命题
②真命题的逆命题是真命题
③每个定理都有逆定理
④定理一定有逆命题
⑤命题“若a＝b，则a3＝b3”的逆命题是假命题
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB.则下列说法正确的是( )
A．AO＝BO
B．直线l是AB的垂直平分线
C．若l⊥AB，则直线l是AB的垂直平分线
D．若∠A＝∠B，则直线l是AB的垂直平分线
3．[2024·洪山区期末]如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，连接BE.若BE平分∠ABC，且∠A＝72°，则∠CED的度数为( )
A．72° B．64°
C．54° D．36°
4．[2024·余姚期末]如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，点M，交AB于点E，交AC于点F，若BC＝4，则△ADM的周长为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D，E，已知△ADE的周长为13 cm，分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为28 cm，则OA的长为( )
A．6.5 cm B．7.5 cm
C．13 cm D．43 cm
6．[2025·赤峰期中]如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为12，AB＝8，则△ABC的周长为( )
A．7 B．14
C．17 D．20
7．[2024·永春县期末]如图，DE垂直平分线段AB于点E，DF垂
直平分线段BC于点F，若AD＝8，则CD＝__．
8
8．[2024·淮北期末]如图，线段BE与线段AC互相垂直平分，相
交于点D，若∠E＝26°，∠ABC＝_____．
52°
9．[2024·榆树期末]如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC＝
BC，AD＝BD，若AB＝5，CD＝4，则△ACD的面积为__．
5
10．[2024·宜兴期末]如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分
线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝_____．
40°
11．[2024·闵行区期末]如图，在△ABC中，已知点O是边AB，
AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，
若∠O＋∠E＝180°，则∠A＝____°.
36
12．[2023·庆安县期末]作图题(不写作图步骤，保留作图痕迹)．
电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A，B的距离必须相等，且到两条高速公路MN，PQ的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
解：如图，点E与点E′为发射塔所在的位置．
13．[2025·鄂尔多斯期末]请你设计“线段的垂直平分线”的仪器．
(1)材料：描述所需材料及要求；
(2)请你设计“线段的垂直平分线”的仪器方案，方案包括画出“仪器”的平面几何图形，写出图形中条件的符号语言，再写出“仪器”的操作说明；
(3)说明你设计方案的合理性．
解：(1)4根细木条，要求两两相等；
(2)仪器的平面几何图形如图1，
其中AD＝AB，CD＝CB，
操作说明：如图2，
将仪器的点D和点B分别放置在一条线段的
两个端点上，画直线AC；AC就是这条线段
DB的垂直平分线；
(3)合理性：如图2，
∵在△ADB中，AD＝AB，
∴点A在线段DB的垂直平分线上，
∵在△CDB中，CD＝CB，
∴点C在线段DB的垂直平分线上，
∴直线AC是线段DB的垂直平分线．
14．[2024·玄武区期末]如图，在△ABC中，直线l是BC边的垂直平分线，l与AB边交于点D，与∠BAC的平分线交于点E，连接BE，CE，延长AC至点F.
(1)求证：∠ABE＝∠ECF；
(2)连接CD，若∠ACD＝30°，则∠ABE＝ °.
解：(1)证明：如图，作EG⊥AB，垂足为点G，EH⊥AF，垂足为点H，
∵直线l是BC边的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EH⊥AF，
∴GE＝HE，
∴Rt△BEG≌Rt△CEH(HL)，
∴∠ABE＝∠ECF；
15. [推理能力][2024·启东期中]已知，在△ABC中，DE垂直平分边AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分边AC，分别交AC，BC于点M，N.
