21.1 二次根式 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

21.1 二次根式
素养目标
1.能说出二次根式的概念,知道二次根式有意义的条件.
2.区别二次根式的性质:(1)≥0(a≥0);(2)()2=a(a≥0);(3)=|a|.
重点
二次根式的概念和基本性质.
【预习导学】
知识点一 二次根式的概念
阅读课本本课时的“思考”之前的所有内容,回答下列问题.
1.若x2=a,则x叫做a的　 　,其中正数a的　 　叫做a的算术平方根,记为.
2.当(1)中的a=0时,它表示　 　,也表示　 　.
3.因为x2不可能是　 　,所以当a<0时,　 　.
4.式子与之前学过的算术平方根类似,需要满足　 　时,才有意义.
温馨提示　式子中的a可以是单独的数或字母,也可以是代数式.
归纳总结　形如 　的式子叫做二次根式.
深入辨析　二次根式需满足两个条件:①含有二次根号“”;②被开方数是非负数.
知识点二 二次根式的基本性质
阅读课本本课时的“思考”至本课时结束,回答下列问题.
1.表示　 　,所以a　 　0,　 　0,即二次根式具有双重非负性.
2.由于“开方”与“乘方”之间互为　 　运算,所以当a≥0时,()2=　 　.
温馨提示　在二次根式的基本性质“()2=a”中,a的取值范围是非负数.
对点自测
1.下列式子中,一定是二次根式的是 ( )
A.
B.
C.
D.
2.计算()2的结果是 ( )
A.-3 B.3 C.-9 D.9
【合作探究】
任务驱动一 二次根式有意义的条件
1.求下列二次根式中a的取值范围.
(1);(2);(3);(4);(5);(6)+.
方法归纳交流　二次根式有意义的条件是被开方数为非负数,对于含有多个二次根式的,需要使每个二次根式都有意义.
变式演练　若是二次根式,则x应满足的条件是 ( )
A.x> B.x≥
C.x< D.x≤
任务驱动二 二次根式的性质
2.综合与探究:(1)探究:=　　　　;=　　　　;=　　　　;
=　　　　;=　　　　.
(2)归纳:一定等于a吗 你发现其中的规律了吗 请你用自己的语言描述出来.
(3)应用:①若x<2,则=　　　;②=　　　　.
(4)拓展:若a,b,c为三角形的三边长,化简++.
方法归纳交流　当a≥0时,=a,当a<0时,=-a,这是二次根式的又一重要性质,是化简二次根式的依据,对于被开方数是完全平方形式的,可以利用此性质化简.这里被开方数a的取值范围是全体实数.
变式演练　若=1-2a,则 ( )
A.a< B.a≤
C.a> D.a≥
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.平方根　正数平方根
2.0的平方根　0的算术平方根
3.负数　没有意义
4.x-1≥0即x≥1
归纳总结
(a≥0)
知识点二
1.非负数a的算术平方根　≥　≥
2.逆　a
对点自测
1.D　2.　B
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)由a-1≥0,解得a≥1.(2)由-a2≥0,得a2≤0,又∵a2不可能是负数,∴a=0.
(3)∵|a|是一个非负数,∴|a|≥0,∴a可以取任意实数.
(4)由于a2本身就是一个非负数,∴a可以取任意实数.
(5)由>0可知a>0.(6)由题意知∴-1≤a≤2.
变式演练　B
任务驱动二
2.解:(1)=3;=;=1;=;=0.
(2)不一定等于a,我发现的规律是当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.
(3)①=2-x;②=π-3.14.
(4)∵a,b,c为三角形的三边,∴a+b-c>0,b-c-a<0,b+c-a>0,
∴++=a+b-c-b+c+a+b+c-a=a+b+c.
变式演练　B