广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·新会期末）计算的值是（ ）
A．41 B．61 C．62 D．82
【答案】B
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解；，，，因此.
故答案为：B.
【分析】将组合数与排列数的计算结果相加， ，从而确定答案.依据知识点明确计算工具（排列数、组合数公式 ），再通过合理转化（组合数性质简化 ）分步算出各部分值，最后汇总得结果，关键在于对排列、组合公式及性质的熟练运用，以此准确、高效解决问题.
2．（2025高二下·新会期末）下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.
故答案为：A.
【分析】通过对比四组散点图的分布特征，依据线性相关性系数与散点分布的关系，判断出A选项的散点线性相关性最强，对应线性相关性系数最大.理解线性相关性系数的本质（衡量线性关联紧密程度 ），结合散点图“是否沿直线分布、离散程度如何”的直观特征，快速判断相关性强弱.
3．（2025高二下·新会期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由，得，解得，
所以，，ABC错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】以等差数列的基本公式为依托，通过 “设参数 — 列方程 — 解方程组 — 代回求通项” 的步骤，清晰且系统地解决问题，利用公式建立未知量1和d的方程，借助代数运算求解未知量，进而得出数列的通项公式.
4．（2025高二下·新会期末）下列说法正确的是（ ）
A．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种
B．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8
C．一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种
D．从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：对于，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，每人都有3种选择，则不同的选购方式有种，故错误；
对于，从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为种，故错误；
对于，一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，共有种取法，故错误；
对于，从1，2，3，4，5五个数字中任选3个，可组成无重复数字的三位数分三步，首先确定百位有种，再确定十位有种选择，最后个位有种选择，故共有个，故正确．
故答案为：
【分析】依据分类加法计数原理（完成一件事，有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 ） 和分步乘法计数原理（完成一件事，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 ） ，对每个选项逐一分析.
5．（2025高二下·新会期末）某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.52
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设 “第1天去A餐厅用餐”，
“第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，
得，
因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5.
故答案为：C.
【分析】根据题意结合条件概率公式和全概率公式，从而得出王同学第2天去餐厅用餐的概率.
6．（2025高二下·新会期末）下列命题错误的是（ ）
A．有一组数据为、、、、、、、，则它们的第百分位数为
B．线性回归直线一定经过样本点的中心
C．设，且，则
D．随机变量，若，，则
【答案】C
【知识点】线性回归方程；二项分布；正态分布定义；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，数据按从小到大顺序排列为、、、、、、、，则它们的第百分位数为，选项A正确；
对于B，根据线性回归直线的定义知，线性回归方程一定过样本点中心点，选项B正确；
对于C，，且，所以，则，选项C错误；
对于D，由，且，解得，选项D正确．
故答案为：C.
【分析】考查百分位数、线性回归直线、正态分布、二项分布的相关知识，需分别依据各知识点的定义、性质来判断命题正误，解题思路是对每个选项逐一分析：A：利用百分位数定义，先排序数据，再确定第50百分位数的计算方式.B：依据线性回归直线的核心性质——过样本点中心来判断.C：借助正态分布的对称性，结合已知概率求解目标区间概率.D：运用二项分布的均值和方差公式，列方程求解参数 .
7．（2025高二下·新会期末）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：求导得：，则，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，则与轴相交于点，与轴相交于点，
所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
故答案为：C.
【分析】解决曲线在某点处切线与坐标轴围成三角形的面积，需按以下思路：1. 根据求导公式（商的导数法则）求出函数的导数，因为函数在某点处的导数值就是曲线在该点切线的斜率.2. 计算和，是切点的纵坐标，是切线斜率，利用点斜式就能得到切线方程.3. 求出切线方程与轴、轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式（底高 ，这里底和高取坐标轴上截距的绝对值）计算面积.
8．（2025高二下·新会期末）下列四组数据中，方差最小的为（ ）
A．31，22，39 B．30，46，25 C．40，18，30 D．37，42，33
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：A：平均数为，则其方差，
B：平均数为，则其方差，
C：平均数为，则其方差，
D：平均数为，则其方差通过比较可知选项D的方差最小.
