23.3.2 相似三角形的判定 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册
文档属性
| 名称 | 23.3.2 相似三角形的判定 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 99.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-03 17:24:54 | ||
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文档简介
23.3.2 第1课时 判定定理1
素养目标
1.经历探索三角形相似的最少条件的过程,理解并掌握两个三角形相似的方法.
2.能够运用相似三角形的判定定理判断两个三角形是否相似.
重点
探索两个三角形相似的方法及其应用.
【预习导学】
知识点 相似三角形的判定定理1
认真阅读本课时“回顾”与“探索”的内容,解决下面的问题.
1.测量“图23.3.6”中两个三角形的边长,并判断两个三角形的边是否对应成比例,两个三角形是否相似.
2.在如图所示的网格中画两个三角形,使它们有两组角对应相等,计算这两个三角形的三边是否对应成比例,这样的两个三角形相似吗
归纳总结 相似三角形的判定定理1: 角分别相等的两个三角形相似.
对点自测
如图,请判断△ABC和△A'B'C'是否相似,并说明理由.
【合作探究】
任务驱动一 相似三角形判定定理的证明
认真阅读本课时的“思考”前“相似三角形判定定理”的证明过程,解决下面的问题.
1.在“图23.3.7”中,△ADE与△ABC的关系是 ,△ADE与△A1B1C1的关系是 ,所以可以推证出△A1B1C1与△ABC相似.由此可见,在证明过程中隐含着全等变换:将△A1B1C1全等变换到 .
任务驱动二 直角三角形相似的判定方法
认真学习“例2”,理解并掌握直角三角形的判定方法,解决下面的问题.
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,求证:△ABD∽△CAD.图中还有其他三角形相似吗 如果有,请直接写出来.
方法归纳交流 两个直角三角形,若有 对锐角对应相等,则它们一定相似.
任务驱动三 相似三角形判定定理1的应用
认真学习“例3”,理解相似三角形判定定理1的应用,解决下面的问题.
3.回答“例3”旁边“想一想”提出的问题.
4.关于“例3”,你还有其他证明方法吗
方法归纳交流 若图形A与图形B相似,图形B与图形C相似,则图形A相似于图形C,我们称之为相似图形具有传递性.
5.如图,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则AD= .
参考答案
【预习导学】
知识点
1.解:略.
2.解:图略.有两组角对应相等的两个三角形相似.
归纳总结 两
对点自测
解:相似.
理由:在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠C=180°-76°-45°=59°,
∴∠A=∠A',∠B=∠B',
∴△ABC∽△A'B'C'.
【合作探究】
任务驱动一
1.相似 全等 △ADE
任务驱动二
2.证明:如图,∵∠BAC=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠2+∠C=90°,∴∠1=∠C.
又∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴△ABD∽△CAD.
图中还有其他三角形相似,△ABD∽△CAD∽CBA.
方法归纳交流 一
任务驱动三
3.解:如果D恰好是边AB的中点,则E是边AC的中点,DE平行于BC并等于BC的一半,△ADE与△EFC是全等的.
4.解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC(平行于三角形一边的直线,和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似).
同理,△EFC∽△ABC.
∴△ADE∽△ABC.
23.3.2 第2课时 判定定理2、3
素养目标
1.经历探索相似三角形判定定理2、3的过程,掌握定理内容.
2.理解相似三角形判定定理2、3的证明过程,能够应用定理进行简单的证明.
重点
相似三角形判定定理2、3及其应用.
【预习导学】
知识点一 相似三角形的判定定理2
认真阅读课本中“探索”的内容,解决下面的问题.
1.在“图23.3.10”中标出符合条件的点E的位置,并试着说一说△ADE与△ABC相似的理由.
2.观察“图23.3.10”中△ADE与△ABC的边、角关系,猜想当两个三角形满足什么条件时相似.
3.阅读课本“猜想”,看一看你的猜想与课本中的结论是否一致,理解其证明过程.在证明定理的过程中,构造的△ADE与△ABC ,与△A1B1C1 ,所以△ABC与△A1B1C1 .
归纳总结 相似三角形的判定定理2:两边 且 角相等的两个三角形相似.
知识点二 相似三角形的判定定理3
认真阅读“例4”后的“探索”与“做一做”的内容,解决下面的问题.
1.按“做一做”中提出的要求在图23.3.13中画出两个三角形,并判断它们是否相似.
