22.1 一元二次方程 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册
文档属性
| 名称 | 22.1 一元二次方程 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 22.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-03 17:20:10 | ||
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文档简介
22.1 一元二次方程
素养目标
1.知道一元二次方程的概念、一般形式,能找出二次项系数、一次项系数、常数项.
2.能从实际问题中抽象出一元二次方程.
重点
会列一元二次方程,并将其整理成一般形式.
【预习导学】
知识点一 一元二次方程的概念
阅读课本本课时的“概括”之前的所有内容,回答下列问题.
1.分别写出问题1、问题2中所得到方程.
问题1所列的方程: .
问题2所列的方程: .
2.任意写一个一元一次方程: .
3.问题1和问题2列出的方程 (填“是”或“不是”)一元一次方程.
4.问题1和问题2中的两个方程都含有 个未知数,未知数的次数最高
是 次,所列方程 (填“是”或“不是”)整式方程.
归纳总结 像上述两个方程,都含有 个未知数,并且未知数的最高次数
是 的 方程,就叫一元二次方程.
温馨提示 (1)一元二次方程必须满足三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③整式方程.(2)定义中的隐含条件:二次项系数不为0.
知识点二 一元二次方程的一般形式
阅读课本本课时的“概括”的所有内容,回答问题.
一元二次方程的一般形式是 ,其中 ≠0, 是二次项, 是二次项系数, 是一次项, 是一次项系数,
是常数项.
温馨提示 (1)在指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项时要包括前面的符号;(2)任何一个一元二次方程都可以化成一般形式,一般形式是一种很有规律的表达式,等号的左边是关于未知数x的二次三项式,且降幂排列,右边是0.
对点自测
1.已知下列方程:①ax2+bx+c=0;②=2;③x2+y=0;④2x(x-1)=1;⑤x2=4;⑥x+3=5.其中一定是关于x的一元二次方程的是 .(只填序号)
2.方程x2-3=2x(x+1)的一般形式为 ,二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .
【合作探究】
任务驱动一 一元二次方程的概念、一般形式
1.判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由.
(1)2x2=0;(2)3x2-4x=5;
(3)3x+2=5x-3;(4)x2-xy+y2=0;
(5)2x2-=0;(6)ax2+3x-2=0.
方法归纳交流 判断一个方程是否为一元二次方程的步骤:①整理化简,使方程的右边为 ,左边不能再合并同类项;②观察一元二次方程的三个条件是否都满足,缺一不可.
2.方程(8-2x)(5-2x)=18的一般形式为 ,其中二次项系数为 ,
一次项系数为 ,常数项为 .
变式演练 关于x的方程(2a-4)x2-2x+a=0,当a 时,此方程为一元一次方程;
当a 时,此方程为一元二次方程.
任务驱动二 一元二次方程的解
3.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个根,求m的值.
变式演练 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则a+b+c= ;若a-b+c=0,则方程必有一根为 .
温馨提示 一元二次方程根的定义可以从两方面理解.(1)性质角度:若m是ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则可得am2+bm+c=0.(2)判定角度:若am2+bm+c=0(a≠0)成立,则m一定是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
任务驱动三 列一元二次方程
4.王叔叔从市场上买来一块长为80 cm,宽为70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他在矩形铁皮的四个角上各减掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为 ( )
A.(80-x)(70-x)=3 000
B.80×70-4x2=3 000
C.(80-2x)(70-2x)=3 000
D.80×70-4x2-(70+80)x=3 000
方法归纳交流 列方程表示实际问题中的等量关系的一般步骤:①明确题意,引入合适的未知数;②分析题目中的已知量与未知量之间的数量关系,列出相应的代数式;③根据 列出方程.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.x2+10x-900=0 5x2+10x-2.2=0
2.2x-1=0(答案不唯一)
3.不是 4.1 2 是
归纳总结 一 2 整式
知识点二
ax2+bx+c=0 a ax2 a bx b c
对点自测
1.④⑤ 2.x2+2x+3=0 1 2 3
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)是一元二次方程,因为满足只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,也是整式方程三个条件.
(2)是一元二次方程,因为满足只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,也是整式方程三个条件.
(3)不是一元二次方程,因为未知数的最高次数不是2.
(4)不是一元二次方程,因为含有两个未知数.
(5)不是一元二次方程,因为不是整式方程.
(6)不是一元二次方程,因为a可能为0.
方法归纳交流 0
2.2x2-13x+11=0 2 -13 11
变式演练 =2 ≠2
任务驱动二
3.解:∵x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个根,∴22+2m+2=0,解得m=-3.
