22.2.1 第1课时 直接开平方法
素养目标
1.会用直接开平方法解形如(ax+m)2=n(a≠0,n≥0)的方程.
2.经历用直接开平方法解一元二次方程的过程,体会转化的数学思想方法.
重点
用直接开平方法解一元二次方程.
【预习导学】
知识点 用直接开平方法解一元二次方程
阅读课本本课时的“思考”之前所有内容,回答下列问题.
1.回忆:若x2=a(a≥0),则x= .
2.若x2=4,则x= = ,这里得到了方程的 个根,所以也可以表示成x1= ,x2= .
温馨提示 (1)一元二次方程有两个根,通常写成“x1=……,x2=……”的形式.
(2)解一元二次方程的基本思想是“降次、转化”.
归纳总结 像上面2中得到方程解的方法叫 .
对点自测
1.若关于x的方程(x-4)2=a有实数解,则a的取值范围是 ( )
A.a≤0
B.a≥0
C.a>0
D.无法确定
2.若x2=121,则x1= ,x2= .
3.若(2x+1)2-49=0,则x= .
【合作探究】
任务驱动 用直接开平方法解一元二次方程
用直接开平方法解下列方程:
(1)x2=3.
(2)8x2=2.
(3)(x+1)2-9=0.
(4)(3x+1)2-9=0.
(5)100(1-x)2=64.
(6)3(2x+3)2-75=0.
方法归纳交流 (1)用直接开平方法解方程的一般步骤:①把方程化为“左 ,右 ”的形式;②把平方项的系数化为1;③开平方取 ,求得方程的解,并将方程的解写成“x1=……,x2=……”的形式.
(2)适合用直接开平方法解一元二次方程的类型:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).
(3)直接开平方法解一元二次方程时要注意:①切勿漏掉 ;②切勿两边都取正负.
变式演练 用直接开平方法解下列方程:
(1)x2-16=0.
(2)(x+3)2=5.
(3)4(x+1)2-49=0.
(4)(x-2)2=16.
参考答案
【预习导学】
知识点
1.±
2.± ±2 两 2 -2
归纳总结 直接开平方法
对点自测
1.B 2.11 -11
3.3或-4
【合作探究】
任务驱动
解:(1)x2=3,x=±,∴x1=,x2=-.
(2)8x2=2,x2=,x=±,∴x1=,x2=-.
(3)(x+1)2-9=0,(x+1)2=9,x+1=±3,∴x1=2,x2=-4.
(4)(3x+1)2-9=0,(3x+1)2=9,3x+1=±3,3x+1=3或3x+1=-3,∴x1=,x2=-.
(5)100(1-x)2=64,(1-x)2=,1-x=±,
∴x1=,x2=.
(6)3(2x+3)2-75=0,3(2x+3)2=75,(2x+3)2=25,2x+3=±5,2x+3=5或2x+3=-5,∴x1=1,x2=-4.
方法归纳交流 (1)①平方 常数 ②正负
(3)①负根
变式演练 解:(1)x2-16=0,
x2=16,
∴x1=4,x2=-4.
(2)(x+3)2=5.
x+3=±,
∴x1=-3,x2=--3.
(3)4(x+1)2-49=0,
(x+1)2=,
x+1=±,
∴x1=-1=,x2=--1=-.
(4)(x-2)2=16.
(x-2)2=64,
x-2=±8,
∴x1=10,x2=-6.22.2.1 第2课时 因式分解法
素养目标
1.掌握能化成“(x+a)(x-a)=0”型方程的解法——因式分解法.
2.了解因式分解法解一元二次方程的依据是“若a·b=0,则a=0或b=0”.
重点
用因式分解法解一元二次方程.
【预习导学】
知识点 用因式分解法解一元二次方程
1.因式分解:x2-1= .
2.若a·b=0,则 .
3.由1可知,方程x2-1=0可以写成 =0的形式,即原方程可以转化
为 或 ,所以得到原方程的解为x1= ,x2= .
4.小林在解方程“x(3x+2)-6(3x+2)=0”时,将方程转化为“x(3x+2)=6(3x+2)”后,方程两边都除以(3x+2)得x=6,这种解法对吗 为什么
归纳总结 如第3点一样,得到方程解的方法叫 .
温馨提示 (1)提公因式法分解因式时,a-b=-(b-a),(a-b)2=(b-a)2.