(1)如图1，若∠BAC＝108°，求∠EAN的度数；
(2)如图2，若∠BAC＝78°，求∠EAN的度数；
(3)通过以上的探索过程，请根据图1与图2分别写出∠EAN与∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由．
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠EAB，
同理∠C＝∠CAN，
∴∠EAB＋∠CAN＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC，
∴∠EAN＝∠BAC－(180°－∠BAC) ＝2∠BAC－180°＝2×108°－180°＝36°；
(2)由(1)可知，∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAN，
∴∠EAB＋∠CAN＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC，
∴∠EAN＝∠EAB＋∠CAN－∠BAC＝180°－2∠BAC＝180°－2×
78°＝24°；
(3)由图1知当90°<∠BAC<180°时，
∠EAN＝2∠BAC－180°＝2(180°－∠B－∠C)－180°
＝180°－2(∠B＋∠C)；
由图2知当0°<∠BAC<90°时，
∠EAN＝180°－2∠BAC
＝180°－2(180°－∠B－∠C)
＝2(∠B＋∠C)－180°.(共16张PPT)
15.2 画轴对称的图形
1．[2024·通辽]剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸
作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点
A(－4，2)关于对称轴对称的点的坐标为( )
A．(－4，－2) B．(4，－2)
C．(4，2) D．(－2，－4)
2．[2024·雅安]在平面直角坐标系中，将点P(1，－1)向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是( )
A．(1，1) B．(3，1)
C．(3，－1) D．(1，－1)
3．[2024·思明区期末]如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为(4，2)，则此时对应的虚像火焰顶部S′的坐标是( )
A．(4，－2) B．(2，4)
C．(2，－4) D．(－4，2)
4．已知点A(m－2，1)与点B(5，n－1)关于y轴对称，
则(m＋n)2 025的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．32 025
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化(平移、轴对称)得到的，
下列由△ABC得到△DEF的变化过程错误的
是( )
A．将△ABC沿x轴翻折得到△DEF
B．将△ABC沿直线y＝1翻折，再向下平移2个单位得到△DEF
C．将△ABC向下平移2个单位，再沿直线y＝1翻折得到△DEF
D．将△ABC向下平移4个单位，再沿直线y＝－2翻折得到△DEF
7．[2024·东莞期末]如图，在平面直角坐标系xOy中，∠A＝90°，OA＝2，OB平分∠AOC，点B(a－1，a－2)关于x轴的对称点是( )
A．(－2，1) B．(3，－2)
C．(2，－1) D．(3，－1)
8.[规律探究][2024·洗雅县期末改编]如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标(1，2)，则经过第2 025 次变换后点A的
对应点的坐标为( )
A．(1，－2)
B．(－1，－2)
C．(－1，2)
D．(1，2)
9．[2024·深圳期末]若点A(b＋2，4)与点B(－3，a－1)关于y轴
对称，则2a＋3b＝___．
10．[2024·林州期末]在平面直角坐标系中，将点A(－3，－2)
向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称的点B′的坐
标是___________．
11．[2024·鼓楼区期末]在平面直角坐标系中，点A(2，3)与点B
(－2，3)是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称
轴，则图形中与点C(4，－1)成轴对称的点D坐标是___________．
13
(－2，－2)
(－4，－1)
12．[2024·北京期末]如图，在3×3的正方形网格中有四个格
点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标
轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一
条坐标轴对称，则原点可能是____．
点D
13．[2025·呼和浩特期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－2，－1)，C(－3，1)．
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出C的对称点C1的坐标；
(2)若D(－6，1)与点C关于某一条直线成轴对称，
请你在图中用尺规作图作出这条对称轴；(不写
作法，保留作图痕迹)
(3)在y轴上确定一点E，使△ABE的周长最小．
(不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹)
解：(1)如图，△A1B1C1为所求的三角形，C1(－3，－1)；
(2)如图，直线MN为所求的对称轴；
(3)如图，点E为所求的点．
14.[几何直观]点P(－2，1)与点Q(a，b)关于直线y＝－1对称，则点Q的坐标为( )
A．(－2，－3)
B．(－2，－1)
C．(－2，－2)
D．(－2，－4)
15．[2024·安徽期末]如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
(2)在网格中画出△ABC关于直线m对称的
△A2B2C2；
(3)在直线m上画一点P，使得|PA－PC2|的值
最大．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作；
(2)如图，△A2B2C2即为所求作；
(3)如图，点P即为所求作．(共26张PPT)
15.3 等腰三角形
15．3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1．[2024·昆明期末]大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年(公元1368年)，位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是BC的中点．下列结论不一定正确的是( )
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2AD
3．[2024·兰州]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )
A．100° B．115°
C．130° D．145°
4．[2024·重庆期末]如图，在△ABC中，点M为BC上一点，AB＝AM＝MC，∠B＝50°，则∠C的度数为( )
A．25° B．30°
C．35° D．40°
5．[2024·淮北期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点G，BC＝6，△BCG周长是13，则AB的长是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
7．[2024·蜀山区期末]如图，AB＝AC＝AD，∠BAD＝50°，则∠BCD的度数为( )
A．115° B．130°
C．140° D．155°
8．[2024·镇江]等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长
为__．
9．[2024·绥化]如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A
＝____°.
6
66
10．[2025·呼伦贝尔期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC
边上的中线，在AD上取一点E，连结CE，使得AE＝CE，若∠ECD＝
20°，则∠B＝_____．
55°
11.[分类讨论][2024·安徽期末]定义：等腰三角形的顶角与其
一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若
在等腰△ABC中，∠A＝40°，则它的特征值k等于 ．
12.[分类讨论][2024·海伦期末]等腰三角形的一腰上的高与另
一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为___________．
65°或25°
13．[2024·蒙城县期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC的延长线上，AD＝AE.