故选：D.
【分析】找出方差最小的组，需依据方差的意义与计算方法.方差反映数据的离散程度，离散程度小则方差小.对每组数据计算平均数，再用方差公式（各数据与平均数差的平方和的平均数 ）算出方差，最后比较大小.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·新会期末）下列说法正确的是（ ）
A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立
B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C．样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
【答案】B,D
【知识点】独立性检验；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A，利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，A错误；
对于B，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好，B正确；
对于C，样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，C错误；
对于D，用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D正确．
故答案为：BD.
【分析】考查独立性检验、残差图、相关系数、决定系数的概念及性质，逐个分析选项，依据各知识点的定义和性质判断说法正误：对于独立性检验，关注值与分类变量相关还是独立的关系，残差图中，通过残差点分布带状区域宽度判断模型拟合效果，相关系数，要注意是其绝对值反映线性相关程度.决定系数，依据其与残差平方和、拟合效果的联系判断.
10．（2025高二下·新会期末）已知离数型随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P
下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据分布列的性质可知，解得或，
因为，所以，故A错误，B正确；
根据期公式可得，故C正确；
根据方差公式可得：
，故D正确．
故答案为：.
【分析】围绕离散型随机变量分布列展开，需依据分布列性质（概率和为 、概率在到之间 ）先求，再用期望、方差公式计算并判断选项.利用分布列概率和为列方程求，结合概率范围确定值；再分别用期望、方差公式计算、，逐一验证选项.
11．（2025高二下·新会期末）设正整数，其中，记为上述表示中为1的个数．例如：，所以．已知集合，下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意的，有
C．若，则使成立的的取值个数为
D．
【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，，有2个1，所以，正确；
对于B，当时，，所以，此时，不符合题意，错误；
对于C，注意到，
所以集合中的任一元素均可由唯一表示，
能使的的取值个数为，正确；
对于D，，记，
又，两式相加得，所以，，正确.
故答案为：ACD.
【分析】围绕正整数的二进制表示、集合以及新定义展开，需结合二进制表示、组合数性质等知识，对每个选项从定义理解、性质推导角度分析：A：将转化为二进制，统计其中的个数判断.B：通过举反例，代入特殊值验证等式是否成立.C：根据集合中元素的二进制表示特点，结合组合数定义判断.D：利用组合数性质，通过倒序相加等方法推导求和结果.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·新会期末） 在的展开式中，的系数为 。
【答案】
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.
【分析】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用，应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题。
13．（2025高二下·新会期末）若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为，所以的正约数为共15个数，
其中完全平方数有共6个数，
所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为.
故答案为：.
【分析】计算从 2025 的正约数中任取一个是完全平方数的概率，需按以下步骤：先对 2025 分解质因数，根据质因数分解式确定正约数的个数，再找出其中完全平方数的个数，最后用完全平方数的个数除以正约数总个数得到概率.
14．（2025高二下·新会期末）已知函数，若在处的切线斜率为，则 ；若恒成立，则的取值范围为
【答案】；
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，，则，
法一：恒成立，得，即，
令，则，
令，，得，则在上单调递增，
由指数函数与反比例函数，使得，
所以时，，时，，即时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值，即最小值，
由，，则，即；
法二：，
令且，则，故在上单调递增，则，
由，则，在上，即在上单调递减，在上，
即在上单调递增，所以，即，综上，，
而，当且仅当，即时取“=”，所以.
故答案为：；.
【分析】利用导数几何意义求参数，通过不等式恒成立求的取值范围.（1）先对函数求导，再将代入导函数，结合切线斜率为列方程求解.（2）将变形，通过构造函数，利用导数研究函数单调性、极值（最值 ），进而确定的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·新会期末）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.
机床 品级 合计
一级品 二级品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
（2）依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.
附：χ2=.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解： 甲机床生产的产品中一级品的频率为；乙机床生产的产品中一级品的频率为.
