21.2.3 二次根式的除法 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

21.2.3 二次根式的除法
素养目标
1.掌握二次根式的除法法则,会进行二次根式的除法运算.
2.理解商的算术平方根的性质,了解最简二次根式的概念.
3.会利用商的算术平方根的性质,对二次根式进行化简.
重点
1.会运用二次根式的除法法则,进行二次根式的除法运算.
2.会正确运用商的算术平方根的性质:=(a≥0,b>0),对二次根式进行化简.
【预习导学】
知识点一 二次根式的除法法则
阅读课本本课时的“概括”,回答问题.
探究:(1)∵=　 　,=　 　,∴　 　 .
(2)∵=　 　,=　 　,∴　 　 .
猜想:　 　 .
思考:这里a、b的取值范围是　 　.
归纳总结　二次根式的除法法则:
符号语言:=　 　.
文字语言:两个算术平方根的商,等于　 　的商的算术平方根.
温馨提示　二次根式的除法中要求除数中二次根式的被开方数大于零.
知识点二 商的算术平方根
阅读课本本课时的“例3”至“例4”之前的内容,回答问题.
由等式的性质与二次根式的除法法则可得,
商的算术平方根的性质:=　 　.
思考:这里a、b的取值范围是　 　.
归纳总结　商的算术平方根等于　 　.
温馨提示　商的算术平方根的性质是二次根式化简的又一依据.
知识点三 最简二次根式
阅读课本本课时的“例4”至本课时的内容结束,回答问题.
下面是对的化简过程,认真理解,并写出得到相应步骤的依据.
=①=②==③.
得到①的依据:　 　.得到②的依据:　 　.得到③的依据: 　.
归纳总结　被开方数中不含　 　,并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都　 　的二次根式叫最简二次根式.
温馨提示　像上面的解题过程中,将中分母的二次根式化去的过程称为“分母有理化”.
对点自测
1.若等式=成立,则x的取值范围是 ( )
A.x≠0 B.x≠2
C.x≥2 D.x>2
2.计算:(1);(2)÷.
【合作探究】
任务驱动一 二次根式的除法
1.计算:(1);(2)÷;
(3)3÷2.
任务驱动二 最简二次根式
2.下列二次根式中,属于最简二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
方法归纳交流　最简二次根式必须满足两个条件:①被开方数不含分母和小数;②被开方数中不含能　 　的因数或因式.
变式演练　将化为最简二次根式,其结果是 ( )
A. B.
C. D.
任务驱动三 分母有理化
3.化简:.
变式演练　若x=,y=+1,则 ( )
A.x、y互为倒数 B.x、y互为相反数
C.x、y相等 D.x、y互为负倒数
温馨提示　二次根式的计算和化简的结果,都要化成最简二次根式.
参考答案
【预习导学】
知识点一
(1)　　=
(2)　　=　=　a≥0,b>0
归纳总结　　被开方数
知识点二
　a≥0,b>0
归纳总结　算术平方根的商
知识点三
二次根式的除法法则　分数的基本性质　=a(a≥0)
归纳总结　分母　小于2
对点自测
1.D
2.解:(1)===2.(2)÷===3.
3.解:====.
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)===2.(2)÷====.
(3)3÷2=(3÷2)×÷=×=×6=9.
任务驱动二
2.C
方法归纳交流　开得尽方
变式演练　D
任务驱动三
3.解:===.
变式演练　C