(1)若∠BAD＝120°，求∠EDC的度数；
(2)猜想∠BAD与∠EDC的关系，并说明理由．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∵AD＝AE，∴∠E＝∠ADE，
∵∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∠E＋∠ADE＋∠CAD＝180°，
∴2∠ACB＋2∠E＋∠BAD＝360°，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴2(∠DCE＋∠E)＋∠BAD＝360°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DCE＋∠E＝120°，
∴∠EDC＝180°－120°＝60°；
(2)∠BAD＝2∠EDC，理由如下：
由(1)知2(∠DCE＋∠E)＋∠BAD＝360°，
∴2(180°－∠EDC)＋∠BAD＝360°，
∴∠BAD＝2∠EDC.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
(1)DE，DF，CG的长之间的等量关系是 ；
(2)若D在底边BC的延长线上，其他条件不变，试
猜测DE，DF，CG的长之间的等量关系，并说明理
由．
15．[2025·鄂尔多斯期中]已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，连接CE.
(1)发现问题：如图1，当点D在边BC上时，
①请写出BD和CE之间的数量关系 ，位置关系 ；
②线段CE，CD，BC之间的关系是 ；
(2)尝试探究：如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中CE，CD，BC之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝4，CE＝2，求线段CD的长．
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝45°＋45°＝90°，
即BD⊥CE.
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
②由①可得，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，
故答案为：BC＝CD＋CE；
(2)不成立，存在的数量关系为CE＝BC＋CD.
理由：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴BD＝CE，
∴CD＝BC＋BD＝BC＋CE，
∵BC＝4，CE＝2，
∴CD＝4＋2＝6.(共38张PPT)
第2课时 等腰三角形的判定
1．[2024·巴彦淖尔期中]下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝40°，∠B＝80°
C．∠A＝50°，∠B＝65°
D．∠A＝60°，∠B＝70°
2．[2024·蓝田县期中]如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直(OC⊥AC于点C)，跷跷板的一头A着地时∠OAC＝27°，当跷跷板的另一头B在B′处着地时，点A，C，B′在同一水平线上，∠OB′C＝∠OAC，若OA＝1 m，则AB的长度为( )
A．1.5 m B．2 m
C．2.5 m D．3 m
3．[2024·石狮市期末]如图，点A，B在方格图的格点上，在此图中再确定一格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C共有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
4．[2024·厦门期末]如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
5．[2024·宝应县期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°.若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形(无重叠)，则拼成的等腰三角形有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．7种
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，则∠ABC＝70°，
(1)取一个△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，FD＝BC，ED＝AB，∠F＝∠C＝90°，
此时有两种拼图方法：
①将EF与AC拼接在一起，如图1所示：
∵AB＝ED，∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴点B，C(F)，D在一条直线上，
∴△ABD为等腰三角形；
②将DF与BC拼接在一起，如图2所示：
∵AB＝ED，∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴点A，C(F)，D在一条直线上，
∴△ABE为等腰三角形；
(2)取一个△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠E＝35°，
将EF与AC拼接在一起，如图3所示：
∵∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴点B，C(F)，D在一条直线上，
此时∠BAD＝∠BAC＋∠FED＝20°＋35°＝55°，
∴∠BAD＝∠D＝55°，
∴△ABD为等腰三角形；
(3)取一个△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠E＝10°，
将EF与BC拼接在一起，如图4所示：
∵∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴点A，C(F)，D在一条直线上，
此时∠ABD＝∠ABC＋∠FED＝70°＋10°＝80°，
∴∠ABD＝∠D，
∴△ABD为等腰三角形；
(4)取一个△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠E＝50°，
将EF与AC拼接在一起，如图5所示：
∵∠ACB＝∠EFD＝90°，
∴点B，C(F)，D在一条直线上，
此时∠BAD＝∠BAC＋∠FED＝20°＋50°＝70°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴△ABD为等腰三角形；
(5)取一个△EFD，使EF＝AB，∠F＝110°，∠D＝45°，∠E＝25°，
将EF与AB拼接在一起，如图6所示：
∵∠EFD＝110°，∠ABC＝70°，
∴∠EFD＋∠ABC＝180°，
∴点C，B(F)，D在一条直线上，
此时∠CAD＝∠BAC＋∠FED＝20°＋25°＝45°，
∴∠CAD＝∠D，
∴△ACD为等腰三角形；
(6)取一个△EFD，使EF＝BC，∠D＝20°，∠E＝110°，∠F＝50°，
将EF与BC拼接在一起，如图7所示：
∵∠FED＝110°，∠ABC＝70°，
∴∠FED＋∠ABC＝180°，
∴点A，B(E)，D在一条直线上，
此时∠D＝∠A＝20°，
∴△ACD为等腰三角形；
综上所述：拼成的等腰三角形有7种．
