23.3.3 相似三角形的性质 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

23.3.3 相似三角形的性质
素养目标
1.掌握相似三角形的相似比与对应高、中线、角平分线、周长、面积的比存在的等量关系.
2.进一步巩固三角形相似的判定定理,并能进行相应性质的推导.
3.能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算.
重点
相似三角形性质定理及其应用.
【预习导学】
知识点一 相似三角形的对应高的比与面积比
认真阅读课本中“探索”的内容,理解相似三角形对应高的比、面积比的求解方法,解决下面的问题.
参照“图23.3.14”,写出关于“相似三角形对应边上高的比”的求解过程.
揭示定理　相似三角形对应边上的高的比等于　 　;相似三角形面积的比等于　 　.
知识点二 相似三角形的对应中线的比、对应角平分线的比和周长比
仿照求相似三角形对应高的比和面积比的方法,解决下面的问题.
1.如图,△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,其中AE、A'E'分别是∠BAC、∠B'A'C'的平分线,求的值.
归纳总结　相似三角形对应角的平分线之比等于　 　.
2.在第1问中,若AE、A'E'分别是边BC、B'C'上的中线,求的值.
归纳总结　相似三角形对应边上的中线之比等于　 　.
3.如图,△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,那么△ABC与△A'B'C'的周长之比等于相似比吗 证明你的猜想.
归纳总结　相似三角形周长之比等于　 　.
【合作探究】
任务驱动一 三角形面积比的求法
1.已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=3AD,则=　 　,=　 　.
变式演练　第1题中△ACD与△ABC的面积之比为　 　,△ACD与△BOC的面积之比为　 　.
方法归纳交流　当两个三角形相似时,面积比等于　 　;当两个三角形同高(或等高)时,面积比等于　 　.
任务驱动二 利用相似三角形的性质求周长、面积
2.如图,在△ABC和△EBD中,===.
(1)若△ABC与△EBD的周长之差为60 cm,求这两个三角形的周长.
(2)若△ABC与△EBD的面积和为812 cm2,求这两个三角形的面积.
参考答案
【预习导学】
知识点一
解:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.
∵∠ABD=∠A'B'D',
∴△ABD∽△A'B'D',
∴==k.
揭示定理　相似比　相似比的平方
知识点二
1.解:∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠BAC=∠B'A'C'.
∵AE、A'E'分别是∠BAC、∠B'A'C'的平分线,
∴∠BAE=∠B'A'E',
∴△ABE∽△A'B'E',
∴==k.
归纳总结　相似比
2.解:∵△ABC∽△A'B'C',
∴==k,∠B=∠B'.
∵AE、A'E'分别是边BC、B'C'上的中线,
∴==k,
∴△ABE∽△A'B'E',
∴==k.
归纳总结　相似比
3.解:∵△ABC∽△A'B'C',
∴===k,
∴=k,
即两个三角形的周长之比为k.
归纳总结　相似比
【合作探究】
任务驱动一
1.　
变式演练　1∶3　4∶9
方法归纳交流　相似比的平方　对应底的比
任务驱动二
2.解:∵===,
∴△ABC∽△EBD,
∴△ABC与△EBD的相似比为,周长比为,面积比为.
(1)设△ABC的周长为5x cm,则△EBD的周长为2x cm,
根据题意得5x-2x=60,解得x=20.
∴△ABC的周长为100 cm,△EBD的周长为40 cm.
(2)设△ABC的面积为25y cm2,则△EBD的面积为4y cm2.
根据题意得25y+4y=812,解得y=28.
∴△ABC的面积为700 cm2,△EBD的面积为112 cm2.