（2）解：，依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）计算两台机床生产一级品的频率，根据频率=一级品数量÷总生产数量来计算；（2）通过独立性检验判断两台机床产品质量是否有差异，需先根据列联表数据计算值，再与临界值比较得出结论.
（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为.
（2），
依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
16．（2025高二下·新会期末）已知数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
【答案】（1）解： 因为数列的前n项和为，且，
当时，，
当时，，适合上式，故.
（2）解：，
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】围绕数列通项公式求解与数列求和展开，需利用数列前项和与通项的关系求通项，再用裂项相消法求和.（1）求通项公式：利用（ ）推导，再验证时是否满足，确定完整通项.（2）求前项和：先对变形，拆分为可裂项的部分与常数，再用裂项相消法求和.
（1）因为数列的前n项和为，且，
当时，，
当时，，适合上式，
故.
（2），
17．（2025高二下·新会期末）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.
（1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差.
【答案】（1）解： 由题意知，的值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：
0 1 2 3
P
.
（2）解：由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且，
，的分布列为：
0 1 2 3
P
.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）对于随机变量，由于是从有限个个体（人）中不放回地抽取，且关注特定类别（打算生二胎）的人数，所以服从超几何分布.需要确定其可能取值，然后根据超几何分布的概率公式计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望.（2）对于随机变量，是从总体中独立重复抽取（以频率为概率，可看作独立重复试验），关注特定类别（打算生二胎）的人数，所以服从二项分布.先确定二项分布的参数，再根据二项分布的概率公式计算每个取值的概率，得到分布列，然后利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差.
（1）由题意知，的值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
；
（2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且，
，
的分布列为：
0 1 2 3
P
.
18．（2025高二下·新会期末）已知函数，.
（1）当，时，求在区间上的最值；
（2）当时，若有三个零点，，，
①求的取值范围；
②判断与的大小关系，并给出证明.
【答案】（1）解： 当时，，所以.求导得.
当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
（2）解：①当时，，当时，即，
那么，且，
若有三个零点则等价于在上有且只有一个零点，令，则，
函数的零点与有相同的零点，又在上零点情况等价于在上零点情况，，
当时，，所以在上单调递减，
所以，函数在上无零点，不符合题意，
当时，令，，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，所以在有唯一零点，即在有唯一零点，
综上所述，有三个零点时，，即的取值范围是；
②，证明如下：由①知，时，有三个零点其中，
考虑，
令，则，
所以在上单调递减，所以，即，所以，
又函数在上为增函数，所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先化简，求导判断单调性，进而求闭区间上的最值.（2）①通过构造函数，求导分析单调性、极值，结合零点个数确定的范围；②利用函数零点关系与单调性，构造新函数证明大小关系 .
（1）当时，，
所以.
求导得.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
（2）①当时，，
当时，即，
那么，且，
若有三个零点则等价于在上有且只有一个零点，
令，则，函数的零点与有相同的零点，
又在上零点情况等价于在上零点情况，，
当时，，
所以在上单调递减，所以，函数在上无零点，不符合题意，
当时，令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，
所以在有唯一零点，即在有唯一零点，
综上所述，有三个零点时，，即的取值范围是；
②，证明如下：
由①知，时，有三个零点其中，
考虑，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
即，所以，又函数在上为增函数，
所以
19．（2025高二下·新会期末）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】解：（1）由题意可知所有可能的取值为：，，，；；，则的分布列如下：
（2），，，，
（i），即，整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：，，，……，
作和可得：，
，表示最终认为甲药更有效的.
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，
此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【知识点】等比数列的前n项和；等比关系的确定；等比数列的性质；离散型随机变量及其分布列；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）明确试验得分的所有可能结果，依据独立事件概率公式，结合甲、乙药治愈率，算每个结果对应的概率，进而得到分布列.
（2）（i）根据已知的治愈率算出、、，代入递推式整理，算相邻两项的比值，判断是否为等比数列；（ii）求等比数列的公比和首项，用累加法结合与的值，逐步推导求出，依据大小解释试验方案合理性.
