2.3.3点到直线的距离 教学设计-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

点到直线的距离——教学设计
【教学内容分析】
《点到直线的距离》内容选自人教版选择性必修1第二章第三节第三小节，从本节课内容上看，点到直线的距离公式是研究点与线、线与线，以及线与圆位置关系的桥梁，在本章起到承上启下的作用，为研究两直线的位置关系及曲线和曲线之间的关系等整个解析几何奠定基础，因此学好本节内容，对后面的学习将起到事半功倍的效果.从学生的认知基础看，学生对点、线的几何和代数表示以及两点间距离公式都很熟悉，本节课利用所学知识进行公式推导，其运算或繁琐或难度较大，但公式推广应用比较简单，其中包含的运算能力是解析几何学习中学生尤其需要掌握的核心素养，所以让学生参与数学公式推理的建构过程，调动学生积极探索公式的形成显得尤为重要.
推导方法的不同，均展现了解析几何解决问题的一般思想方法：
主讲应用方法1利用坐标法将点到直线的距离转化为两点之间的距离，其思路为：直线的方程 直线的斜率 直线的斜率 直线的方程 点坐标 ，由特殊到一般推导点到直线的距离公式，思路简单但是求解的过程中计算繁琐；提示学生方法2，3课后自行完成推导，方法2利用向量知识中的投影向量的模来推导，需要学生扎实掌握向量的有关知识；方法3利用三角形的面积进行等量代换，需要学生熟练掌握点到直线之间的距离公式.
点到直线距离公式
代数法
坐标法 构造直角三角形 向量法
（求垂足坐标）
【教学目标】
（1）经历利用坐标法推导点到直线的距离公式的过程，知道点到直线之间距离公式的特点，深化公式的应用，体会数形结合、特殊与一般、分类讨论的数学思想，发展直观想象、数学运算、逻辑推理的素养；
（2）经历向量法和三角形的面积进行等量代换推导点到直线的距离公式思路的引导，掌握用向量法推导的分析过程，体会向量法与坐标法，三角形面积法的差异，能比较三种方法的不同特点，进一步体会数形结合，等量代换的数学思想，发展直观想象、数学运算、逻辑推理的素养；
（3）经历求解、转化、归纳的过程，领会数学的严谨性，培养勇于探索的科学精神.
【教学重、难点】
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线的距离公式的推导.
【教学过程】
任务一：点到直线之间的距离推导
问题1：直线外一点到直线的距离是什么？
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
问题2：试求点，到直线的距离？
学生不难发现，点到直线的距离就是点、垂足两点之间的距离，点线问题此时就转化成了点点问题.启发学生画出思维导图如下：
分析思路： 解题过程：
直线的方程 直线的方程
直线的斜率 直线的斜率
点坐标 直线的斜率 直线的斜率
直线的方程 直线的方程 直线的方程
点坐标 点坐标 点坐标
的距离（点到直线的距离）
垂线与直线垂直，直线的斜率为-1，可得垂线的斜率1.
由此，求得垂线方程为，
解方程组：
则，利用两点间距离公式 ，
，
到的距离为 .
将上述分析的过程反过来就是解题的过程，从特殊到一般，给出点和直线的一般形式，提出问题3.
问题3：如图，已知点，直线，如何求到直线的距离？
分析：要求点到直线的距离，根据上面的分析思路设计一系列问题串，需过点P作PQ垂直于l交直线l于Q.此时，点与垂足间的垂线段距离即为所求.
追问1：上一问给出具体点和方程，按照上一问的思考过程，如何推导一般的点到直线之间的距离呢？
步骤1：求垂线的斜率
利用两点间距离公式，确定P，Q点的坐标.
其中，P点坐标已知，需求Q的坐标.
步骤2：求垂线的方程
点是直线与垂线的交点， 点坐标
所以联立两条直线方程求交点坐标.
步骤3：求出点的坐标
已知一点，再求出的斜率， 直线的方程
即可写出的点斜式方程.
步骤4：求出的距离
垂线与直线垂直，直线的斜率为， 直线的斜率
可得垂线的斜率.
由此，求得垂线方程为，
整理得.
解方程组：
将（1）×A+（2）×B得，
整理得.