(2)在解方程时,方程的两边不能都除以一个含有未知数的代数式,那样会容易造成丢根现象.
对点自测
1.若5x2-10x=0,则x1= ,x2= .
2.一元二次方程xx++x=-的解是 .
【合作探究】
任务驱动 用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解下列方程:
(1)x2+16x=0.
(2)(3x+2)2-4x2=0.
(3)5x2+20x+20=0.
(4)2x(x+3)-3(x+3)=0.
方法归纳交流 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①将方程的左边分解为两个一次因式的积,方程的右边化为 ;②依据“若a·b=0,则 或 ”,令每一个因式分别等于0,得到两个一元一次方程;③解这两个一元一次方程,它们的两个解就是原方程的解.
变式演练 1.用因式分解法解下列方程:
(1)x2-2x=0;
(2)(3-x)2-36=0;
(3)(x+2)2-9x2=0;
(4)x2-2x=-4+2x;
(5)(x-3)(x-1)=3.
温馨提示 一元二次方程若有根,一定有两个根,当两个根相等时,写成“x1=x2=……”.
方法归纳交流 (1)可以将方程变形为 =0的方程,适合用因式分解法解.
(2)在解一元二次方程的过程中,有时将“某个整式”当作一个整体处理会使运算更简便,这体现了一种数学思想——“ 思想”.
2.根据图中的程序,当输入方程x2=2x的解x时,输出结果y等于 ( )
A.-4 B.2
C.-4或2 D.2或-2
3.方程(x-2)(x-4)=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.8或10
4.用因式分解法解下列方程.
(1)(1-x)2=2(x-1);
(2)4(x-2)2=9(x+3)2;
(3)x2+3=3(x+1).
参考答案
【预习导学】
知识点
1.(x+1)(x-1)
2.a=0或b=0
3.(x+1)(x-1) x+1=0 x-1=0 -1 1
4.解:不对,因为小林将方程两边都除以的代数式(3x+2)中含有未知数,也就是说不确定3x+2是否为0,只有当3x+2≠0时,方程才是同解变形,而当3x+2=0时,方程就会漏解.
归纳总结 因式分解法
对点自测
1.0 2
2.x1=-1,x2=-
【合作探究】
任务驱动
解:(1)x2+16x=0,x(x+16)=0,∴x=0或x+16=0,∴x1=0,x2=-16.
(2)(3x+2)2-4x2=0,(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0,∴5x+2=0或x+2=0,∴x1=-,x2=-2.
(3)5x2+20x+20=0,x2+4x+4=0,(x+2)2=0,
∴x1=x2=-2.
(4)2x(x+3)-3(x+3)=0,(x+3)(2x-3)=0,∴x+3=0或2x-3=0,∴x1=-3,x2=.
方法归纳交流 ①0 ②a=0 b=0
变式演练
1.解:(1)x2-2x=0,
x(x-2)=0,
∴x1=0,x2=2.
(2)(3-x)2-36=0,
(3-x)2-62=0,
(3-x+6)(3-x-6)=0,
(9-x)(-x-3)=0,
9-x=0或-x-3=0,
∴x1=9,x2=-3.
(3)(x+2)2-9x2=0,
(x+2+3x)(x+2-3x)=0,
(4x+2)(-2x+2)=0,
∴4x+2=0或-2x+2=0,
∴x1=-,x2=1.
(4)x2-2x=-4+2x,
x2-2x+4-2x=0,
x2-4x+4=0,
(x-2)2=0,
∴x1=x2=2.
(5)(x-3)(x-1)=3,
x2-4x+3=3,
x2-4x=0,
x(x-4)=0,
∴x1=0,x2=4.
方法归纳交流 (1)(x+a)(x+b) (2)整体
2.C 3.C
4.解:(1)(1-x)2=2(x-1),
(x-1)2-2(x-1)=0,
(x-1)(x-1-2)=0,
(x-1)(x-3)=0,
x-1=0或x-3=0,
∴x1=1,x2=3.
(2)4(x-2)2-9(x+3)2=0,
[2(x-2)-3(x+3)][2(x-2)+3(x+3)]=0,
(2x-4-3x-9)(2x-4+3x+9)=0,
(-x-13)(5x+5)=0,
∴-x-13=0或5x+5=0,
∴x1=-13,x2=-1.
(3)x2+3=3(x+1),
x2+3=3x+3,
x2-3x=0,
x(x-3)=0,
∴x1=0,x2=3.