1 / 1广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·新会期末）计算的值是（ ）
A．41 B．61 C．62 D．82
2．（2025高二下·新会期末）下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高二下·新会期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·新会期末）下列说法正确的是（ ）
A．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种
B．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8
C．一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种
D．从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60
5．（2025高二下·新会期末）某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.52
6．（2025高二下·新会期末）下列命题错误的是（ ）
A．有一组数据为、、、、、、、，则它们的第百分位数为
B．线性回归直线一定经过样本点的中心
C．设，且，则
D．随机变量，若，，则
7．（2025高二下·新会期末）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·新会期末）下列四组数据中，方差最小的为（ ）
A．31，22，39 B．30，46，25 C．40，18，30 D．37，42，33
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·新会期末）下列说法正确的是（ ）
A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立
B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C．样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
10．（2025高二下·新会期末）已知离数型随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P
下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高二下·新会期末）设正整数，其中，记为上述表示中为1的个数．例如：，所以．已知集合，下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意的，有
C．若，则使成立的的取值个数为
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·新会期末） 在的展开式中，的系数为 。
13．（2025高二下·新会期末）若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ．
14．（2025高二下·新会期末）已知函数，若在处的切线斜率为，则 ；若恒成立，则的取值范围为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·新会期末）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.
机床 品级 合计
一级品 二级品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
（2）依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.
附：χ2=.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
16．（2025高二下·新会期末）已知数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
17．（2025高二下·新会期末）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.
（1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差.
18．（2025高二下·新会期末）已知函数，.
（1）当，时，求在区间上的最值；
（2）当时，若有三个零点，，，
①求的取值范围；
②判断与的大小关系，并给出证明.
19．（2025高二下·新会期末）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解；，，，因此.
故答案为：B.
【分析】将组合数与排列数的计算结果相加， ，从而确定答案.依据知识点明确计算工具（排列数、组合数公式 ），再通过合理转化（组合数性质简化 ）分步算出各部分值，最后汇总得结果，关键在于对排列、组合公式及性质的熟练运用，以此准确、高效解决问题.
2．【答案】A
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.
故答案为：A.
【分析】通过对比四组散点图的分布特征，依据线性相关性系数与散点分布的关系，判断出A选项的散点线性相关性最强，对应线性相关性系数最大.理解线性相关性系数的本质（衡量线性关联紧密程度 ），结合散点图“是否沿直线分布、离散程度如何”的直观特征，快速判断相关性强弱.
3．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由，得，解得，
所以，，ABC错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】以等差数列的基本公式为依托，通过 “设参数 — 列方程 — 解方程组 — 代回求通项” 的步骤，清晰且系统地解决问题，利用公式建立未知量1和d的方程，借助代数运算求解未知量，进而得出数列的通项公式.
4．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：对于，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，每人都有3种选择，则不同的选购方式有种，故错误；
对于，从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为种，故错误；
对于，一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，共有种取法，故错误；
对于，从1，2，3，4，5五个数字中任选3个，可组成无重复数字的三位数分三步，首先确定百位有种，再确定十位有种选择，最后个位有种选择，故共有个，故正确．
故答案为：
【分析】依据分类加法计数原理（完成一件事，有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 ） 和分步乘法计数原理（完成一件事，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 ） ，对每个选项逐一分析.
5．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设 “第1天去A餐厅用餐”，
“第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，
得，
因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5.
故答案为：C.
【分析】根据题意结合条件概率公式和全概率公式，从而得出王同学第2天去餐厅用餐的概率.
6．【答案】C
【知识点】线性回归方程；二项分布；正态分布定义；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，数据按从小到大顺序排列为、、、、、、、，则它们的第百分位数为，选项A正确；
对于B，根据线性回归直线的定义知，线性回归方程一定过样本点中心点，选项B正确；
对于C，，且，所以，则，选项C错误；
对于D，由，且，解得，选项D正确．
故答案为：C.