同理可得
则.
利用两点间距离公式得到：
通分，
.
这里得到了只有关于一般方程的系数和P点坐标中的的式子，那么
由此，求得点P到直线l的距离公式.
直线的方程 直线的斜率 直线的斜率 直线的方程 点坐标 .
追问2：在上面的解题过程中出现了，若,即直线平行于轴，点 到直线的距离还满足上式吗？
此时，到直线的距离
由，也表示为.
追问3：在上面的解题过程中出现了，若,如果直线垂直于轴，点到直线的距离还满足上式吗？
此时，到直线的距离，
点到直线距离也可表示为.
一般地，点到直线的距离：
.
问题4：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢 （此问题具体解题过程给出提示，学生课后自行完成）
分析：在立体几何中，求点到平面的距离，是利用平面外一点P与平面内任意一点Q所确定的向量，在平面法向量上的投影的绝对值来计算的.这是三维空间中的方法，可以类比到二维空间，利用向量投影的方法来求平面内点到直线的距离：
直线的方向向量为，即，则设直线的法向量为，直线上任意一点，，则在法向量上投影的绝对值就是点到直线的距离.即
为避免出现，将其消掉，其中，
所以.
这里得到了只有关于一般方程的系数和P点坐标中的的式子.
显然，利用向量的数量积与模的运算求点到直线的距离公式，运算量是最小的，可以说是公式推导的最优求法.向量是优化几何问题的一个有利工具，例如三角函数中两角差余弦公式的推导，利用向量方法就比传统的几何方法要简单，所以在解析几何的教学中应该充分发挥向量的作用.
问题5：如何构造直角三角形来解决问题？（此问题具体解题过程给出提示，学生课后自行完成）
分析：将距离放到直角三角形中去求，是初中平面几何的常见方法.于是可以利用三角形的面积进行等量代换，所求的恰好是平行于轴构造的直角三角形斜边的高.此时问题场景由求两点之间的距离，转换为求直角三角形斜边上的高：
过点作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得：.
所以，＝｜｜＝
＝｜｜＝
＝×｜｜
由三角形面积公式可知：·＝，所以 .
同样这里得到了只有关于一般方程的系数和P点坐标中的的式子.
此法充分抓住了公式的推导和应用中所运用到的数形结合思想和转化思想，并且能够将已学的知识很好的融入其中，使得学生体会到数和形的结合对化简数学问题能起到良好的作用.
问题6：公式有什么结构特征？
公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系. 特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0.运算结果与实际相符.这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.
注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正.分母则是未知数系数的平方和再开根.
任务二：运用结论，解决问题
点到直线的距离.
我们证明了上面点到直线的距离公式，那么请同学们利用这个关系式尝试解决下面的问题.
问题1：求点到直线的距离.
分析：将直线的方程写成，再用点到直线的距离公式求解.
解：点到直线的距离
问题2：求点到直线的距离.
分析：将直线的方程写成，再用点到直线的距离公式求解.
解：点到直线的距离
总结：公式直接应用，注意把直线的方程化成一般式再应用公式.
问题3：已知的三个顶点分别是，，，求的面积.
分析：利用三角形面积公式可知，求出的长度与到的距离即可.
解：由两点间的距离公式得,
所在直线的方程为，化简得 ,
点到所在直线的距离
因此，
任务三：总结
问题1：本节课我们学了什么？
本节课的核心就是得到点到直线的距离公式.
追问1：如何证明这个公式？
我们采用三种方法推导：
追问2：推导方法1的一般思路是什么？
直线的方程 直线的斜率 直线的斜率 直线的方程 点坐标 .
【作业】A
思考点到直线距离的其他推导方法.
点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
若点到直线的距离是，则实数的值为( )
A. 0 B. 2 C. D.
点在直线上，O为坐标原点，则的最小值是( )
A. B. C. D. 2
5. 若直线垂直，则点（m,1）到直线的距离为
（A） （B） （C） （D）
【作业】B
1.求经过直线和的交点，且到原点的距离等于1的直线方程．
2. 已知点在直线上，O是坐标原点，则的最小值为__________．
3. 已知直线过定点，若在直线上存在点满足，则直线的斜率取值范围是