变式演练 0 -1
任务驱动三
4.C
方法归纳交流 等量关系
素养目标
1.知道一元二次方程的概念、一般形式,能找出二次项系数、一次项系数、常数项.
2.能从实际问题中抽象出一元二次方程.
重点
会列一元二次方程,并将其整理成一般形式.
【预习导学】
知识点一 一元二次方程的概念
阅读课本本课时的“概括”之前的所有内容,回答下列问题.
1.分别写出问题1、问题2中所得到方程.
问题1所列的方程: .
问题2所列的方程: .
2.任意写一个一元一次方程: .
3.问题1和问题2列出的方程 (填“是”或“不是”)一元一次方程.
4.问题1和问题2中的两个方程都含有 个未知数,未知数的次数最高
是 次,所列方程 (填“是”或“不是”)整式方程.
归纳总结 像上述两个方程,都含有 个未知数,并且未知数的最高次数
是 的 方程,就叫一元二次方程.
温馨提示 (1)一元二次方程必须满足三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③整式方程.(2)定义中的隐含条件:二次项系数不为0.
知识点二 一元二次方程的一般形式
阅读课本本课时的“概括”的所有内容,回答问题.
一元二次方程的一般形式是 ,其中 ≠0, 是二次项, 是二次项系数, 是一次项, 是一次项系数,
是常数项.
温馨提示 (1)在指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项时要包括前面的符号;(2)任何一个一元二次方程都可以化成一般形式,一般形式是一种很有规律的表达式,等号的左边是关于未知数x的二次三项式,且降幂排列,右边是0.
对点自测
1.已知下列方程:①ax2+bx+c=0;②=2;③x2+y=0;④2x(x-1)=1;⑤x2=4;⑥x+3=5.其中一定是关于x的一元二次方程的是 .(只填序号)
2.方程x2-3=2x(x+1)的一般形式为 ,二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .
【合作探究】
任务驱动一 一元二次方程的概念、一般形式
1.判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由.
(1)2x2=0;(2)3x2-4x=5;
(3)3x+2=5x-3;(4)x2-xy+y2=0;
(5)2x2-=0;(6)ax2+3x-2=0.
方法归纳交流 判断一个方程是否为一元二次方程的步骤:①整理化简,使方程的右边为 ,左边不能再合并同类项;②观察一元二次方程的三个条件是否都满足,缺一不可.
2.方程(8-2x)(5-2x)=18的一般形式为 ,其中二次项系数为 ,
一次项系数为 ,常数项为 .
变式演练 关于x的方程(2a-4)x2-2x+a=0,当a 时,此方程为一元一次方程;
当a 时,此方程为一元二次方程.
任务驱动二 一元二次方程的解
3.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个根,求m的值.
变式演练 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则a+b+c= ;若a-b+c=0,则方程必有一根为 .
温馨提示 一元二次方程根的定义可以从两方面理解.(1)性质角度:若m是ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则可得am2+bm+c=0.(2)判定角度:若am2+bm+c=0(a≠0)成立,则m一定是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
任务驱动三 列一元二次方程
4.王叔叔从市场上买来一块长为80 cm,宽为70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他在矩形铁皮的四个角上各减掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为 ( )
A.(80-x)(70-x)=3 000
B.80×70-4x2=3 000
C.(80-2x)(70-2x)=3 000
D.80×70-4x2-(70+80)x=3 000
方法归纳交流 列方程表示实际问题中的等量关系的一般步骤:①明确题意,引入合适的未知数;②分析题目中的已知量与未知量之间的数量关系,列出相应的代数式;③根据 列出方程.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.x2+10x-900=0 5x2+10x-2.2=0
2.2x-1=0(答案不唯一)
3.不是 4.1 2 是
归纳总结 一 2 整式
知识点二
ax2+bx+c=0 a ax2 a bx b c
对点自测
1.④⑤ 2.x2+2x+3=0 1 2 3
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)是一元二次方程,因为满足只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,也是整式方程三个条件.
(2)是一元二次方程,因为满足只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,也是整式方程三个条件.
(3)不是一元二次方程,因为未知数的最高次数不是2.
(4)不是一元二次方程,因为含有两个未知数.
(5)不是一元二次方程,因为不是整式方程.
(6)不是一元二次方程,因为a可能为0.
方法归纳交流 0
2.2x2-13x+11=0 2 -13 11
变式演练 =2 ≠2
任务驱动二
3.解:∵x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个根,∴22+2m+2=0,解得m=-3.
变式演练 0 -1
任务驱动三
4.C
方法归纳交流 等量关系