【分析】考查百分位数、线性回归直线、正态分布、二项分布的相关知识，需分别依据各知识点的定义、性质来判断命题正误，解题思路是对每个选项逐一分析：A：利用百分位数定义，先排序数据，再确定第50百分位数的计算方式.B：依据线性回归直线的核心性质——过样本点中心来判断.C：借助正态分布的对称性，结合已知概率求解目标区间概率.D：运用二项分布的均值和方差公式，列方程求解参数 .
7．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：求导得：，则，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，则与轴相交于点，与轴相交于点，
所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
故答案为：C.
【分析】解决曲线在某点处切线与坐标轴围成三角形的面积，需按以下思路：1. 根据求导公式（商的导数法则）求出函数的导数，因为函数在某点处的导数值就是曲线在该点切线的斜率.2. 计算和，是切点的纵坐标，是切线斜率，利用点斜式就能得到切线方程.3. 求出切线方程与轴、轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式（底高 ，这里底和高取坐标轴上截距的绝对值）计算面积.
8．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：A：平均数为，则其方差，
B：平均数为，则其方差，
C：平均数为，则其方差，
D：平均数为，则其方差通过比较可知选项D的方差最小.
故选：D.
【分析】找出方差最小的组，需依据方差的意义与计算方法.方差反映数据的离散程度，离散程度小则方差小.对每组数据计算平均数，再用方差公式（各数据与平均数差的平方和的平均数 ）算出方差，最后比较大小.
9．【答案】B,D
【知识点】独立性检验；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A，利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，A错误；
对于B，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好，B正确；
对于C，样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，C错误；
对于D，用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D正确．
故答案为：BD.
【分析】考查独立性检验、残差图、相关系数、决定系数的概念及性质，逐个分析选项，依据各知识点的定义和性质判断说法正误：对于独立性检验，关注值与分类变量相关还是独立的关系，残差图中，通过残差点分布带状区域宽度判断模型拟合效果，相关系数，要注意是其绝对值反映线性相关程度.决定系数，依据其与残差平方和、拟合效果的联系判断.
10．【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据分布列的性质可知，解得或，
因为，所以，故A错误，B正确；
根据期公式可得，故C正确；
根据方差公式可得：
，故D正确．
故答案为：.
【分析】围绕离散型随机变量分布列展开，需依据分布列性质（概率和为 、概率在到之间 ）先求，再用期望、方差公式计算并判断选项.利用分布列概率和为列方程求，结合概率范围确定值；再分别用期望、方差公式计算、，逐一验证选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，，有2个1，所以，正确；
对于B，当时，，所以，此时，不符合题意，错误；
对于C，注意到，
所以集合中的任一元素均可由唯一表示，
能使的的取值个数为，正确；
对于D，，记，
又，两式相加得，所以，，正确.
故答案为：ACD.
【分析】围绕正整数的二进制表示、集合以及新定义展开，需结合二进制表示、组合数性质等知识，对每个选项从定义理解、性质推导角度分析：A：将转化为二进制，统计其中的个数判断.B：通过举反例，代入特殊值验证等式是否成立.C：根据集合中元素的二进制表示特点，结合组合数定义判断.D：利用组合数性质，通过倒序相加等方法推导求和结果.
12．【答案】
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.
【分析】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用，应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题。
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为，所以的正约数为共15个数，
其中完全平方数有共6个数，
所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为.
故答案为：.
【分析】计算从 2025 的正约数中任取一个是完全平方数的概率，需按以下步骤：先对 2025 分解质因数，根据质因数分解式确定正约数的个数，再找出其中完全平方数的个数，最后用完全平方数的个数除以正约数总个数得到概率.
14．【答案】；
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，，则，
法一：恒成立，得，即，
令，则，
令，，得，则在上单调递增，
由指数函数与反比例函数，使得，
所以时，，时，，即时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值，即最小值，
由，，则，即；
法二：，
令且，则，故在上单调递增，则，
由，则，在上，即在上单调递减，在上，
即在上单调递增，所以，即，综上，，
而，当且仅当，即时取“=”，所以.
故答案为：；.
