21.2.2 积的算术平方根 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

21.2.2 积的算术平方根
素养目标
1.掌握积的算术平方根的性质,并会化简二次根式.
2.会利用性质“=a(a≥0)”对二次根式进行化简.
重点
积的算术平方根的性质:=·(a≥0,b≥0).
【预习导学】
知识点 积的算术平方根
阅读课本本课时的“例2”及“例2”之前的内容,回答下列问题.
1.回忆二次根式的乘法法则:×= 　(a　 　0,b　 　0).
根据等式的性质可得 　= 　(a　 　0,b　 　0).
归纳总结　积的算术平方根的性质:
符号语言: 　= 　(a　 　0,b　 　0).
文字语言:积的算术平方根等于　 　.
温馨提示　积的算术平方根的性质是二次根式化简的又一依据.
2.因数分解:12=　 　×　 　=　 　×　 　
=　 　×　 　.其中数字　 　可以写成完全平方的形式,
即　 　=　 　;∴== 　①=　 　②.
思考:得到步骤①的依据是　 　;得到步骤②的依据是 　.
温馨提示　性质=a(a≥0)在二次根式的化简中起着重要的作用,常与积的算术平方根的性质综合运用!
对点自测
化简:(1);
(2).
【合作探究】
任务驱动一 积的算术平方根的性质
1.化简:(1);
(2);
(3).
2.二次根式的计算结果是 ( )
A.-3 B.3
C.±3 D.2
3.设a=,b=,用只含有a,b的式子表示,结果是　 　.
4.计算:=　 　.
方法归纳交流　(1)积的算术平方根的性质可以推广到三个数(或多个数)的积,即 　(a≥0,b≥0,c≥0).
(2)灵活运用“积的算术平方根的性质”和“ 　(a≥0)”将被开方数中的完全平方因数转化出来就是对二次根式的一种化简.
变式演练　判断下列等式是否正确,若不正确,请予以改正.
=×=(-3)×(-4)=12.
任务驱动二 积的算术平方根的应用
5.若一个平行四边形的一条边长为a,该边上对应高的长为b,根据下列条件求平行四边形的面积S.
(1)a=,b=.
(2)a=2,b=3.
方法归纳交流　积的算术平方根的性质在实际问题中的应用关键要学会从实际问题中抽象出“　 　”的数学模型.
变式演练　如果某正方形的边长为a cm,它的面积与长为96 cm、宽为12 cm的矩形的面积相等,求a的值.
参考答案
【预习导学】
知识点
1.　≥　≥　　×　≥　≥
归纳总结　　×　≥　≥　各因式算术平方根的积
2.1　12　2　6　3　4　4　4　22　4　×　2
积的算术平方根的性质　=a(a≥0)
对点自测
解:(1)==×=3.
(2)===×=2.
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)=×=12.
(2)==××=40.
(3)===×=5×7=35.
2.B　3.ab3
4.21
方法归纳交流　(1)=··　(2)=a
变式演练　解:不正确.
改正:=×=3×4=12.
任务驱动二
5.解:(1)S=ab=×=6.
答:平行四边形的面积S为6.
(2)S=ab=2×3=18.
答:平行四边形的面积S为18.
方法归纳交流　积的算术平方根
变式演练　解:由题意得a2=96×12,所以a====×××=24.