6．[2024·林州期末]如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP
分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE
的周长为______．
15 cm
7．[2024·阎良区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直
平分线MN分别交AC，AB于D，E，连接BD，DF⊥BC于点F，若∠A
＝36°，则下列结论：①∠C＝72° ②△ABD和△BCD也都是等
腰三角形 ③DE＝DF.其中所有正确结论的序号有_______．
①②③
8．[2023·余干县期中]如图已知P为射线BM上一动点(P不与B重
合)，∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当以A，O，B三个点中的某两
个点与P点为顶点的三角形是等腰三角形时，∠OAP的度数为_____
______________．
75°
或120°或90°
②OA＝AP，
∵∠AOB＝30°，OA＝AP，
∴∠APO＝∠AOB＝30°，
∴∠OAP＝180°－∠AOB－∠APO
＝180°－30°－30°＝120°；
③AB＝AP，
∵∠ABM＝60°，AB＝AP，
∴∠APO＝∠ABM＝60°，
∴∠OAP＝180°－∠AOB－∠APO
＝180°－30°－60°＝90°；
⑤AP＝BP，
∵∠ABM＝60°，AP＝BP，
∴∠ABM＝∠PAB＝60°，
∴∠APO＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠OAP＝180°－∠AOB－∠APO＝180°－30°－60°＝90°；
综上所述，当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A，O，B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
9．[2024·宿豫区期中]如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，交AB于点E，EG∥BC，交AC于点G
(1)求证：EG＝CG；
(2)延长EG交CF于点H，若点G是EH的中点，
求证：CF平分∠ACD.
证明：(1)∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵EG∥BC，∴∠GEC＝∠ECB，
∴∠GEC＝∠ACE，
∴EG＝CG；
(2)由(1)知EG＝CG，
∠GEC＝∠GCE，
∵点G是EH的中点，
∴EG＝GH，
∴CG＝GH，
∴∠GCH＝∠GHC，
∴∠GCE＋∠GCH＝90°，
∴∠ECB＋∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠ECB，
∴∠ACH＝∠HCD，
∴CF平分∠ACD.
10．[2024·朝阳区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
11．[2023·沂水县期末]已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A.
(1)如图1，试说明CD＝CB；
(2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F.
①试说明∠BCD＝2∠CBE；
②如果△BDF是等腰三角形，
求∠A的度数．
解：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD＋∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC，
∴CD＝CB；
(2)①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE＋∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°－α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α，
∴∠BCD＝180°－∠BDC－∠ABC＝180°－(90°－α)－
(90°－α)＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②设∠CBE＝α，
由①得∠BCD＝2α，∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α，
∴∠DFB＝3α，∠DBF＝90°－2α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∠BDF＝∠DFB，
∴90°－α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∠DBF＝∠DFB，
∴90°－2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述，如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°.
12．[2025·通辽期末]阅读下面材料，完成相应任务：
尺规作图
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形.
数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法.
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
小明的作法：如图①，在射线OA上取点C，E，分别以O为圆心，OC，OE长为半径画弧，交射线OB于点D，F，连接CF，DE交于点P，过点P画射线OP，则射线OP为∠AOB的平分线.
小华的思路：如图②，在OA上任取一点E，在E的右侧作射线EM，使得∠AEM＝∠AOB，在射线EM上取一点P，使EP＝OE，过点P画射线OP，则射线OP是∠AOB的平分线.
赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展训练.
任务一：小明的作法中，可以得出△OED≌△OFC，请你写出证明过程；
任务二：根据小华的思路完成下列问题：
(1)根据小华的作法，证明OP是∠AOB的平分线；
(2)拓展训练：如图③，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF经过点O，与AB，AC相交于点E，F，
且EF∥BC.当AB＝7，AC＝6，求△AEF的周长．
答案：任务一：由作图得：OC＝OD，OE＝OF，
∵∠AOB＝∠BOA，
∴△OED≌△OFC(SAS)；
任务二：
(1)∵∠AEM＝∠AOB，
∴EP∥OB.
∴∠BOP＝∠EPO.
∵OE＝EP，
∴∠AOP＝∠EPO.
∴∠AOP＝∠BOP.
即OP是∠AOB的平分线；
(2)∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC.
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC.
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE.
同理可证：OF＝CF.
∴△AEF的周长＝AF＋OF＋OE＋AE＝AF＋CF＋BE＋AE
＝AC＋AB＝13.