2.仿照“相似三角形判定定理2”的描述方法,猜想当两个三角形满足什么条件时相似.
3.试着证明你的猜想.
对点自测
在△ABC和△DEF中,=,则添加 可以证明△ABC∽△DEF.①∠A=∠D;②∠B=∠E;③∠C=∠F.
【合作探究】
任务驱动一 相似三角形判定定理2、3的应用
认真阅读本课时“例4”和“例5”之间的内容,解决下面的问题.
1.在△ABC与△A'B'C'中,有下列条件:①=;②=;③∠A=∠A';④∠C=∠C'.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有 ( )
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
2.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是 ( )
A.∠C=∠E
B.∠B=∠ADE
C.=
D.=
思考:当两边对应成比例时,相等的角不是这两边的夹角,那么这两个三角形还相似吗
方法归纳交流 当两边对应成比例时,相等的一组角必须是两边的 角.
任务驱动二 相似三角形与网格
3.如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:∠ABC= ,BC= .
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
方法归纳交流 当三角形出现在网格中时,可以读出某些特殊角的度数,或者根
据 求出边长,再运用相似三角形的判定定理判断两个三角形是否相似.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.解:略.
2.解:两边成比例且夹角相等.
3.相似 全等 相似
归纳总结 成比例 夹
知识点二
1.解:图略,相似.
2.解:三边对应成比例的两个三角形相似.
3.解:证明如下:
已知:如图,在△ABC和△A1B1C1中,==.
求证:△ABC∽△A1B1C1.
证明:如图,在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1,在边AC上截取AE=A1C1,连结DE.
∵=,
∴=.
又∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADE,
∴==,
∴=,即DE=B1C1.
∵AD=A1B1,AE=A1C1,DE=B1C1,
∴△ADE≌△A1B1C1,
∴△ABC∽△A1B1C1.
对点自测
①
【合作探究】
任务驱动一
1.C 2.D
2.解:不相似.
方法归纳交流 夹
任务驱动二
3.解:(1)135°;2.
(2)△ABC∽△DEF.
证明:∵在4×4的正方形方格中,
∠ABC=135°,∠DEF=90°+45°=135°,
∴∠ABC=∠DEF.
∵AB=2,BC=2,FE=2,DE=,
∴==,==,∴=,
∴△ABC∽△DEF.
方法归纳交流 勾股定理
素养目标
1.经历探索三角形相似的最少条件的过程,理解并掌握两个三角形相似的方法.
2.能够运用相似三角形的判定定理判断两个三角形是否相似.
重点
探索两个三角形相似的方法及其应用.
【预习导学】
知识点 相似三角形的判定定理1
认真阅读本课时“回顾”与“探索”的内容,解决下面的问题.
1.测量“图23.3.6”中两个三角形的边长,并判断两个三角形的边是否对应成比例,两个三角形是否相似.
2.在如图所示的网格中画两个三角形,使它们有两组角对应相等,计算这两个三角形的三边是否对应成比例,这样的两个三角形相似吗
归纳总结 相似三角形的判定定理1: 角分别相等的两个三角形相似.
对点自测
如图,请判断△ABC和△A'B'C'是否相似,并说明理由.
【合作探究】
任务驱动一 相似三角形判定定理的证明
认真阅读本课时的“思考”前“相似三角形判定定理”的证明过程,解决下面的问题.
1.在“图23.3.7”中,△ADE与△ABC的关系是 ,△ADE与△A1B1C1的关系是 ,所以可以推证出△A1B1C1与△ABC相似.由此可见,在证明过程中隐含着全等变换:将△A1B1C1全等变换到 .
任务驱动二 直角三角形相似的判定方法
认真学习“例2”,理解并掌握直角三角形的判定方法,解决下面的问题.
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,求证:△ABD∽△CAD.图中还有其他三角形相似吗 如果有,请直接写出来.
方法归纳交流 两个直角三角形,若有 对锐角对应相等,则它们一定相似.
任务驱动三 相似三角形判定定理1的应用
认真学习“例3”,理解相似三角形判定定理1的应用,解决下面的问题.
3.回答“例3”旁边“想一想”提出的问题.
4.关于“例3”,你还有其他证明方法吗
方法归纳交流 若图形A与图形B相似,图形B与图形C相似,则图形A相似于图形C,我们称之为相似图形具有传递性.
5.如图,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则AD= .
参考答案
【预习导学】
知识点
1.解:略.