【分析】利用导数几何意义求参数，通过不等式恒成立求的取值范围.（1）先对函数求导，再将代入导函数，结合切线斜率为列方程求解.（2）将变形，通过构造函数，利用导数研究函数单调性、极值（最值 ），进而确定的取值范围.
15．【答案】（1）解： 甲机床生产的产品中一级品的频率为；乙机床生产的产品中一级品的频率为.
（2）解：，依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）计算两台机床生产一级品的频率，根据频率=一级品数量÷总生产数量来计算；（2）通过独立性检验判断两台机床产品质量是否有差异，需先根据列联表数据计算值，再与临界值比较得出结论.
（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为.
（2），
依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
16．【答案】（1）解： 因为数列的前n项和为，且，
当时，，
当时，，适合上式，故.
（2）解：，
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】围绕数列通项公式求解与数列求和展开，需利用数列前项和与通项的关系求通项，再用裂项相消法求和.（1）求通项公式：利用（ ）推导，再验证时是否满足，确定完整通项.（2）求前项和：先对变形，拆分为可裂项的部分与常数，再用裂项相消法求和.
（1）因为数列的前n项和为，且，
当时，，
当时，，适合上式，
故.
（2），
17．【答案】（1）解： 由题意知，的值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：
0 1 2 3
P
.
（2）解：由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且，
，的分布列为：
0 1 2 3
P
.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）对于随机变量，由于是从有限个个体（人）中不放回地抽取，且关注特定类别（打算生二胎）的人数，所以服从超几何分布.需要确定其可能取值，然后根据超几何分布的概率公式计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望.（2）对于随机变量，是从总体中独立重复抽取（以频率为概率，可看作独立重复试验），关注特定类别（打算生二胎）的人数，所以服从二项分布.先确定二项分布的参数，再根据二项分布的概率公式计算每个取值的概率，得到分布列，然后利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差.
（1）由题意知，的值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
；
（2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且，
，
的分布列为：
0 1 2 3
P
.
18．【答案】（1）解： 当时，，所以.求导得.
当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
（2）解：①当时，，当时，即，
那么，且，
若有三个零点则等价于在上有且只有一个零点，令，则，
函数的零点与有相同的零点，又在上零点情况等价于在上零点情况，，
当时，，所以在上单调递减，
所以，函数在上无零点，不符合题意，
当时，令，，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，所以在有唯一零点，即在有唯一零点，
综上所述，有三个零点时，，即的取值范围是；
②，证明如下：由①知，时，有三个零点其中，
考虑，
令，则，
所以在上单调递减，所以，即，所以，
又函数在上为增函数，所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先化简，求导判断单调性，进而求闭区间上的最值.（2）①通过构造函数，求导分析单调性、极值，结合零点个数确定的范围；②利用函数零点关系与单调性，构造新函数证明大小关系 .
（1）当时，，
所以.
求导得.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
（2）①当时，，
当时，即，
那么，且，
若有三个零点则等价于在上有且只有一个零点，
令，则，函数的零点与有相同的零点，
又在上零点情况等价于在上零点情况，，
当时，，
所以在上单调递减，所以，函数在上无零点，不符合题意，
当时，令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，
所以在有唯一零点，即在有唯一零点，
综上所述，有三个零点时，，即的取值范围是；
②，证明如下：
由①知，时，有三个零点其中，
考虑，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
即，所以，又函数在上为增函数，
所以
19．【答案】解：（1）由题意可知所有可能的取值为：，，，；；，则的分布列如下：
（2），，，，
（i），即，整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：，，，……，
作和可得：，
，表示最终认为甲药更有效的.
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，
此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【知识点】等比数列的前n项和；等比关系的确定；等比数列的性质；离散型随机变量及其分布列；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）明确试验得分的所有可能结果，依据独立事件概率公式，结合甲、乙药治愈率，算每个结果对应的概率，进而得到分布列.
（2）（i）根据已知的治愈率算出、、，代入递推式整理，算相邻两项的比值，判断是否为等比数列；（ii）求等比数列的公比和首项，用累加法结合与的值，逐步推导求出，依据大小解释试验方案合理性.
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