23.4 中位线 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

23.4 中位线
素养目标
1.经历三角形中位线的性质定理的探索过程.
2.掌握定理,并能利用它们解决简单的问题.
重点
相似三角形性质定理及其应用.
【预习导学】
知识点一 三角形的中位线
认真阅读下面的内容,理解“三角形中位线”的定义,解决下面的问题.
揭示概念　连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.例如,如图,在△ABC中,D、E为边AB和边AC的中点,线段DE就是△ABC的一条中位线.
知识点二 三角形的中位线定理
如图,DE是△ABC的中位线,猜想DE与BC之间的关系,并证明.
归纳总结　三角形的中位线　 　于第三边,并且等于　 　.用几何语言表示为:∵DE是△ABC的中位线,∴DE　 　BC,DE=　 　.
对点自测
1.请画出△ABC所有的中位线.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,AD⊥BC于点D,E,F分别是AD,AC的中点,则EF的长为 ( )
A.5
B.4
C.
D.2
3.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的格点上,则△ABC的重心是 ( )
A.点G
B.点D
C.点E
D.点F
【合作探究】
任务驱动一 三角形的中位线与第三边中线的关系
1.求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
如图,在△ABC中,D、E、F分别是三角形三边的中点,求证:AE、DF互相平分.
变式演练　如图,△ABC的中线BD、CE相交于O,F,G分别是BO,CO的中点,求证:EF∥DG,且EF=DG.
任务驱动二 三角形两条中线的关系
2.看课本“例2”,关上书本,自己写出证明过程.
归纳总结　三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心.三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的　 　.
任务驱动三 三角形中位线的应用
3.【易错题】如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5,M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),E,F分别为DM,MN的中点,则EF的长度可能为 ( )
A.2
B.5
C.7
D.9
参考答案
【预习导学】
知识点二
解:位置关系:DE∥BC.
数量关系:DE=BC.
证明:∵DE是△ABC的中位线,
∴==.
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴==,∠ADE=∠B,
∴DE=BC,DE∥BC.
归纳总结　平行　第三边的一半　∥　BC
对点自测
1.解:略.
2.C
3.B
【合作探究】
任务驱动一
1.证明:如图,连结DE、EF.
∵AD=DB,BE=EC,
∴DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半).
同理,EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形,
∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分).
变式演练
证明:如图,连结DE,FG,
∵BD、CE是△ABC的中线,
∴D,E是AB,AC边的中点,
∴DE∥BC,DE=BC,
同理:FG∥BC,FG=BC,
∴DE∥FG,DE=FG,
∴四边形DEFG是平行四边形,
∴EF∥DG,EF=DG.
任务驱动二
2.解:略.
归纳总结　
任务驱动三
3.B