2.解:图略.有两组角对应相等的两个三角形相似.
归纳总结 两
对点自测
解:相似.
理由:在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠C=180°-76°-45°=59°,
∴∠A=∠A',∠B=∠B',
∴△ABC∽△A'B'C'.
【合作探究】
任务驱动一
1.相似 全等 △ADE
任务驱动二
2.证明:如图,∵∠BAC=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠2+∠C=90°,∴∠1=∠C.
又∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴△ABD∽△CAD.
图中还有其他三角形相似,△ABD∽△CAD∽CBA.
方法归纳交流 一
任务驱动三
3.解:如果D恰好是边AB的中点,则E是边AC的中点,DE平行于BC并等于BC的一半,△ADE与△EFC是全等的.
4.解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC(平行于三角形一边的直线,和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似).
同理,△EFC∽△ABC.
∴△ADE∽△ABC.
23.3.2 第2课时 判定定理2、3
素养目标
1.经历探索相似三角形判定定理2、3的过程,掌握定理内容.
2.理解相似三角形判定定理2、3的证明过程,能够应用定理进行简单的证明.
重点
相似三角形判定定理2、3及其应用.
【预习导学】
知识点一 相似三角形的判定定理2
认真阅读课本中“探索”的内容,解决下面的问题.
1.在“图23.3.10”中标出符合条件的点E的位置,并试着说一说△ADE与△ABC相似的理由.
2.观察“图23.3.10”中△ADE与△ABC的边、角关系,猜想当两个三角形满足什么条件时相似.
3.阅读课本“猜想”,看一看你的猜想与课本中的结论是否一致,理解其证明过程.在证明定理的过程中,构造的△ADE与△ABC ,与△A1B1C1 ,所以△ABC与△A1B1C1 .
归纳总结 相似三角形的判定定理2:两边 且 角相等的两个三角形相似.
知识点二 相似三角形的判定定理3
认真阅读“例4”后的“探索”与“做一做”的内容,解决下面的问题.
1.按“做一做”中提出的要求在图23.3.13中画出两个三角形,并判断它们是否相似.
2.仿照“相似三角形判定定理2”的描述方法,猜想当两个三角形满足什么条件时相似.
3.试着证明你的猜想.
对点自测
在△ABC和△DEF中,=,则添加 可以证明△ABC∽△DEF.①∠A=∠D;②∠B=∠E;③∠C=∠F.
【合作探究】
任务驱动一 相似三角形判定定理2、3的应用
认真阅读本课时“例4”和“例5”之间的内容,解决下面的问题.
1.在△ABC与△A'B'C'中,有下列条件:①=;②=;③∠A=∠A';④∠C=∠C'.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有 ( )
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
2.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是 ( )
A.∠C=∠E
B.∠B=∠ADE
C.=
D.=
思考:当两边对应成比例时,相等的角不是这两边的夹角,那么这两个三角形还相似吗
方法归纳交流 当两边对应成比例时,相等的一组角必须是两边的 角.
任务驱动二 相似三角形与网格
3.如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:∠ABC= ,BC= .
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
方法归纳交流 当三角形出现在网格中时,可以读出某些特殊角的度数,或者根
据 求出边长,再运用相似三角形的判定定理判断两个三角形是否相似.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.解:略.
2.解:两边成比例且夹角相等.
3.相似 全等 相似
归纳总结 成比例 夹
知识点二
1.解:图略,相似.
2.解:三边对应成比例的两个三角形相似.
3.解:证明如下:
已知:如图,在△ABC和△A1B1C1中,==.
求证:△ABC∽△A1B1C1.
证明:如图,在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1,在边AC上截取AE=A1C1,连结DE.
∵=,
∴=.
又∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADE,
∴==,
∴=,即DE=B1C1.
∵AD=A1B1,AE=A1C1,DE=B1C1,
∴△ADE≌△A1B1C1,
∴△ABC∽△A1B1C1.
对点自测
①
【合作探究】
任务驱动一
1.C 2.D
2.解:不相似.
方法归纳交流 夹
任务驱动二
3.解:(1)135°;2.
(2)△ABC∽△DEF.
证明:∵在4×4的正方形方格中,
∠ABC=135°,∠DEF=90°+45°=135°,
∴∠ABC=∠DEF.
∵AB=2,BC=2,FE=2,DE=,
∴==,==,∴=,
∴△ABC∽△DEF.
方法归纳交流 勾股定理